🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: 2. Dönem Birinci Sınavlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: 2. Dönem Birinci Sınavlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bulunmaktadır. Bu kitaplar bir rafa yan yana dizilecektir. Buna göre,
a) Kaç farklı şekilde dizilebilirler?
b) Matematik kitapları kendi aralarında, fizik kitapları kendi aralarında olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebilirler?
a) Kaç farklı şekilde dizilebilirler?
b) Matematik kitapları kendi aralarında, fizik kitapları kendi aralarında olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözüm:
Bu soru, permütasyon konusunun temel prensiplerini anlamak için güzel bir örnektir. 📚
- 👉 a) Kaç farklı şekilde dizilebilirler?
- Toplam kitap sayısı: \( 5 (\text{matematik}) + 3 (\text{fizik}) = 8 \) kitaptır.
- Bu 8 kitap, hiçbir koşul olmaksızın yan yana \( 8! \) (8 faktöriyel) farklı şekilde dizilebilir.
- Hesaplama: \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \)
- ✅ Yani, toplamda 40320 farklı şekilde dizilebilirler.
- 👉 b) Matematik kitapları kendi aralarında, fizik kitapları kendi aralarında olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebilirler?
- Matematik kitapları (5 adet) kendi aralarında \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir.
- Fizik kitapları (3 adet) kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.
- Bu iki grup da kendi içinde yer değiştirebilir (matematik kitapları bloku ile fizik kitapları bloku). Yani 2 blok gibi düşünebiliriz, bu da \( 2! \) farklı diziliş sağlar.
- Hesaplama:
Matematik kitapları: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
Fizik kitapları: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
Blokların dizilişi: \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) - Toplam diziliş sayısı: \( 5! \times 3! \times 2! = 120 \times 6 \times 2 = 1440 \)
- ✅ Dolayısıyla, 1440 farklı şekilde dizilebilirler.
Örnek 2:
Bir okulda 10 kişilik bir öğrenci grubundan, 3 kişilik bir komisyon ve bu komisyon içinden de bir başkan seçilecektir. Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözüm:
Bu soru, hem kombinasyon (seçim) hem de permütasyon (sıralama/görevlendirme) adımlarını içeren bir problemdir. 🧐
- 📌 Adım 1: 3 kişilik komisyon seçimi
- 10 kişilik gruptan 3 kişi seçileceği için bu bir kombinasyon problemidir. Sıralama önemli değildir, sadece kimlerin seçildiği önemlidir.
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!} \)
- \( C(10, 3) = \frac{10!}{3! \times (10-3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} \)
- \( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \)
- Yani, 120 farklı şekilde 3 kişilik komisyon seçilebilir.
- 📌 Adım 2: Komisyon içinden bir başkan seçimi
- Seçilen 3 kişilik komisyonun içinden bir başkan seçilecektir.
- Bu 3 kişiden herhangi biri başkan olabilir, dolayısıyla 3 farklı başkan seçeneği vardır.
- 📌 Adım 3: Toplam seçim sayısı
- Komisyon seçimi ile başkan seçimi birbirinden bağımsız olaylar olduğu için, bu adımların sonuçlarını çarparız.
- Toplam seçim sayısı = (3 kişilik komisyon sayısı) \( \times \) (başkan seçimi sayısı)
- Toplam seçim sayısı = \( 120 \times 3 = 360 \)
- ✅ Bu seçim 360 farklı şekilde yapılabilir.
Örnek 3:
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen 3 bilyenin 2'sinin kırmızı, 1'inin mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu bir olasılık problemidir. İstenen durumun tüm durumlara oranını bulmalıyız. 🎲
- 📌 Adım 1: Tüm durumların sayısı (Örneklem uzayı)
- Torbadaki toplam bilye sayısı: \( 4 (\text{kırmızı}) + 6 (\text{mavi}) = 10 \) bilye.
- Bu 10 bilyeden rastgele 3 bilye çekme kombinasyonu tüm olası durumları verir.
- \( C(10, 3) = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \)
- Yani, toplam 120 farklı şekilde 3 bilye çekilebilir.
- 📌 Adım 2: İstenen durumların sayısı
- Çekilen 3 bilyenin 2'si kırmızı ve 1'i mavi olmalıdır.
- 4 kırmızı bilyeden 2 kırmızı bilye seçimi: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- 6 mavi bilyeden 1 mavi bilye seçimi: \( C(6, 1) = \frac{6!}{1! \times 5!} = \frac{6}{1} = 6 \)
- İstenen durumların sayısı = \( C(4, 2) \times C(6, 1) = 6 \times 6 = 36 \)
- Yani, 36 farklı şekilde 2 kırmızı ve 1 mavi bilye çekilebilir.
- 📌 Adım 3: Olasılık hesaplaması
- Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Tüm durum sayısı)
- Olasılık = \( \frac{36}{120} \)
- Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 12'ye bölebiliriz: \( \frac{36 \div 12}{120 \div 12} = \frac{3}{10} \)
- ✅ Rastgele çekilen 3 bilyenin 2'sinin kırmızı, 1'inin mavi olma olasılığı \( \frac{3}{10} \)'dur.
Örnek 4:
Aşağıdaki ikinci dereceden denklemin çözüm kümesini bulunuz:
\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
Çözüm:
Bu bir ikinci dereceden denklem çözümüdür. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. 💡
- 📌 Adım 1: Çarpanlara ayırma
- \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) denklemini \( (x+a)(x+b)=0 \) şeklinde yazmaya çalışalım.
- Burada \( a \times b = 12 \) ve \( a + b = -7 \) olmalıdır.
- 12'nin çarpanlarını düşünelim: (1, 12), (2, 6), (3, 4).
- Toplamları -7 olan çarpanlar ise -3 ve -4'tür. Çünkü \( (-3) \times (-4) = 12 \) ve \( (-3) + (-4) = -7 \).
- Denklemi \( (x-3)(x-4) = 0 \) şeklinde çarpanlarına ayırırız.
- 📌 Adım 2: Kökleri bulma
- Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
- \( x-3 = 0 \implies x_1 = 3 \)
- \( x-4 = 0 \implies x_2 = 4 \)
- 📌 Adım 3: Çözüm kümesini yazma
- Denklemin çözüm kümesi, bulduğumuz köklerden oluşur.
- Çözüm Kümesi = \( \{3, 4\} \)
- ✅ Denklemin çözüm kümesi \( \{3, 4\} \)'tür.
Örnek 5:
\( 2x^2 - 8x + m - 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olsun.
\( x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2 \) olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz.
\( x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2 \) olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, ikinci dereceden denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi kullanmayı gerektirir. 🧠
Genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemi için kökler toplamı \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) ve kökler çarpımı \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) formülleriyle bulunur.
Genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemi için kökler toplamı \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) ve kökler çarpımı \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) formülleriyle bulunur.
- 📌 Adım 1: Denklemdeki katsayıları belirleme
- Verilen denklem: \( 2x^2 - 8x + m - 1 = 0 \)
- Burada:
\( a = 2 \)
\( b = -8 \)
\( c = m - 1 \) - 📌 Adım 2: Kökler toplamını ve kökler çarpımını bulma
- Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- Kökler çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m-1}{2} \)
- 📌 Adım 3: Verilen eşitliği kullanarak \( m \) değerini bulma
- Soruda \( x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2 \) eşitliği verilmiştir.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \( 4 = \frac{m-1}{2} \)
- Denklemi çözmek için her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\( 4 \times 2 = m-1 \)
\( 8 = m-1 \) - -1'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( m = 8 + 1 \)
\( m = 9 \) - ✅ Buna göre, \( m = 9 \)'dur.
Örnek 6:
\( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ve parabolün alabileceği en küçük değeri belirtiniz.
Çözüm:
Bu soru, parabolün tepe noktası kavramını ve ikinci dereceden fonksiyonların minimum/maksimum değerlerini bulmayı hedefler. ⛰️
Bir \( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolünün tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \) formülleriyle bulunur.
Bir \( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolünün tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \) formülleriyle bulunur.
- 📌 Adım 1: Denklemin katsayılarını belirleme
- Verilen parabol denklemi: \( f(x) = x^2 - 4x + 7 \)
- Burada:
\( a = 1 \)
\( b = -4 \)
\( c = 7 \) - 📌 Adım 2: Tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulma
- \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = 2 \)
- Yani, tepe noktasının apsisi \( r = 2 \)'dir.
- 📌 Adım 3: Tepe noktasının ordinatını (\( k \)) bulma
- \( k = f(r) \) olduğu için \( x \) yerine 2 yazarak \( f(2) \) değerini hesaplarız.
- \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 \)
- \( f(2) = 4 - 8 + 7 \)
- \( f(2) = 3 \)
- Yani, tepe noktasının ordinatı \( k = 3 \)'tür.
- 📌 Adım 4: Tepe noktasını ve en küçük değeri belirtme
- Parabolün tepe noktasının koordinatları \( T(r, k) = T(2, 3) \) olarak bulunur.
- Parabolde \( a > 0 \) (burada \( a=1 \)), yani kolları yukarı doğru olduğu için tepe noktası parabolün alabileceği en küçük değeri verir.
- ✅ Parabolün tepe noktası \( (2, 3) \)'tür ve parabolün alabileceği en küçük değer 3'tür.
Örnek 7:
Bir dijital oyun turnuvası için 6 erkek ve 4 kadın oyuncu başvurmuştur. Turnuva kurallarına göre, 4 kişilik bir takım kurulacak ve bu takımda en az 2 erkek oyuncu bulunacaktır. Buna göre, kaç farklı takım oluşturulabilir?
Çözüm:
Bu soru, kombinasyon ve koşullu seçim becerilerini birleştiren "Yeni Nesil" bir problemdir. 🤔 "En az 2 erkek oyuncu" koşulu, farklı durumları ayrı ayrı incelemeyi gerektirir.
Toplamda 6 erkek ve 4 kadın oyuncu var. 4 kişilik bir takım kurulacak.
Toplamda 6 erkek ve 4 kadın oyuncu var. 4 kişilik bir takım kurulacak.
- 📌 Durum 1: Takımda tam 2 erkek oyuncu varsa
- 2 erkek oyuncu seçimi: \( C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
- Takım 4 kişilik olacağı için, kalan \( 4 - 2 = 2 \) kişi kadın oyunculardan seçilmelidir.
- 2 kadın oyuncu seçimi: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- Bu durumda oluşturulabilecek takım sayısı: \( 15 \times 6 = 90 \)
- 📌 Durum 2: Takımda tam 3 erkek oyuncu varsa
- 3 erkek oyuncu seçimi: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
- Kalan \( 4 - 3 = 1 \) kişi kadın oyunculardan seçilmelidir.
- 1 kadın oyuncu seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1! \times 3!} = 4 \)
- Bu durumda oluşturulabilecek takım sayısı: \( 20 \times 4 = 80 \)
- 📌 Durum 3: Takımda tam 4 erkek oyuncu varsa
- 4 erkek oyuncu seçimi: \( C(6, 4) = \frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
- Kalan \( 4 - 4 = 0 \) kişi kadın oyunculardan seçilmelidir.
- 0 kadın oyuncu seçimi: \( C(4, 0) = 1 \) (Hiç seçmeme durumu 1'dir)
- Bu durumda oluşturulabilecek takım sayısı: \( 15 \times 1 = 15 \)
- 📌 Toplam farklı takım sayısı
- "En az 2 erkek oyuncu" koşulu, bu üç durumun toplamını ifade eder.
- Toplam takım sayısı = (Durum 1) + (Durum 2) + (Durum 3)
- Toplam takım sayısı = \( 90 + 80 + 15 = 185 \)
- ✅ Buna göre, 185 farklı takım oluşturulabilir.
Örnek 8:
Bir marketin kasasında 4 farklı banknot türü (5 TL, 10 TL, 20 TL, 50 TL) bulunmaktadır. Müşteriye para üstü olarak rastgele 2 banknot verilecektir.
a) Müşteriye kaç farklı şekilde 2 banknot verilebilir?
b) Müşteriye verilen 2 banknotun toplam değerinin 30 TL olma olasılığı kaçtır?
a) Müşteriye kaç farklı şekilde 2 banknot verilebilir?
b) Müşteriye verilen 2 banknotun toplam değerinin 30 TL olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, kombinasyon ve olasılık kavramlarını günlük hayattan bir senaryo ile birleştirir. 🛒💰
Kasada 5 TL, 10 TL, 20 TL, 50 TL olmak üzere 4 farklı banknot türü var.
Kasada 5 TL, 10 TL, 20 TL, 50 TL olmak üzere 4 farklı banknot türü var.
- 👉 a) Müşteriye kaç farklı şekilde 2 banknot verilebilir?
- Bu, 4 farklı banknot türü arasından 2 tanesini seçme işlemidir. Sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız.
- \( C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times (4-2)!} = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- ✅ Müşteriye 6 farklı şekilde 2 banknot verilebilir.
- 👉 b) Müşteriye verilen 2 banknotun toplam değerinin 30 TL olma olasılığı kaçtır?
- 📌 Adım 1: Tüm olası durumları belirleme (Zaten a şıkkında bulduk, 6 durum)
- Olası banknot çiftleri ve toplamları:
- (5 TL, 10 TL) \( \implies \) Toplam 15 TL
- (5 TL, 20 TL) \( \implies \) Toplam 25 TL
- (5 TL, 50 TL) \( \implies \) Toplam 55 TL
- (10 TL, 20 TL) \( \implies \) Toplam 30 TL
- (10 TL, 50 TL) \( \implies \) Toplam 60 TL
- (20 TL, 50 TL) \( \implies \) Toplam 70 TL
- Görüldüğü gibi 6 farklı durum vardır.
- 📌 Adım 2: İstenen durumu belirleme
- İstenen durum, toplam değerin 30 TL olmasıdır.
- Yukarıdaki listeden baktığımızda, sadece (10 TL, 20 TL) çifti 30 TL toplam değerine sahiptir.
- Yani, istenen durum sayısı 1'dir.
- 📌 Adım 3: Olasılığı hesaplama
- Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Tüm durum sayısı)
- Olasılık = \( \frac{1}{6} \)
- ✅ Müşteriye verilen 2 banknotun toplam değerinin 30 TL olma olasılığı \( \frac{1}{6} \)'dır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-2-donem-birinci-sinavlar/sorular