💡 10. Sınıf Matematik: 1 Tema Çözümlü Örnekler

• 👉 Öğrenci, 5 farklı kalem arasından bir kalem seçebilir. Yani 5 seçeneği vardır.
• 👉 Aynı öğrenci, 3 farklı defter arasından bir defter seçebilir. Yani 3 seçeneği vardır.
• ✅ Kalem ve defter seçimleri birlikte gerçekleştiği için, toplam seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı olacaktır.
• Hesaplama: \( 5 \times 3 = 15 \)

Sonuç olarak, öğrenci bir kalem ve bir defteri 15 farklı şekilde seçebilir. 💡

• 📌 "MATEMATİK" kelimesi toplam 9 harften oluşmaktadır.
• Harflerin tekrar sayıları:
• 'M' harfi 2 kez tekrar ediyor.
• 'A' harfi 2 kez tekrar ediyor.
• 'T' harfi 2 kez tekrar ediyor.
• 'E', 'İ', 'K' harfleri 1'er kez tekrar ediyor.
• 👉 Formülümüz \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \) şeklindedir. Burada \( n \) toplam harf sayısı, \( n_i \) ise tekrar eden harflerin sayısıdır.
• Hesaplama: \[ \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} \]
• Faktöriyelleri açalım: \( 9! = 362880 \), \( 2! = 2 \)
• \[ \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]

Bu harflerle 45360 farklı kelime yazılabilir. ✅

• 📌 Toplam öğrenci sayısı \( n = 10 \).
• Seçilecek öğrenci sayısı \( r = 4 \).
• 👉 Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
• Hesaplama: \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} \]
• Faktöriyelleri açalım: \[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \]
• Sadeleştirmeleri yapalım: \[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Bu 4 kişilik takım 210 farklı şekilde seçilebilir. 💡

• 📌 Toplam top sayısı: \( 3 \text{ (kırmızı)} + 4 \text{ (mavi)} + 5 \text{ (yeşil)} = 12 \) top.
• İstenen durumlar: Kırmızı veya mavi top çekilmesi.
• Kırmızı top sayısı: 3
• Mavi top sayısı: 4
• 👉 Kırmızı veya mavi top sayısı: \( 3 + 4 = 7 \).
• Olasılık formülü: \( P(\text{olay}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} \)
• Hesaplama: \[ P(\text{kırmızı veya mavi}) = \frac{7}{12} \]

Çekilen topun kırmızı veya mavi olma olasılığı \( \frac{7}{12} \)'dir. ✅

• 📌 Toplam 5 çeşit çikolata var. Özel üretim çikolatayı Ali mutlaka alacak.
• Ali'nin alması gereken 2 çikolatadan biri zaten belli (özel üretim).
• 👉 Geriye kalan 4 çikolata çeşidi arasından Ali'nin 1 çikolata daha seçmesi gerekiyor (çünkü toplam 2 çikolata alacak).
• Bu, \( \binom{4}{1} \) farklı şekilde yapılabilir: \( \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \) farklı yol.
• 📌 Gofret seçimi için: 3 farklı çeşit gofret arasından 1 gofret seçecek.
• Bu, \( \binom{3}{1} \) farklı şekilde yapılabilir: \( \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \) farklı yol.
• ✅ Çikolata ve gofret seçimleri birbirini etkilemediği için bu durumları çarparız.
• Hesaplama: \( 4 \times 3 = 12 \)

Ali bu alışverişi 12 farklı şekilde yapabilir. 💡

• 📌 Ayşe'nin pantolon seçeneği sayısı: 4
• Ayşe'nin tişört seçeneği sayısı: 5
• Ayşe'nin ayakkabı seçeneği sayısı: 2
• 👉 Her bir seçim birbirinden bağımsız olduğu için, toplam giyim kombinasyonu sayısını bulmak için bu sayıları çarparız.
• Hesaplama: \( 4 \times 5 \times 2 = 40 \)

Ayşe, kıyafetlerini 40 farklı kombinasyonla giyebilir. ✅ Bu, Ayşe'nin her gün farklı bir tarz oluşturabileceği anlamına gelir! ✨

• 📌 Bir \( (a+b)^n \) ifadesinin açılımında terim sayısı \( n+1 \)'dir.
• Burada \( n=5 \) olduğuna göre, terim sayısı \( 5+1 = 6 \) olacaktır.
• 👉 Sabit terim, değişken içermeyen terimdir. Yani \( x^0 \) ve \( y^0 \) içeren terimdir.
• Genel terim formülü \( \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \) şeklindedir. Burada \( a=2x \) ve \( b=-3y \).
• Bir terimin sabit terim olabilmesi için \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin üslerinin 0 olması gerekir.
• Fakat \( (2x-3y)^5 \) açılımındaki her terimde \( x \) veya \( y \) (ya da ikisi birden) bir üsse sahip olacaktır. Örneğin, \( (2x)^5 \), \( (2x)^4(-3y)^1 \), ..., \( (-3y)^5 \).
• Her terimde \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin üslerinin toplamı 5 olacaktır. Bu yüzden \( x^0y^0 \) terimi oluşamaz.

Bu açılımda 6 terim vardır ve sabit terim yoktur. 🚫

• 📌 Toplam ana yemek seçeneği sayısı: \( 3 \text{ (et)} + 2 \text{ (vejetaryen)} = 5 \) farklı yemek.
• Masa 3 kişilik ve her biri farklı bir yemek seçecek.
• 👉 1. kişi için 5 farklı yemek seçeneği vardır.
• 👉 2. kişi için, 1. kişinin seçtiği yemek dışında kalan 4 farklı yemek seçeneği vardır.
• 👉 3. kişi için, ilk iki kişinin seçtiği yemekler dışında kalan 3 farklı yemek seçeneği vardır.
• ✅ Bu durumların çarpımı bize toplam sipariş verme şeklini verir.
• Hesaplama: \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \)

Bu grup, 60 farklı şekilde sipariş verebilir. 🍽️