🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Fizik
💡 10. Sınıf Fizik: Permütasyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Fizik: Permütasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirinden farklı 5 renkte boya kalemi arasından 3 tanesi kaç farklı şekilde seçilip yan yana sıralanabilir?
Bu tür sıralama problemlerinde permütasyon kavramını kullanırız. Permütasyon, bir nesne grubundan belirli sayıda nesnenin farklı sıralanışlarını ifade eder.
Bu tür sıralama problemlerinde permütasyon kavramını kullanırız. Permütasyon, bir nesne grubundan belirli sayıda nesnenin farklı sıralanışlarını ifade eder.
Çözüm:
- İlk olarak, kaç farklı seçenek olduğunu belirleyelim. Elimizde 5 farklı renk boya kalemi var.
- Bu 5 renkten kaç tanesini seçeceğimizi belirleyelim. 3 tanesini seçeceğiz.
- Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) ile hesaplanır. Burada \( n \) toplam nesne sayısı, \( k \) ise seçilecek nesne sayısıdır.
-
Bu problemde \( n=5 \) ve \( k=3 \) olduğundan, formülü uygulayalım:
\( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \) -
Faktöriyelleri açalım: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) ve \( 2! = 2 \times 1 \).
\( P(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} \) -
Sadeleştirme yaparak sonucu bulalım:
\( P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \) - Yani, 5 farklı renkte boya kaleminden 3 tanesi 60 farklı şekilde seçilip yan yana sıralanabilir. ✅
Örnek 2:
Bir sınıfta bulunan 8 öğrenci arasından bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
Bu soruda, seçilen kişilerin rolleri farklı olduğu için sıralama önemlidir. Bu da permütasyon gerektirir.
Bu soruda, seçilen kişilerin rolleri farklı olduğu için sıralama önemlidir. Bu da permütasyon gerektirir.
Çözüm:
- Toplam öğrenci sayısı \( n=8 \)'dir.
- Seçilecek pozisyon sayısı (başkan, başkan yardımcısı, sekreter) \( k=3 \)'tür.
- Seçilen kişilerin rolleri farklı olduğu için sıralama önemlidir. Bu nedenle permütasyon kullanırız: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \).
-
Formülü uygulayalım:
\( P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} \) -
Hesaplamayı yapalım:
\( P(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} \) -
Sadeleştirme sonrası:
\( P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336 \) - Dolayısıyla, 8 öğrenci arasından bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir sekreter 336 farklı şekilde seçilebilir. 💡
Örnek 3:
Bir mobil uygulama, kullanıcıların şifrelerini oluştururken belirli kurallara uymasını istiyor. Şifre, 3 farklı harf ve ardından 2 farklı rakamdan oluşmalıdır. Alfabede 29 harf ve rakamlar 0'dan 9'a kadar (10 adet) bulunmaktadır. Bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?
Bu soruda hem harf seçimi hem de rakam seçimi ve bunların kendi içlerindeki sıralamaları permütasyon ile hesaplanacaktır.
Bu soruda hem harf seçimi hem de rakam seçimi ve bunların kendi içlerindeki sıralamaları permütasyon ile hesaplanacaktır.
Çözüm:
-
Adım 1: Harf Seçimi ve Sıralaması
Alfabede 29 harf var ve şifrenin ilk 3 karakteri farklı harflerden oluşacak. Bu, 29 harften 3'ünün seçilip sıralanmasıdır.
\( P(29, 3) = \frac{29!}{(29-3)!} = \frac{29!}{26!} = 29 \times 28 \times 27 \)
\( P(29, 3) = 21924 \) farklı şekilde harf kısmı oluşturulabilir. -
Adım 2: Rakam Seçimi ve Sıralaması
Kullanılabilir 10 rakam var (0-9) ve şifrenin son 2 karakteri farklı rakamlardan oluşacak. Bu, 10 rakamdan 2'sinin seçilip sıralanmasıdır.
\( P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 \)
\( P(10, 2) = 90 \) farklı şekilde rakam kısmı oluşturulabilir. -
Adım 3: Toplam Şifre Sayısı
Toplam farklı şifre sayısını bulmak için, harf kısmındaki olasılıkları rakam kısmındaki olasılıklarla çarparız (çarpma kuralı).
Toplam Şifre = \( P(29, 3) \times P(10, 2) \)
Toplam Şifre = \( 21924 \times 90 \)
Toplam Şifre = \( 1973160 \) - Bu kurallara uygun olarak 1.973.160 farklı şifre oluşturulabilir. 🔐
Örnek 4:
Bir yarışmada ilk üçe girecek sporcuların madalya alacağı ve sıralamanın önemli olduğu biliniyor. Eğer yarışmaya 10 sporcu katılırsa, ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?
Bu durum, sporcuların sıralamasının önemli olduğu bir permütasyon problemidir.
Bu durum, sporcuların sıralamasının önemli olduğu bir permütasyon problemidir.
Çözüm:
- Yarışmaya katılan toplam sporcu sayısı \( n=10 \)'dur.
- İlk üç derece belirleneceği için, seçilecek pozisyon sayısı \( k=3 \)'tür.
- Derecelendirme (1., 2., 3.) sıralı olduğu için permütasyon kullanırız: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \).
-
Hesaplamayı yapalım:
\( P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} \) - \( P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 \)
- \( P(10, 3) = 720 \)
- Yani, ilk üç derece 720 farklı şekilde oluşabilir. 🏆
Örnek 5:
4 farklı matematik kitabı, 3 farklı fizik kitabı ve 2 farklı kimya kitabından oluşan bir set düşünelim. Bu 9 kitap, bir rafta kaç farklı şekilde dizilebilir?
Bu soruda, tüm kitaplar birbirinden farklı olduğu için toplam kitap sayısı üzerinden permütasyon hesaplanacaktır.
Bu soruda, tüm kitaplar birbirinden farklı olduğu için toplam kitap sayısı üzerinden permütasyon hesaplanacaktır.
Çözüm:
- Toplam kitap sayısı \( n = 4 (\text{matematik}) + 3 (\text{fizik}) + 2 (\text{kimya}) = 9 \) kitaptır.
- Tüm bu 9 kitap birbirinden farklıdır ve bir rafta dizilecektir. Bu, 9 farklı nesnenin sıralanmasıdır.
- Bu durum, \( n! \) formülü ile hesaplanan bir permütasyon problemidir.
-
Hesaplama:
\( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) - \( 9! = 362880 \)
- Bu 9 kitap, 362.880 farklı şekilde rafta dizilebilir. 📚
Örnek 6:
5 kişilik bir gruptan 2 kişi, kaç farklı şekilde seçilebilir? (Sıralama önemli değil)
Bu soruda, kişilerin seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kavramı kullanılır. Permütasyon sıralamayı dikkate alırken, kombinasyon sadece seçimi dikkate alır.
Bu soruda, kişilerin seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kavramı kullanılır. Permütasyon sıralamayı dikkate alırken, kombinasyon sadece seçimi dikkate alır.
Çözüm:
- Toplam kişi sayısı \( n=5 \)'tir.
- Seçilecek kişi sayısı \( k=2 \)'dir.
- Sıralama önemli olmadığı için kombinasyon formülü kullanılır: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
-
Formülü uygulayalım:
\( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \) -
Faktöriyelleri açalım: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \), \( 2! = 2 \times 1 \), \( 3! = 3 \times 2 \times 1 \).
\( C(5, 2) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} \) -
Sadeleştirme yaparak sonucu bulalım:
\( C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \) - Yani, 5 kişilik bir gruptan 2 kişi 10 farklı şekilde seçilebilir. 👉
Örnek 7:
Bir kurabiye dükkanında 6 farklı çeşit kurabiye bulunmaktadır. Müşteri, bu çeşitlerden 4 tanesini seçerek bir paket oluşturmak istiyor. Kaç farklı kurabiye paketi oluşturulabilir?
Burada önemli olan hangi 4 çeşit kurabiyenin seçildiğidir, seçilme sırası değil. Bu nedenle kombinasyon kullanılacaktır.
Burada önemli olan hangi 4 çeşit kurabiyenin seçildiğidir, seçilme sırası değil. Bu nedenle kombinasyon kullanılacaktır.
Çözüm:
- Dükkandaki toplam kurabiye çeşidi sayısı \( n=6 \)'dır.
- Müşterinin seçeceği kurabiye çeşidi sayısı \( k=4 \)'tür.
- Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon formülü kullanılır: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
-
Formülü uygulayalım:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} \) -
Hesaplama: \( 6! = 6 \times 5 \times 4! \)
\( C(6, 4) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times (2 \times 1)} \) -
Sadeleştirme sonrası:
\( C(6, 4) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \) - Müşteri, 15 farklı kurabiye paketi oluşturabilir. 🍪
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazasında 5 farklı model akıllı telefon ve 4 farklı model tablet bulunmaktadır. Bir müşteri, bir akıllı telefon ve bir tablet almak istiyor. Bu müşteri kaç farklı seçim yapabilir?
Bu soruda, akıllı telefon seçimi ve tablet seçimi birbirinden bağımsızdır. Bu tür durumlarda çarpma kuralı kullanılır.
Bu soruda, akıllı telefon seçimi ve tablet seçimi birbirinden bağımsızdır. Bu tür durumlarda çarpma kuralı kullanılır.
Çözüm:
- Mağazada bulunan farklı akıllı telefon modeli sayısı = 5.
- Mağazada bulunan farklı tablet modeli sayısı = 4.
- Müşteri, bir akıllı telefon ve bir tablet seçecektir. Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır.
-
Bu nedenle, toplam farklı seçim sayısını bulmak için akıllı telefon seçenek sayısını tablet seçenek sayısı ile çarparız (çarpma kuralı).
Toplam Seçim = (Akıllı Telefon Seçenek Sayısı) \times (Tablet Seçenek Sayısı) - Toplam Seçim = \( 5 \times 4 \)
- Toplam Seçim = \( 20 \)
- Müşteri, 20 farklı akıllı telefon ve tablet kombinasyonu seçebilir. 📱➕💻
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-fizik-permutasyon/sorular