🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Fizik
💡 10. Sınıf Fizik: Eğik atış grafiği Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Fizik: Eğik atış grafiği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yatay atış hareketi yapan bir cismin, yere düşene kadar geçen süredeki hız-zaman grafiği nasıldır? (Sürtünmeler ihmal edilmiştir.) 🚀
Çözüm:
- Yatay atış hareketinde cismin yatay hızı sabit kalır. Bu nedenle yatay hız-zaman grafiği sabit bir doğru şeklindedir.
- Düşey hız ise yerçekimi ivmesi etkisiyle düzgün artar. Cismin başlangıçta düşey hızı sıfır olduğundan, düşey hız-zaman grafiği orijinden başlayan düzgün artan bir doğru şeklindedir.
- Grafiği çizimini düşünürsek, yatay hız için (t) eksenine paralel bir çizgi, düşey hız için ise (t) ekseni ile pozitif eğimli bir çizgi çizebiliriz.
Örnek 2:
Eğik atış hareketi yapan bir cismin, tepe noktasına kadar olan süredeki hız-zaman grafiği nasıldır? (Sürtünmeler ihmal edilmiştir.) ⛰️
Çözüm:
- Eğik atış hareketinde cismin yatay hızı sabittir. Bu nedenle yatay hız-zaman grafiği sabit bir doğru şeklindedir.
- Cismin düşey hızı ise tepe noktasına doğru azalarak sıfır olur. Başlangıçta yukarı doğru bir düşey hızı vardır ve bu hız yerçekimi ivmesiyle azalır.
- Dolayısıyla, düşey hız-zaman grafiği başlangıçta pozitif bir değerden başlayıp azalarak sıfıra ulaşan bir doğru şeklindedir.
Örnek 3:
10 m/s ilk hızla eğik olarak atılan bir cismin, 2 saniye sonraki hızının yatay ve düşey bileşenlerini hesaplayınız. (g = 10 m/s²) 📏
Çözüm:
- Öncelikle ilk hızı bileşenlerine ayırmamız gerekir. Ancak soruda atış açısı verilmediği için, genel bir ifade kullanacağız.
- Yatay Hız (vx): Yatay atış hareketinde yatay hız sabittir. \( v_{x} = v_0 \cos(\theta) \), burada \( v_0 \) ilk hız ve \( \theta \) atış açısıdır.
- Düşey Hız (vy): Düşey hız zamanla değişir. \( v_y(t) = v_0 \sin(\theta) - g \cdot t \).
- Soruda verilen \( v_0 = 10 \) m/s ve \( t = 2 \) s.
- Düşey hız için: \( v_y(2) = 10 \sin(\theta) - 10 \cdot 2 = 10 \sin(\theta) - 20 \) m/s.
- Yatay hız ise \( v_x = 10 \cos(\theta) \) m/s olacaktır.
- Eğer atış açısı verilseydi, bu değerleri hesaplayabilirdik. Örneğin, eğer \( \theta = 30^\circ \) olsaydı: \( v_x = 10 \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) m/s ve \( v_y(2) = 10 \sin(30^\circ) - 20 = 10 \cdot \frac{1}{2} - 20 = 5 - 20 = -15 \) m/s olurdu. (Eksi işareti cismin aşağı doğru hareket ettiğini gösterir.)
Örnek 4:
Bir cisim eğik atış hareketi yaparken, yere çarpma anındaki düşey hızının büyüklüğü, fırlatıldığı andaki düşey hızının büyüklüğüne eşit midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Çözüm:
- Evet, eşittir (eğer fırlatıldığı ve yere çarptığı yükseklikler aynıysa).
- Bunun nedeni, yerçekimi ivmesinin sabit olmasıdır.
- Cisim yukarı çıkarken düşey hızındaki azalma miktarı, aynı sürede ve aynı ivmeyle aşağı inerken düşey hızındaki artış miktarına eşittir.
- Matematiksel olarak, eğer cisim \( h \) kadar yükselip tekrar \( h \) kadar alçalırsa, tepe noktasındaki düşey hızı sıfır olur. Yukarı çıkarken geçen süre \( t_1 \) ve aşağı inerken geçen süre \( t_2 \) ise, \( t_1 = t_2 \) olur.
- Fırlatılma anındaki düşey hız \( v_{y0} \) ve yere çarpma anındaki düşey hız \( v_{yf} \) ise, enerji korunumu veya kinematik denklemlerden \( |v_{y0}| = |v_{yf}| \) olduğunu görebiliriz.
Örnek 5:
Bir basketbolcu, topu yerden 1.5 metre yükseklikten 5 m/s'lik bir hızla, yerle 30 derecelik bir açıyla potaya doğru atıyor. Potanın basketbolcudan yatayda 10 metre uzakta olduğunu varsayarsak, topun potaya ulaşıp ulaşamayacağını (sürtünmeleri ihmal ederek) analiz ediniz. 🏀
Çözüm:
- Bu problemde, cismin (topun) hareketini analiz etmek için eğik atış hareketinin denklemlerini kullanmalıyız.
- Verilenler:
- İlk hız (\( v_0 \)) = 5 m/s
- Atış açısı (\( \theta \)) = 30 derece
- İlk yükseklik (\( y_0 \)) = 1.5 m
- Yatay mesafe (\( x \)) = 10 m
- Yerçekimi ivmesi (\( g \)) = 10 m/s² (varsayılan)
- Hesaplanması Gerekenler:
- Topun 10 metre yatay mesafeyi ne kadar sürede alacağı.
- Bu sürede topun düşey konumunun ne olacağı.
- Potanın yüksekliği (soruda belirtilmemiş, bu nedenle topun sadece 10 metreye ulaşıp ulaşmadığını kontrol edeceğiz).
- Adım 1: Hız Bileşenlerini Bulma
- Yatay hız (\( v_{0x} \)): \( v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 5 \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \) m/s
- Düşey hız (\( v_{0y} \)): \( v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 5 \sin(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \) m/s
- Adım 2: Yatay Mesafeyi Almak İçin Geçen Süreyi Hesaplama
- Yatay hareket sabittir: \( x = v_{0x} \cdot t \)
- \( 10 = 4.33 \cdot t \)
- \( t = \frac{10}{4.33} \approx 2.31 \) saniye
- Adım 3: Bu Süredeki Düşey Konumu Hesaplama
- Düşey konum denklemi: \( y(t) = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)
- \( y(2.31) = 1.5 + (2.5 \cdot 2.31) - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2.31)^2 \)
- \( y(2.31) = 1.5 + 5.775 - 5 \cdot 5.3361 \)
- \( y(2.31) = 1.5 + 5.775 - 26.6805 \)
- \( y(2.31) \approx -19.4 \) metre
- Sonuç: Topun 10 metre yatay mesafeye ulaştığı anda düşey konumu yaklaşık -19.4 metre çıkmaktadır. Bu, topun yerden çok daha aşağıda olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bu atışla topun potaya ulaşması mümkün değildir.
Örnek 6:
Bir futbolcu, topu yerden 30 derecelik bir açıyla kaleye doğru vuruyor. Topun havada kalma süresini ve maksimum yüksekliğini etkileyen faktörler nelerdir? ⚽
Çözüm:
- Topun havada kalma süresi ve maksimum yüksekliği, eğik atış hareketinin temel prensiplerine dayanır ve birkaç ana faktöre bağlıdır:
- 1. İlk Hızın Büyüklüğü (\( v_0 \)):
- Havada Kalma Süresi: İlk hız ne kadar büyük olursa, top o kadar yükseğe çıkar ve dolayısıyla havada o kadar uzun süre kalır.
- Maksimum Yükseklik: İlk hızın düşey bileşeni (\( v_{0y} \)) doğrudan maksimum yüksekliği belirler. Hız arttıkça, düşey bileşen de artar ve top daha yükseğe çıkar.
- 2. Atış Açısı (\( \theta \)):
- Havada Kalma Süresi: Belirli bir ilk hız için, atış açısı 45 dereceye yaklaştıkça havada kalma süresi artar. Maksimum süre 90 derecede (dikey atış) elde edilirken, yatayda menzil 45 derecede maksimum olur.
- Maksimum Yükseklik: Maksimum yükseklik, atış açısı 90 dereceye yaklaştıkça artar. 45 derecelik açıda, menzil maksimum olsa da yükseklik dikey atışa göre daha azdır.
- 3. Yerçekimi İvmesi (\( g \)):
- Havada Kalma Süresi: Yerçekimi ivmesi ne kadar büyük olursa, top o kadar çabuk yere düşer. Yani, \( g \) arttıkça havada kalma süresi azalır.
- Maksimum Yükseklik: Benzer şekilde, \( g \) arttıkça topun ulaşabileceği maksimum yükseklik azalır.
- Özetle: Futbolcu, topun daha uzağa gitmesini istiyorsa (menzil), genellikle 45 dereceye yakın bir açıyla ve yeterli bir ilk hızla vurmalıdır. Topun daha yükseğe çıkmasını istiyorsa, açıyı 90 dereceye yaklaştırmalı veya ilk hızı artırmalıdır.
Örnek 7:
Bir cisim, \( v_0 \) ilk hızı ve \( \theta \) açısıyla eğik atılıyor. Cismin tepe noktasına ulaşma süresi \( t_{tepe} \), maksimum yüksekliği \( h_{max} \) ve yatay menzili \( R \) arasındaki ilişkiyi gösteren formülleri yazınız. (Sürtünmeler ihmal edilmiştir.) 📈
Çözüm:
- Eğik atış hareketinde, cismin hareketini yatay ve düşey bileşenlerine ayırarak inceleriz.
- 1. Tepe Noktasına Ulaşma Süresi (\( t_{tepe} \)):
- Tepe noktasında cismin düşey hızı sıfır olur. Düşey hız denklemi: \( v_y(t) = v_0 \sin(\theta) - g \cdot t \)
- Tepe noktasında \( v_y = 0 \) olduğundan: \( 0 = v_0 \sin(\theta) - g \cdot t_{tepe} \)
- Buradan tepe noktasına ulaşma süresi: \[ t_{tepe} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \]
- 2. Maksimum Yükseklik (\( h_{max} \)):
- Maksimum yükseklik, cismin tepe noktasına ulaştığı andaki düşey konumudur. İlk yüksekliğin sıfır olduğunu varsayalım.
- Düşey konum denklemi: \( y(t) = v_0 \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)
- Bu denklemde \( t = t_{tepe} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \) değerini yerine koyarsak:
- \[ h_{max} = v_0 \sin(\theta) \left(\frac{v_0 \sin(\theta)}{g}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0 \sin(\theta)}{g}\right)^2 \]
- \[ h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{g} - \frac{1}{2} g \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{g^2} \]
- \[ h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \]
- Sonuç olarak maksimum yükseklik: \[ h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \]
- 3. Yatay Menzil (\( R \)):
- Yatay menzil, cismin havada kaldığı toplam süre boyunca yatayda aldığı yoldur.
- Toplam uçuş süresi, tepe noktasına ulaşma süresinin iki katıdır (eğer başlangıç ve bitiş yükseklikleri aynıysa): \( T_{toplam} = 2 \cdot t_{tepe} = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g} \)
- Yatay hareket sabittir: \( R = v_x \cdot T_{toplam} = (v_0 \cos(\theta)) \cdot \left(\frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}\right) \)
- \[ R = \frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g} \]
- Trigonometrik özdeşlik \( 2 \sin(\theta) \cos(\theta) = \sin(2\theta) \) kullanılarak menzil formülü şu şekilde de yazılabilir:
- \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]
- İlişki: Bu formüller, ilk hız, atış açısı ve yerçekimi ivmesi bilindiğinde, eğik atış hareketinin temel özelliklerini (süre, yükseklik, menzil) hesaplamamızı sağlar.
Örnek 8:
Bir top, \( v_0 \) ilk hızıyla ve \( \theta \) açısıyla eğik atılıyor. Topun menzili \( R \) ve maksimum yüksekliği \( h_{max} \) olduğuna göre, bu iki nicelik arasındaki ilişkiyi \( \tan(\theta) \) cinsinden ifade ediniz. (Sürtünmeler ihmal edilmiştir.) ↔️
Çözüm:
- Daha önceki sorulardan eğik atış hareketinin menzil (\( R \)) ve maksimum yükseklik (\( h_{max} \)) formüllerini biliyoruz:
- Menzil: \( R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g} \)
- Maksimum Yükseklik: \( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \)
- Amacımız bu iki formülü birleştirerek \( \tan(\theta) \) cinsinden bir ilişki elde etmek.
- Adım 1: Formülleri Düzenleme
- Her iki formülde de \( \frac{v_0^2}{g} \) terimi bulunmaktadır. Bu terimi yalnız bırakalım:
- Menzil formülünden: \( \frac{v_0^2}{g} = \frac{R}{2 \sin(\theta) \cos(\theta)} \)
- Yükseklik formülünden: \( \frac{v_0^2}{g} = \frac{2 h_{max}}{\sin^2(\theta)} \)
- Adım 2: Eşitleme
- Her iki \( \frac{v_0^2}{g} \) ifadesini birbirine eşitleyelim:
- \[ \frac{R}{2 \sin(\theta) \cos(\theta)} = \frac{2 h_{max}}{\sin^2(\theta)} \]
- Adım 3: Sadeleştirme ve \( \tan(\theta) \) Elde Etme
- Denklemi sadeleştirelim. Her iki tarafı \( \sin^2(\theta) \) ile çarpalım:
- \[ \frac{R \sin^2(\theta)}{2 \sin(\theta) \cos(\theta)} = 2 h_{max} \]
- Bir \( \sin(\theta) \) sadeleşir:
- \[ \frac{R \sin(\theta)}{2 \cos(\theta)} = 2 h_{max} \]
- \( \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta) \) olduğunu biliyoruz. Denklemi \( \tan(\theta) \) cinsinden yazmak için:
- \[ \frac{R}{2} \cdot \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2 h_{max} \]
- \[ \frac{R}{2} \tan(\theta) = 2 h_{max} \]
- Son olarak, \( \tan(\theta) \) cinsinden ilişkiyi elde etmek için denklemi yeniden düzenleyelim:
- \[ \tan(\theta) = \frac{4 h_{max}}{R} \]
- Sonuç: Eğik atış hareketinde, menzil \( R \) ve maksimum yükseklik \( h_{max} \) arasındaki ilişki, atış açısı \( \theta \) cinsinden \( \tan(\theta) = \frac{4 h_{max}}{R} \) olarak ifade edilir.
Örnek 9:
Bir topu havaya attığımızda, topun izlediği yolun parabolik olmasının fiziksel açıklaması nedir? 💫
Çözüm:
- Bir cisim eğik atış hareketi yaptığında izlediği yolun parabolik olmasının temel nedeni, hareketin iki bağımsız bileşene ayrılmasıdır:
- 1. Yatay Hareket:
- Cismin yatay hız bileşeni sabittir (sürtünmeler ihmal edildiğinde). Yani, cisim yatayda düzgün doğrusal hareket yapar.
- Bu, belirli bir zaman aralığında yatayda sabit bir mesafe kat edeceği anlamına gelir.
- 2. Düşey Hareket:
- Cismin düşey hız bileşeni ise yerçekimi ivmesinin etkisiyle değişir. Cisim yukarı çıkarken yavaşlar, tepe noktasında anlık olarak durur ve sonra aşağı inerken hızlanır.
- Bu hareket, düzgün ivmeli doğrusal harekettir.
- Parabolik Yörüngenin Oluşumu:
- Yatayda sabit hızla hareket eden bir cismin, düşeyde düzgün ivmeli hareket yapması, bu iki hareketin birleşimi sonucunda yörüngenin parabolik olmasına neden olur.
- Matematiksel olarak, yatay konum \( x(t) = v_{0x} t \) ve düşey konum \( y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \) denklemlerinden, \( t \) zamanını \( x \) cinsinden ifade edip \( y \) denklemine yerine koyduğumuzda, \( y \) ile \( x \) arasında ikinci dereceden bir ilişki elde ederiz. Bu da bir parabol denklemidir.
- Yani, yatayda sabit hız ve düşeyde sabit ivmeli hareketin birleşimi, eğik atış yörüngesinin parabolik olmasını sağlar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-fizik-egik-atis-grafigi/sorular