🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Fizik
💡 10. Sınıf Fizik: Düşey Doğrultuda Sabit İvmeli Hareket Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Fizik: Düşey Doğrultuda Sabit İvmeli Hareket Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Durgun halden harekete geçen bir cisim, düşey doğrultuda sabit \( 2 \, m/s^2 \) büyüklüğünde ivme ile hızlanıyor. Cismin 5 saniye sonraki hızını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için sabit ivmeli hareketin temel formüllerinden yararlanacağız.
- Verilenler: Başlangıç hızı \( v_0 = 0 \, m/s \) (durgun halden), ivme \( a = 2 \, m/s^2 \), zaman \( t = 5 \, s \).
- İstenen: Son hız \( v \).
- Kullanılacak Formül: Sabit ivmeli hareket için hız formülü \( v = v_0 + a \cdot t \)'dir.
- Hesaplama: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( v = 0 + (2 \, m/s^2) \cdot (5 \, s) \).
- Sonuç: \( v = 10 \, m/s \) olur. Cismin 5 saniye sonraki hızı \( 10 \, m/s \)'dir. ✅
Örnek 2:
Düşey yukarı doğru \( 30 \, m/s \) ilk hızla atılan bir cismin, hava sürtünmesi ihmal edildiğinde, 2 saniye sonraki hızını ve yer değiştirmesini hesaplayınız. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) ⬆️
Çözüm:
Bu problemde, yerçekimi ivmesinin cisim üzerindeki etkisini dikkate alacağız. Yerçekimi ivmesi, cismin hareket yönünün tersine etki edecektir.
- Verilenler: İlk hız \( v_0 = 30 \, m/s \) (yukarı yönlü), zaman \( t = 2 \, s \), yerçekimi ivmesi \( g = 10 \, m/s^2 \) (aşağı yönlü).
- İstenen: 2 s sonraki hız \( v \) ve yer değiştirme \( \Delta y \).
- İvme: Cismin ivmesi \( a = -g = -10 \, m/s^2 \) olacaktır (yukarı yönü pozitif alırsak).
- Hız Hesabı: Hız formülü \( v = v_0 + a \cdot t \)'dir. \( v = 30 \, m/s + (-10 \, m/s^2) \cdot (2 \, s) = 30 - 20 = 10 \, m/s \). Cismin 2 s sonraki hızı \( 10 \, m/s \) (yukarı yönlü) olur.
- Yer Değiştirme Hesabı: Yer değiştirme formülü \( \Delta y = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \)'dir. \( \Delta y = (30 \, m/s) \cdot (2 \, s) + \frac{1}{2} (-10 \, m/s^2) \cdot (2 \, s)^2 \).
- Sonuç: \( \Delta y = 60 \, m - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 \, m = 60 \, m - 20 \, m = 40 \, m \). Cismin 2 s sonraki yer değiştirmesi \( 40 \, m \) (yukarı yönlü) olur. 👉
Örnek 3:
Birinci asansör, yere göre sabit \( 3 \, m/s^2 \) büyüklüğünde ivme ile yukarı doğru hareket etmektedir. İkinci asansör ise durgun halden başlayarak sabit \( 2 \, m/s^2 \) büyüklüğünde ivme ile aşağı doğru hareket etmektedir. İki asansör de aynı anda harekete başlıyor. 3 saniye sonra birinci asansörün tabanından \( 1 \, m \) yükseklikteki bir kutunun yere göre hızını ve yerini bulunuz. (Başlangıçta kutu, birinci asansörün tabanıyla aynı seviyededir.) 🚀
Çözüm:
Bu soruda, kutunun hem asansörün hareketi hem de kendi serbest düşme hareketi (eğer varsa) etkisinde olduğunu göz önünde bulundurmalıyız. Ancak burada kutu asansörün içinde olduğu için, kutunun hızını bulmak için asansörün hızına bakmalıyız.
- Birinci Asansörün Hızı: Başlangıç hızı \( v_{0,asansör1} = 0 \), ivmesi \( a_{asansör1} = 3 \, m/s^2 \), zaman \( t = 3 \, s \). Hızı \( v_{asansör1} = v_{0,asansör1} + a_{asansör1} \cdot t = 0 + (3 \, m/s^2) \cdot (3 \, s) = 9 \, m/s \) (yukarı yönlü).
- Kutunun Hızı: Kutu birinci asansörün tabanıyla aynı seviyede ve hareketsiz durduğu için, kutunun yere göre hızı birinci asansörün yere göre hızına eşittir. Dolayısıyla, kutunun 3 s sonraki hızı \( 9 \, m/s \) (yukarı yönlü) olur.
- Birinci Asansörün Konumu: Asansörün 3 s sonraki yer değiştirmesi \( \Delta y_{asansör1} = v_{0,asansör1} \cdot t + \frac{1}{2} a_{asansör1} \cdot t^2 = 0 + \frac{1}{2} (3 \, m/s^2) \cdot (3 \, s)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 \, m = 13.5 \, m \).
- Kutunun Konumu: Kutu başlangıçta asansörün tabanından \( 1 \, m \) yüksektedir. Asansörün tabanının yere göre konumu \( 13.5 \, m \) olduğundan, kutunun yere göre konumu \( 13.5 \, m + 1 \, m = 14.5 \, m \) olur.
- İkinci Asansörün Hareketi: İkinci asansörün hareketi, kutunun hızı ve konumu üzerinde doğrudan bir etkiye sahip değildir çünkü kutu birinci asansörün içindedir ve ikinci asansörle etkileşimde bulunmamaktadır.
- Sonuç: 3 saniye sonra kutunun yere göre hızı \( 9 \, m/s \) (yukarı yönlü) ve yere göre konumu \( 14.5 \, m \) olur. 🌠
Örnek 4:
Bir inşaat işçisi, elindeki çimento torbasını düşey olarak yukarı doğru \( 5 \, m/s \) ilk hızla fırlatıyor. Torba tepe noktasına ulaştıktan sonra serbest düşmeye bırakılıyor. Torbanın tepe noktasına ulaşma süresini ve bu noktadan yere düşene kadar geçen toplam süreyi hesaplayınız. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) 🏗️
Çözüm:
Bu problem iki bölümden oluşur: Torbanın yukarı çıkışı ve serbest düşüşü.
- Yukarı Çıkış Bölümü:
- Verilenler: İlk hız \( v_0 = 5 \, m/s \), son hız (tepe noktasında) \( v = 0 \, m/s \), ivme \( a = -g = -10 \, m/s^2 \).
- Tepe Noktasına Ulaşma Süresi: Hız formülü \( v = v_0 + a \cdot t \)'yi kullanırız. \( 0 = 5 \, m/s + (-10 \, m/s^2) \cdot t_1 \). Buradan \( t_1 = \frac{5}{10} \, s = 0.5 \, s \) bulunur.
- Tepe Noktasına Ulaşma Yüksekliği: Yer değiştirme formülü \( \Delta y = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \)'yi kullanırız. \( h_{max} = (5 \, m/s) \cdot (0.5 \, s) + \frac{1}{2} (-10 \, m/s^2) \cdot (0.5 \, s)^2 = 2.5 \, m - 1.25 \, m = 1.25 \, m \).
- Serbest Düşüş Bölümü:
- Verilenler: İlk hız \( v_0' = 0 \, m/s \) (tepe noktasında), yer değiştirme \( \Delta y' = -1.25 \, m \) (aşağı yönlü), ivme \( a' = -g = -10 \, m/s^2 \).
- Yere Düşme Süresi: Yer değiştirme formülü \( \Delta y' = v_0' \cdot t_2 + \frac{1}{2} a' \cdot t_2^2 \)'yi kullanırız. \( -1.25 \, m = 0 \cdot t_2 + \frac{1}{2} (-10 \, m/s^2) \cdot t_2^2 \). Buradan \( -1.25 = -5 \cdot t_2^2 \), yani \( t_2^2 = \frac{1.25}{5} = 0.25 \, s^2 \) olur. \( t_2 = \sqrt{0.25} \, s = 0.5 \, s \) bulunur.
- Toplam Süre: Toplam süre \( T = t_1 + t_2 = 0.5 \, s + 0.5 \, s = 1 \, s \) olur.
- Sonuç: Torbanın tepe noktasına ulaşma süresi \( 0.5 \, s \)'dir. Tepe noktasından yere düşene kadar geçen süre \( 0.5 \, s \)'dir. Toplam süre ise \( 1 \, s \)'dir. ⏱️
Örnek 5:
Bir cisim, \( 20 \, m \) yükseklikten serbest bırakılıyor. Aynı anda, yerden \( 5 \, m \) yükseklikten düşey yukarı doğru \( 15 \, m/s \) ilk hızla başka bir cisim fırlatılıyor. Cisimlerin havada çarpışma olasılığı var mıdır? Eğer varsa, çarpışma anındaki hızlarını ve konumlarını bulunuz. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) 💥
Çözüm:
Bu soruda, iki cismin hareket denklemlerini yazıp eşitleyerek çarpışma durumunu inceleyeceğiz.
- Birinci Cisim (Serbest Bırakılan):
- Verilenler: İlk yükseklik \( y_{0,1} = 20 \, m \), ilk hız \( v_{0,1} = 0 \, m/s \), ivme \( a_1 = -g = -10 \, m/s^2 \).
- Konum Denklemi: \( y_1(t) = y_{0,1} + v_{0,1} \cdot t + \frac{1}{2} a_1 \cdot t^2 = 20 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} (-10) t^2 = 20 - 5t^2 \).
- Hız Denklemi: \( v_1(t) = v_{0,1} + a_1 \cdot t = 0 + (-10) t = -10t \).
- İkinci Cisim (Yukarı Fırlatılan):
- Verilenler: İlk yükseklik \( y_{0,2} = 5 \, m \), ilk hız \( v_{0,2} = 15 \, m/s \), ivme \( a_2 = -g = -10 \, m/s^2 \).
- Konum Denklemi: \( y_2(t) = y_{0,2} + v_{0,2} \cdot t + \frac{1}{2} a_2 \cdot t^2 = 5 + 15t + \frac{1}{2} (-10) t^2 = 5 + 15t - 5t^2 \).
- Hız Denklemi: \( v_2(t) = v_{0,2} + a_2 \cdot t = 15 + (-10) t = 15 - 10t \).
- Çarpışma Durumu: Çarpışma olması için \( y_1(t) = y_2(t) \) olmalıdır.
- \( 20 - 5t^2 = 5 + 15t - 5t^2 \)
- \( 20 = 5 + 15t \)
- \( 15 = 15t \)
- \( t = 1 \, s \)
- Sonuç: Evet, cisimler \( t = 1 \, s \) anında çarpışır.
- Çarpışma Konumu: \( y_1(1) = 20 - 5(1)^2 = 20 - 5 = 15 \, m \).
- Çarpışma Hızları:
- \( v_1(1) = -10(1) = -10 \, m/s \) (aşağı yönlü).
- \( v_2(1) = 15 - 10(1) = 5 \, m/s \) (yukarı yönlü).
Örnek 6:
Düşey aşağı doğru sabit \( 4 \, m/s^2 \) ivme ile hızlanan bir araba, 3 saniye sonra \( 25 \, m/s \) hıza ulaşıyor. Arabanın ilk hızını bulunuz. 🚗
Çözüm:
Bu soruda, sabit ivmeli hareketin hız formülünü kullanarak arabanın ilk hızını bulacağız.
- Verilenler: İvme \( a = 4 \, m/s^2 \) (düşey aşağı yönlü kabul edelim), zaman \( t = 3 \, s \), son hız \( v = 25 \, m/s \).
- İstenen: İlk hız \( v_0 \).
- Kullanılacak Formül: \( v = v_0 + a \cdot t \).
- Hesaplama: Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 25 \, m/s = v_0 + (4 \, m/s^2) \cdot (3 \, s) \).
- Sonuç: \( 25 \, m/s = v_0 + 12 \, m/s \). Buradan \( v_0 = 25 \, m/s - 12 \, m/s = 13 \, m/s \) bulunur. Arabanın ilk hızı \( 13 \, m/s \)'dir. 👍
Örnek 7:
Bir paraşütçü, \( 500 \, m \) yükseklikten serbest düşmeye başlıyor. Paraşütünü açtıktan sonra, yere kadar \( 2 \, m/s^2 \) büyüklüğünde sabit yavaşlama ivmesiyle hareket ediyor. Eğer paraşütçü yere \( 10 \, m/s \) hızla inerse, paraşütünü kaç metre yükseklikte açtığını bulunuz. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) 🪂
Çözüm:
Bu problemde, paraşütçünün serbest düşüş ve yavaşlama hareketlerini ayrı ayrı inceleyip, yavaşlama bölümündeki yüksekliği bulacağız.
Sonuç: Paraşütçü paraşütünü \( 412.5 \, m \) yükseklikte açmıştır. 💯
- Serbest Düşüş Bölümü:
- Verilenler: İlk hız \( v_0 = 0 \, m/s \), ivme \( a_1 = g = 10 \, m/s^2 \).
- Yavaşlama Başlangıç Hızı: Paraşütçünün yere iniş hızı \( v_{son} = 10 \, m/s \). Yavaşlama bölümünün başlangıç hızı, serbest düşüş bölümünün son hızıdır. Ancak, bize bu hız doğrudan verilmediği için, yavaşlama bölümünü kullanarak bu hızı bulacağız.
- Yavaşlama Bölümü:
- Verilenler: Son hız \( v = 10 \, m/s \), ivme \( a_2 = -2 \, m/s^2 \) (yavaşlama olduğu için negatif), yükseklik \( h_{paraşüt} \).
- Yavaşlama Başlangıç Hızı (Serbest Düşüş Son Hızı): Bu hızı bulmak için yavaşlama bölümünün formüllerini kullanacağız.
- Kullanılacak Formül: \( v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta y \). Burada \( v_0 \) yavaşlama bölümünün ilk hızıdır.
- Hesaplama: \( (10 \, m/s)^2 = v_0^2 + 2 \cdot (-2 \, m/s^2) \cdot h_{paraşüt} \).
- Serbest Düşüş Yüksekliği: Paraşütçü \( h_{paraşüt} \) metre yükseklikte paraşütünü açtığında, serbest düşüş yüksekliği \( h_{serbest} = 500 \, m - h_{paraşüt} \) olur.
- Serbest Düşüş Hızı: Serbest düşüş bölümünün son hızı (yani yavaşlama bölümünün ilk hızı \( v_0 \)) için \( v_0^2 = v_{0,serbest}^2 + 2 \cdot a_{serbest} \cdot h_{serbest} \) formülünü kullanırız. \( v_0^2 = 0^2 + 2 \cdot (10 \, m/s^2) \cdot (500 \, m - h_{paraşüt}) \).
- Denklemleri Birleştirme:
- \( 100 = v_0^2 - 4 \cdot h_{paraşüt} \)
- \( v_0^2 = 20 \cdot (500 - h_{paraşüt}) \)
- \( 100 = 20 \cdot (500 - h_{paraşüt}) - 4 \cdot h_{paraşüt} \)
- \( 100 = 10000 - 20 \cdot h_{paraşüt} - 4 \cdot h_{paraşüt} \)
- \( 100 = 10000 - 24 \cdot h_{paraşüt} \)
- \( 24 \cdot h_{paraşüt} = 10000 - 100 = 9900 \)
- \( h_{paraşüt} = \frac{9900}{24} \, m = 412.5 \, m \)
Örnek 8:
Bir basketbolcu, topu yerden \( 2 \, m \) yükseklikten, düşey yukarı doğru \( 8 \, m/s \) ilk hızla potaya doğru atıyor. Topun potaya ulaşıp ulaşmadığını ve ulaştıysa kaç saniye sonra ulaştığını hesaplayınız. Potanın yüksekliği \( 3.05 \, m \) olarak kabul edilecektir. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) 🏀
Çözüm:
Bu soruda, topun hareketini bir eğik atış gibi düşünmeyip, sadece düşey hareketini inceleyerek potaya ulaşıp ulaşmadığını ve zamanını hesaplayacağız.
Sonuç: Top, potaya yaklaşık olarak \( 0.14 \, s \) ve \( 1.46 \, s \) zamanlarında ulaşır. Basketbolcu topu attıktan kısa bir süre sonra (ilk zaman) ve topun tepe noktasına ulaşıp geri inerken (ikinci zaman) potaya girebilir. Genellikle ilk zaman diliminde potaya girer. 🏀✅
- Verilenler: İlk yükseklik \( y_0 = 2 \, m \), ilk hız \( v_0 = 8 \, m/s \), ivme \( a = -g = -10 \, m/s^2 \), hedef yükseklik \( y_{hedef} = 3.05 \, m \).
- İstenen: Topun potaya ulaşma süresi \( t \).
- Kullanılacak Formül: \( y(t) = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \).
- Denklem Kurulumu: Topun potanın yüksekliğine ulaştığı anı bulmak için \( y(t) = y_{hedef} \) eşitliğini kullanırız.
- \( 3.05 \, m = 2 \, m + (8 \, m/s) \cdot t + \frac{1}{2} (-10 \, m/s^2) \cdot t^2 \)
- \( 3.05 = 2 + 8t - 5t^2 \)
- \( 5t^2 - 8t + 1.05 = 0 \)
- İkinci Dereceden Denklem Çözümü: Bu denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz: \( \Delta = b^2 - 4ac \).
- \( a = 5, b = -8, c = 1.05 \)
- \( \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot (5) \cdot (1.05) = 64 - 20 \cdot (1.05) = 64 - 21 = 43 \)
- Zaman Değerleri:
- \( t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
- \( t_1 = \frac{8 + \sqrt{43}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 6.557}{10} \approx \frac{14.557}{10} \approx 1.46 \, s \)
- \( t_2 = \frac{8 - \sqrt{43}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 6.557}{10} \approx \frac{1.443}{10} \approx 0.14 \, s \)
Örnek 9:
Bir roket, düşey yukarı doğru \( 100 \, m/s \) ilk hızla ateşleniyor. Motorları \( 5 \, s \) boyunca \( 20 \, m/s^2 \) büyüklüğünde sabit bir itme kuvveti uygulayarak roketin ivmesini artırıyor. Motorlar sustuktan sonra roket, yerçekimi etkisi altında hareketine devam ediyor. Roketin yerden maksimum yüksekliğe ulaşma süresini ve bu yüksekliği hesaplayınız. (g = \( 10 \, m/s^2 \)) 🚀
Çözüm:
Bu problemde, roketin hareketini iki aşamada inceleyeceğiz: motorların çalıştığı süre ve motorlar sustuktan sonraki serbest düşüş (artık ivmeli hareket).
Sonuç: Roketin yerden maksimum yüksekliğe ulaşma süresi \( 25 \, s \)'dir ve bu yükseklik \( 2750 \, m \)'dir. 🌠
- Aşama 1: Motorların Çalıştığı Süre (İlk 5 saniye)
- Verilenler: İlk hız \( v_0 = 100 \, m/s \), zaman \( t_1 = 5 \, s \), ivme \( a_1 = 20 \, m/s^2 \).
- Bu Süre Sonundaki Hız: \( v_1 = v_0 + a_1 \cdot t_1 = 100 \, m/s + (20 \, m/s^2) \cdot (5 \, s) = 100 + 100 = 200 \, m/s \).
- Bu Süre Sonundaki Yükseklik: \( y_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a_1 \cdot t_1^2 = (100 \, m/s) \cdot (5 \, s) + \frac{1}{2} (20 \, m/s^2) \cdot (5 \, s)^2 = 500 \, m + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 25 \, m = 500 + 250 = 750 \, m \).
- Aşama 2: Motorlar Sustuktan Sonraki Hareket
- Verilenler: Bu aşamanın başlangıç hızı \( v_{0,2} = v_1 = 200 \, m/s \), bu aşamanın başlangıç yüksekliği \( y_{0,2} = y_1 = 750 \, m \), ivme \( a_2 = -g = -10 \, m/s^2 \).
- Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Süresi (Bu Aşamada): Maksimum yükseklikte hız sıfır olur. \( v_{maks} = 0 \).
- Kullanılacak Formül: \( v_{maks} = v_{0,2} + a_2 \cdot t_2 \).
- \( 0 = 200 \, m/s + (-10 \, m/s^2) \cdot t_2 \)
- \( 10 \, t_2 = 200 \)
- \( t_2 = 20 \, s \)
- Maksimum Yükseklik (Bu Aşamada):
- Kullanılacak Formül: \( y_{maks} = y_{0,2} + v_{0,2} \cdot t_2 + \frac{1}{2} a_2 \cdot t_2^2 \).
- \( y_{maks} = 750 \, m + (200 \, m/s) \cdot (20 \, s) + \frac{1}{2} (-10 \, m/s^2) \cdot (20 \, s)^2 \)
- \( y_{maks} = 750 + 4000 + \frac{1}{2} (-10) \cdot 400 \)
- \( y_{maks} = 750 + 4000 - 2000 = 2750 \, m \)
- Toplam Süre ve Maksimum Yükseklik:
- Toplam süre \( T_{toplam} = t_1 + t_2 = 5 \, s + 20 \, s = 25 \, s \).
- Maksimum yükseklik \( y_{maks} = 2750 \, m \).
Örnek 10:
Düşey aşağı doğru \( 5 \, m/s \) ilk hızla harekete başlayan bir cisim, \( 4 \, m/s^2 \) sabit ivme ile hızlanıyor. Cismin 6 saniye sonraki yer değiştirmesini bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda, sabit ivmeli hareketin yer değiştirme formülünü kullanarak cismin 6 saniye sonraki yer değiştirmesini hesaplayacağız.
- Verilenler: İlk hız \( v_0 = 5 \, m/s \) (düşey aşağı yönlü), ivme \( a = 4 \, m/s^2 \) (düşey aşağı yönlü), zaman \( t = 6 \, s \).
- İstenen: Yer değiştirme \( \Delta y \).
- Kullanılacak Formül: \( \Delta y = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \).
- Hesaplama: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( \Delta y = (5 \, m/s) \cdot (6 \, s) + \frac{1}{2} (4 \, m/s^2) \cdot (6 \, s)^2 \).
- Sonuç: \( \Delta y = 30 \, m + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 36 \, m = 30 \, m + 2 \cdot 36 \, m = 30 \, m + 72 \, m = 102 \, m \). Cismin 6 saniye sonraki yer değiştirmesi \( 102 \, m \)'dir (düşey aşağı yönlü). 👍
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-fizik-dusey-dogrultuda-sabit-ivmeli-hareket/sorular