Düşey Doğrultuda Sabit İvmeli Hareket Ders Notu

Düşey Doğrultuda Sabit İvmeli Hareket

Bu bölümde, yerçekimi etkisi altında düşey doğrultuda hareket eden cisimlerin incelemesini yapacağız. Bu tür hareketler, sabit bir ivme (yerçekimi ivmesi) ile gerçekleşir. Hava sürtünmesi ihmal edildiğinde, tüm cisimler kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivmeyle yere düşer. Bu ivme, yerçekimi ivmesi olarak bilinir ve genellikle \( g \) ile gösterilir. \( g \)'nin yaklaşık değeri \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)'dir, ancak hesaplamalarda kolaylık olması açısından genellikle \( 10 \, \text{m/s}^2 \) olarak alınır.

Temel Kavramlar ve Formüller

Düşey doğrultuda sabit ivmeli hareket, yatay düzlemdeki sabit ivmeli hareketle aynı kinematik denklemleri kullanır. Tek fark, ivmenin yönünün düşey olmasıdır. Yerçekimi ivmesi \( g \) her zaman aşağı doğru yöneliktir.

Yerçekimi İvmesi (\( g \)): Aşağı doğru yönelmiş sabit bir ivmedir.
Hava Sürtünmesi: Genellikle bu tür problemlerde ihmal edilir.

Kinematik Denklemler

Sabit ivmeli hareket için kullanılan temel kinematik denklemler, düşey hareket için de geçerlidir. Bu denklemlerde ivme \( a \) yerine \( g \) kullanılır ve genellikle düşey eksen \( y \) olarak kabul edilir.

Başlangıç hızı \( v_0 \), son hız \( v \), yer değiştirme \( \Delta y \) ve zaman \( t \) olmak üzere denklemler şunlardır:

Hız-zaman denklemi: \[ v = v_0 + gt \] Burada \( v_0 \) başlangıçta cismin sahip olduğu düşey hızdır. Eğer cisim serbest bırakılıyorsa, \( v_0 = 0 \) olur.
Konum-zaman denklemi: \[ \Delta y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \] Burada \( \Delta y \) cismin düşey doğrultudaki yer değiştirmesidir. Genellikle başlangıç konumu sıfır kabul edilerek \( y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \) şeklinde de yazılır.
Hız-yer değiştirme denklemi: \[ v^2 = v_0^2 + 2g\Delta y \] Bu denklem, zaman bilgisinin olmadığı durumlarda kullanışlıdır.

Önemli Not: Yönlendirme seçimi önemlidir. Genellikle aşağı yön pozitif alınırsa \( g \) pozitif olur. Eğer yukarı yön pozitif alınırsa, \( g \) negatif olur (\( -g \)). Problemi çözerken tutarlı bir yönlendirme seçmek kritiktir.

Farklı Başlangıç Durumları

1. Serbest Düşme

Bir cismin belirli bir yükseklikten serbest bırakılması durumudur. Bu durumda başlangıç hızı \( v_0 = 0 \) olur.

Hız-zaman: \( v = gt \)
Konum-zaman: \( \Delta y = \frac{1}{2}gt^2 \)
Hız-yer değiştirme: \( v^2 = 2g\Delta y \)

2. Yukarı Doğru Atılan Cisimler

Bir cisim düşey yukarı doğru bir ilk hızla atıldığında, cisim yükselirken hızı azalır, en tepe noktasına ulaştığında anlık olarak durur (\( v = 0 \)) ve sonra tekrar aşağı doğru düşmeye başlar. Bu durumda yukarı yön pozitif alınırsa, \( v_0 \) pozitif ve \( g \) negatif (\( -g \)) olur.

Hız-zaman: \( v = v_0 - gt \)
Konum-zaman: \( \Delta y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \)
Hız-yer değiştirme: \( v^2 = v_0^2 - 2g\Delta y \)

Tepe noktasında \( v=0 \) olduğu için, tepeye çıkış süresi \( t_{çıkış} = \frac{v_0}{g} \) ve tepeye çıkılan yükseklik \( h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} \) olur.

3. Aşağı Doğru Atılan Cisimler

Bir cisim düşey aşağı doğru bir ilk hızla atıldığında, cismin hızı sürekli artar. Bu durumda aşağı yön pozitif alınırsa, \( v_0 \) pozitif ve \( g \) pozitif olur.

Hız-zaman: \( v = v_0 + gt \)
Konum-zaman: \( \Delta y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \)
Hız-yer değiştirme: \( v^2 = v_0^2 + 2g\Delta y \)

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Serbest Düşme

Yüksekliği 45 metre olan bir binanın tepesinden bir taş serbest bırakılıyor. Taşın yere çarpma süresini ve yere çarpma hızını bulunuz. (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))

Çözüm:

Cisim serbest bırakıldığı için \( v_0 = 0 \) ve \( \Delta y = 45 \, \text{m} \). Aşağı yönü pozitif alalım.

Süre için konum-zaman denklemini kullanalım:

\[ \Delta y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \] \[ 45 = (0) t + \frac{1}{2}(10)t^2 \] \[ 45 = 5t^2 \] \[ t^2 = \frac{45}{5} = 9 \] \[ t = 3 \, \text{s} \]

Yere çarpma hızı için hız-yer değiştirme denklemini kullanalım:

\[ v^2 = v_0^2 + 2g\Delta y \] \[ v^2 = (0)^2 + 2(10)(45) \] \[ v^2 = 900 \] \[ v = \sqrt{900} = 30 \, \text{m/s} \]

Taş 3 saniyede yere çarpar ve yere çarpma hızı 30 m/s'dir.

Örnek 2: Yukarı Doğru Atılan Cisim

Bir top, yerden 20 m/s ilk hızla düşey yukarı doğru atılıyor. Topun en fazla çıkabileceği yüksekliği ve yere geri dönme süresini bulunuz. (\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \))

Çözüm:

Yukarı yönü pozitif alalım. \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \), \( g = -10 \, \text{m/s}^2 \).

En fazla çıkabileceği yükseklik için tepe noktasında hızın sıfır olduğunu (\( v = 0 \)) biliyoruz. Hız-yer değiştirme denklemini kullanalım:

\[ v^2 = v_0^2 + 2g\Delta y \] \[ (0)^2 = (20)^2 + 2(-10)h_{max} \] \[ 0 = 400 - 20h_{max} \] \[ 20h_{max} = 400 \] \[ h_{max} = \frac{400}{20} = 20 \, \text{m} \]

Yere geri dönme süresi için, cismin başlangıç noktasına geri döndüğünü (\( \Delta y = 0 \)) biliyoruz. Konum-zaman denklemini kullanalım:

\[ \Delta y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \] \[ 0 = 20t + \frac{1}{2}(-10)t^2 \] \[ 0 = 20t - 5t^2 \] \[ 0 = 5t(4 - t) \]

Buradan \( t=0 \) (başlangıç anı) veya \( 4-t=0 \Rightarrow t=4 \, \text{s} \) elde edilir. Top 4 saniye sonra yere geri döner.