💡 10. Sınıf Fizik: Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket Çözümlü Örnekler

Bu problemde, sabit ivmeli hareket formüllerinden yararlanacağız.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 10 \text{ m/s} \)
• İvme \( a = 2 \text{ m/s}^2 \)
• Zaman \( t = 5 \text{ s} \)

İstenen: Son hız \( v_s \)

👉 Sabit ivmeli harekette son hız formülü: \( v_s = v_i + a \cdot t \) şeklindedir.
Şimdi değerleri yerine koyalım:

• \( v_s = 10 \text{ m/s} + (2 \text{ m/s}^2) \cdot (5 \text{ s}) \)
• \( v_s = 10 \text{ m/s} + 10 \text{ m/s} \)
• \( v_s = 20 \text{ m/s} \)

✅ Yani, aracın 5 saniye sonraki hızı \( 20 \text{ m/s} \) olacaktır.

Bu problemde, duruştan başlayan bir cismin sabit ivme ile aldığı yolu hesaplayacağız.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 0 \text{ m/s} \) (Durmakta olduğu için)
• İvme \( a = 3 \text{ m/s}^2 \)
• Zaman \( t = 4 \text{ s} \)

İstenen: Alınan yol (yer değiştirme) \( \Delta x \)

👉 Sabit ivmeli harekette yer değiştirme formülü: \( \Delta x = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \) şeklindedir.
Değerleri yerine yazalım:

• \( \Delta x = (0 \text{ m/s}) \cdot (4 \text{ s}) + \frac{1}{2} \cdot (3 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s})^2 \)
• \( \Delta x = 0 + \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ m/s}^2 \cdot 16 \text{ s}^2 \)
• \( \Delta x = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ m} \)
• \( \Delta x = 24 \text{ m} \)

✅ Bisikletli 4 saniye sonunda \( 24 \text{ m} \) yol almıştır.

Bu problemde, yavaşlayan bir cismin durana kadar aldığı yolu hesaplayacağız. Durma anındaki son hız \( 0 \text{ m/s} \) olacaktır.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 15 \text{ m/s} \)
• İvme \( a = -3 \text{ m/s}^2 \)
• Son hız \( v_s = 0 \text{ m/s} \) (Çünkü duruyor)

İstenen: Alınan yol (yer değiştirme) \( \Delta x \)

👉 Zaman bilgisi verilmediği için "zamansız hız denklemi" kullanmak en pratik yöntemdir: \( v_s^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \).
Değerleri formülde yerine koyalım:

• \( (0 \text{ m/s})^2 = (15 \text{ m/s})^2 + 2 \cdot (-3 \text{ m/s}^2) \cdot \Delta x \)
• \( 0 = 225 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 6 \text{ m/s}^2 \cdot \Delta x \)
• \( 6 \text{ m/s}^2 \cdot \Delta x = 225 \text{ m}^2/\text{s}^2 \)
• \( \Delta x = \frac{225 \text{ m}^2/\text{s}^2}{6 \text{ m/s}^2} \)
• \( \Delta x = 37.5 \text{ m} \)

✅ Otomobil durana kadar \( 37.5 \text{ m} \) yol alır.

Bu problemde, hızlanan bir motosikletin ivmesini ve aldığı yolu iki adımda hesaplayacağız.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 5 \text{ m/s} \)
• Son hız \( v_s = 25 \text{ m/s} \)
• Zaman \( t = 4 \text{ s} \)

İstenenler: İvme \( a \) ve yer değiştirme \( \Delta x \)

Adım 1: İvmeyi Hesaplama 👉 İvme formülü: \( a = \frac{v_s - v_i}{t} \)

• \( a = \frac{25 \text{ m/s} - 5 \text{ m/s}}{4 \text{ s}} \)
• \( a = \frac{20 \text{ m/s}}{4 \text{ s}} \)
• \( a = 5 \text{ m/s}^2 \)

Adım 2: Alınan Yolu Hesaplama 👉 Yer değiştirme için birçok formül kullanabiliriz. Ortalama hız yöntemi pratik olabilir: \( \Delta x = v_{ort} \cdot t \) ve \( v_{ort} = \frac{v_i + v_s}{2} \)

• \( v_{ort} = \frac{5 \text{ m/s} + 25 \text{ m/s}}{2} = \frac{30 \text{ m/s}}{2} = 15 \text{ m/s} \)
• \( \Delta x = (15 \text{ m/s}) \cdot (4 \text{ s}) \)
• \( \Delta x = 60 \text{ m} \)

✅ Motosikletin ivmesi \( 5 \text{ m/s}^2 \) ve bu süre zarfında aldığı yol \( 60 \text{ m} \) 'dir.

Bu problemde, iki farklı ivmeyle hareket eden cisimlerin birbirini yakalama süresini bulacağız. İkisi de duruştan başlıyor.
Verilenler:

• A otomobilinin ilk hızı \( v_{iA} = 0 \text{ m/s} \), ivmesi \( a_A = 4 \text{ m/s}^2 \)
• B otomobilinin ilk hızı \( v_{iB} = 0 \text{ m/s} \), ivmesi \( a_B = 2 \text{ m/s}^2 \)
• Aralarındaki başlangıç mesafesi \( d = 100 \text{ m} \)

İstenen: Yakalama süresi \( t \)

👉 Yakalama anında, A otomobilinin aldığı yol, B otomobilinin aldığı yoldan \( 100 \text{ m} \) fazla olmalıdır.
Yer değiştirme formülü: \( \Delta x = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \). İlk hızlar sıfır olduğu için \( \Delta x = \frac{1}{2} a \cdot t^2 \) olacaktır.

• A otomobilinin aldığı yol: \( \Delta x_A = \frac{1}{2} a_A \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2 = 2t^2 \)
• B otomobilinin aldığı yol: \( \Delta x_B = \frac{1}{2} a_B \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2 \)

Yakalama koşulu: \( \Delta x_A = \Delta x_B + 100 \)
Şimdi denklemi kuralım ve \( t \) değerini bulalım:

• \( 2t^2 = t^2 + 100 \)
• \( 2t^2 - t^2 = 100 \)
• \( t^2 = 100 \)
• \( t = \sqrt{100} \)
• \( t = 10 \text{ s} \)

✅ A noktasındaki otomobil, B noktasındaki otomobili 10 saniye sonra yakalar.

Bu problem, iki farklı hareket durumunu içeriyor: sabit ivmeli hareket ve sabit hızlı hareket.
Verilenler:

• İvme \( a = 0.5 \text{ m/s}^2 \) (ilk bölüm için)
• İlk hız \( v_i = 0 \text{ m/s} \) (duruştan başladığı için)
• Zaman \( t_1 = 20 \text{ s} \) (ilk bölüm için)
• Zaman \( t_2 = 20 \text{ s} \) (ikinci bölüm için)

İstenen: İlk 20 saniyedeki yol ile sonraki 20 saniyedeki yol arasındaki fark.

Adım 1: İlk 20 saniyede alınan yolu (\( \Delta x_1 \)) hesaplayalım. 👉 Formül: \( \Delta x_1 = v_i \cdot t_1 + \frac{1}{2} a \cdot t_1^2 \)

• \( \Delta x_1 = (0 \text{ m/s}) \cdot (20 \text{ s}) + \frac{1}{2} \cdot (0.5 \text{ m/s}^2) \cdot (20 \text{ s})^2 \)
• \( \Delta x_1 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \text{ m/s}^2 \cdot 400 \text{ s}^2 \)
• \( \Delta x_1 = 0.25 \cdot 400 \text{ m} \)
• \( \Delta x_1 = 100 \text{ m} \)

Adım 2: 20 saniye sonundaki hızı (\( v_s \)) bulalım. Bu hız, ikinci bölümdeki sabit hız olacaktır. 👉 Formül: \( v_s = v_i + a \cdot t_1 \)

• \( v_s = 0 \text{ m/s} + (0.5 \text{ m/s}^2) \cdot (20 \text{ s}) \)
• \( v_s = 10 \text{ m/s} \)

Adım 3: Sonraki 20 saniyede (sabit hızla) alınan yolu (\( \Delta x_2 \)) hesaplayalım. 👉 Formül: \( \Delta x_2 = v_s \cdot t_2 \)

• \( \Delta x_2 = (10 \text{ m/s}) \cdot (20 \text{ s}) \)
• \( \Delta x_2 = 200 \text{ m} \)

Adım 4: Yol farkını bulalım.

• Fark = \( \Delta x_2 - \Delta x_1 = 200 \text{ m} - 100 \text{ m} \)
• Fark = \( 100 \text{ m} \)

✅ Tramvayın ilk 20 saniyede aldığı yol ile sonraki 20 saniyede aldığı yol arasındaki fark \( 100 \text{ m} \) 'dir.

Bu problem, günlük hayatta karşılaştığımız bir frenleme senaryosunu içermektedir.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 20 \text{ m/s} \)
• İvme \( a = -5 \text{ m/s}^2 \)
• Zaman \( t = 2 \text{ s} \)
• Son hız \( v_s = 0 \text{ m/s} \) (Çünkü duruyor)

İstenen: Fren mesafesi (alınan yol) \( \Delta x \)

👉 Yer değiştirme formülü: \( \Delta x = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \) kullanabiliriz.

• \( \Delta x = (20 \text{ m/s}) \cdot (2 \text{ s}) + \frac{1}{2} \cdot (-5 \text{ m/s}^2) \cdot (2 \text{ s})^2 \)
• \( \Delta x = 40 \text{ m} + \frac{1}{2} \cdot (-5 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s}^2) \)
• \( \Delta x = 40 \text{ m} - \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ m} \)
• \( \Delta x = 40 \text{ m} - 10 \text{ m} \)
• \( \Delta x = 30 \text{ m} \)

💡 Kontrol edelim: Son hız gerçekten 2 saniyede sıfır oluyor mu? \( v_s = v_i + a \cdot t = 20 + (-5) \cdot 2 = 20 - 10 = 10 \text{ m/s} \).
Hata var! Soru metninde "2 saniye içinde duruyor" ifadesi ile ivme değerinin tutarsızlığı var. Ya ivme farklı olmalıydı ya da zaman.
Soruyu daha tutarlı hale getirelim: "Aracın ilk hızı \( 20 \text{ m/s} \) iken, fren yaptıktan sonra sabit \( -5 \text{ m/s}^2 \) ivme ile yavaşlayarak duruyor. Bu aracın fren yapmaya başladığı andan itibaren durana kadar geçen süre ve aldığı yol kaç metredir?"
Bu durumda zamanı bulup sonra yolu hesaplamak daha doğru olur. Düzeltilmiş Soru ve Çözüm: Bir otoyolda seyir halinde olan bir araç, trafikteki bir tehlikeyi fark ederek fren yapıyor. 🚨
Aracın ilk hızı \( 20 \text{ m/s} \) iken, fren yaptıktan sonra sabit \( -5 \text{ m/s}^2 \) ivme ile yavaşlayarak duruyor. Sürücünün tepki süresini (fren yapmaya başlayana kadar geçen süre) ihmal edersek, bu aracın fren yapmaya başladığı andan itibaren durana kadar aldığı yol kaç metredir? Düzeltilmiş Çözüm: Bu problem, günlük hayatta karşılaştığımız bir frenleme senaryosunu içermektedir.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 20 \text{ m/s} \)
• İvme \( a = -5 \text{ m/s}^2 \)
• Son hız \( v_s = 0 \text{ m/s} \) (Çünkü duruyor)

İstenen: Fren mesafesi (alınan yol) \( \Delta x \)

👉 Zaman bilgisi verilmediği ve son hız sıfır olduğu için "zamansız hız denklemi" kullanmak en uygunudur: \( v_s^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \).
Değerleri formülde yerine koyalım:

• \( (0 \text{ m/s})^2 = (20 \text{ m/s})^2 + 2 \cdot (-5 \text{ m/s}^2) \cdot \Delta x \)
• \( 0 = 400 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 10 \text{ m/s}^2 \cdot \Delta x \)
• \( 10 \text{ m/s}^2 \cdot \Delta x = 400 \text{ m}^2/\text{s}^2 \)
• \( \Delta x = \frac{400 \text{ m}^2/\text{s}^2}{10 \text{ m/s}^2} \)
• \( \Delta x = 40 \text{ m} \)

✅ Aracın fren yapmaya başladığı andan itibaren durana kadar aldığı yol \( 40 \text{ m} \) 'dir.

Bu problem, bir asansörün ivmeli hareketini analiz etmektedir.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 0 \text{ m/s} \) (zemin kattan başladığı için)
• İvme \( a = 1.5 \text{ m/s}^2 \)
• Zaman \( t = 4 \text{ s} \)

İstenenler: 4 saniye sonundaki hız \( v_s \) ve katettiği mesafe \( \Delta x \)

Adım 1: 4 saniye sonundaki hızı hesaplayalım. 👉 Formül: \( v_s = v_i + a \cdot t \)

• \( v_s = 0 \text{ m/s} + (1.5 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s}) \)
• \( v_s = 6 \text{ m/s} \)

Adım 2: 4 saniyede katettiği mesafeyi hesaplayalım. 👉 Formül: \( \Delta x = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \)

• \( \Delta x = (0 \text{ m/s}) \cdot (4 \text{ s}) + \frac{1}{2} \cdot (1.5 \text{ m/s}^2) \cdot (4 \text{ s})^2 \)
• \( \Delta x = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \text{ m/s}^2 \cdot 16 \text{ s}^2 \)
• \( \Delta x = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ m} \)
• \( \Delta x = 12 \text{ m} \)

✅ Asansörün 4 saniye sonunda ulaştığı hız \( 6 \text{ m/s} \) ve bu sürede katettiği mesafe \( 12 \text{ m} \) 'dir.

Bu problemde, belirli bir mesafe boyunca hızlanan bir cismin ivmesini hesaplayacağız.
Verilenler:

• İlk hız \( v_i = 8 \text{ m/s} \)
• Son hız \( v_s = 12 \text{ m/s} \)
• Yer değiştirme \( \Delta x = 4 \text{ m} \)

İstenen: İvme \( a \)

👉 Zaman bilgisi verilmediği için "zamansız hız denklemi" kullanmak en uygun yöntemdir: \( v_s^2 = v_i^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x \).
Değerleri formülde yerine koyalım:

• \( (12 \text{ m/s})^2 = (8 \text{ m/s})^2 + 2 \cdot a \cdot (4 \text{ m}) \)
• \( 144 \text{ m}^2/\text{s}^2 = 64 \text{ m}^2/\text{s}^2 + 8 \text{ m} \cdot a \)
• \( 144 - 64 = 8 \cdot a \)
• \( 80 = 8 \cdot a \)
• \( a = \frac{80}{8} \)
• \( a = 10 \text{ m/s}^2 \)

✅ Trenin hızlanma sırasındaki ivmesi \( 10 \text{ m/s}^2 \) 'dir.