💡 10. Sınıf Edebiyat: Geometrik sekiller ve trigonometri Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karesinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.

• Adım 1: Dik kenarların uzunluklarını belirleyelim. Kenar a = 6 cm ve Kenar b = 8 cm.
• Adım 2: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
• Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
• Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
• Adım 5: Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \).
• Adım 6: Hipotenüs 'c'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \).
• Adım 7: Sonucu hesaplayalım: \( c = 10 \) cm.

Hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅

Karenin çevresi ve alanı ile ilgili temel bilgileri kullanarak bu soruyu çözebiliriz.

• Adım 1: Karenin çevresi, dört kenarının toplamıdır. Bir kenar uzunluğunu 'a' ile gösterirsek, çevre \( 4a \) olur.
• Adım 2: Verilen çevre bilgisini kullanalım: \( 4a = 36 \) cm.
• Adım 3: Bir kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( a = \frac{36}{4} \).
• Adım 4: Bir kenar uzunluğunu hesaplayalım: \( a = 9 \) cm.
• Adım 5: Karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir: \( Alan = a^2 \).
• Adım 6: Alanı hesaplamak için kenar uzunluğunu yerine koyalım: \( Alan = 9^2 \).
• Adım 7: Alanı hesaplayalım: \( Alan = 81 \) cm².

Karenin bir kenar uzunluğu 9 cm ve alanı 81 cm²'dir. 💡

Dairenin çevresi ve alanı formüllerini kullanarak bu soruyu çözebiliriz.

• Adım 1: Dairenin çevresi formülü: \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r \).
• Adım 2: Yarıçap \( r = 7 \) cm ve \( \pi \approx \frac{22}{7} \) değerlerini formüle yerleştirelim: \( Çevre = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 \).
• Adım 3: Çevreyi hesaplayalım: \( Çevre = 2 \cdot 22 = 44 \) cm.
• Adım 4: Dairenin alanı formülü: \( Alan = \pi \cdot r^2 \).
• Adım 5: Değerleri formüle yerleştirelim: \( Alan = \frac{22}{7} \cdot 7^2 \).
• Adım 6: Alanı hesaplayalım: \( Alan = \frac{22}{7} \cdot 49 = 22 \cdot 7 = 154 \) cm².

Dairenin çevresi 44 cm ve alanı 154 cm²'dir. ✨

Koordinat sistemindeki noktaları inceleyerek parkın şeklini ve alanını belirleyebiliriz.

• Adım 1: Noktaların koordinatlarını inceleyelim:
  • A(1, 2) ve B(5, 2): Bu iki nokta aynı y-koordinatına sahiptir, yani yatay bir doğru üzerindedir. Aralarındaki mesafe \( |5 - 1| = 4 \) birimdir.
  • B(5, 2) ve C(5, 5): Bu iki nokta aynı x-koordinatına sahiptir, yani dikey bir doğru üzerindedir. Aralarındaki mesafe \( |5 - 2| = 3 \) birimdir.
  • C(5, 5) ve D(1, 5): Bu iki nokta aynı y-koordinatına sahiptir, yani yatay bir doğru üzerindedir. Aralarındaki mesafe \( |5 - 1| = 4 \) birimdir.
  • D(1, 5) ve A(1, 2): Bu iki nokta aynı x-koordinatına sahiptir, yani dikey bir doğru üzerindedir. Aralarındaki mesafe \( |5 - 2| = 3 \) birimdir.
• Adım 2: Kenar uzunlukları 4 birim ve 3 birim olan, karşılıklı kenarları paralel ve dik olan bir şekil elde ettik. Bu şekil bir dikdörtgendir.
• Adım 3: Dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır: \( Alan = uzun \cdot kisa \).
• Adım 4: Kenar uzunluklarını yerine koyalım: \( Alan = 4 \cdot 3 \).
• Adım 5: Parkın alanını hesaplayalım: \( Alan = 12 \) birim kare.
• Adım 6: Her birimin 1 metreye karşılık geldiğini düşünürsek, parkın alanı 12 metrekaredir.

Parkın şekli dikdörtgendir ve alanı 12 m²'dir. 🗺️

Bu soruda, havuzun etrafına döşenecek kenarlığın uzunluğunu bulmak için dairenin çevresi formülünü kullanacağız.

• Adım 1: Havuzun çapı verilmiş: \( Çap = 10 \) metre.
• Adım 2: Yarıçapı bulmak için çapı 2'ye böleriz: \( r = \frac{Çap}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) metre.
• Adım 3: Dairenin çevre formülü \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r \) veya \( Çevre = \pi \cdot Çap \) şeklindedir. Çapı bildiğimiz için ikinci formülü kullanmak daha pratiktir.
• Adım 4: Verilen \( \pi \approx 3.14 \) ve \( Çap = 10 \) değerlerini formüle yerleştirelim: \( Çevre = 3.14 \cdot 10 \).
• Adım 5: Kenarlığın uzunluğunu hesaplayalım: \( Çevre = 31.4 \) metre.

Havuzun etrafına döşenmesi gereken kenarlığın uzunluğu 31.4 metre'dir. 📏

Bu soruyu çözmek için ikizkenar üçgenin özelliklerini ve temel trigonometrik oranların mantığını kullanacağız.

• Adım 1: İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, taban açılarından birini \( \alpha \) ile gösterirsek: \( 30^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ \).
• Adım 2: Denklemi çözelim: \( 2\alpha = 180^\circ - 30^\circ \Rightarrow 2\alpha = 150^\circ \Rightarrow \alpha = 75^\circ \).
• Adım 3: Taban uzunluğunu bulmak için ikizkenar üçgenin tepe noktasından tabana bir yükseklik indirelim. Bu yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler ve tepe açısını da iki eşit parçaya ayırır.
• Adım 4: Oluşan dik üçgenlerde, tepe açısı \( \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \) olur. Taban kenarı \( 12 \) cm olduğu için, dik üçgenin hipotenüsü \( \frac{12}{2} = 6 \) cm olur.
• Adım 5: Bu dik üçgende, \( 15^\circ \) açısının karşısındaki kenar (tabanın yarısı) \( x \) olsun. Sinüs oranı \( \sin(\theta) = \frac{karşı}{hipotenüs} \) olduğundan: \( \sin(15^\circ) = \frac{x}{6} \).
• Adım 6: Taban uzunluğu \( 2x \) olacaktır. \( x = 6 \cdot \sin(15^\circ) \).
• Adım 7: \( \sin(15^\circ) \) değeri yaklaşık olarak \( 0.2588 \)dir. \( x \approx 6 \cdot 0.2588 \approx 1.55 \) cm.
• Adım 8: Taban uzunluğu \( 2x \approx 2 \cdot 1.55 = 3.1 \) cm olur.

İkizkenar üçgenin taban açılarından biri 75°'dir. Taban uzunluğu ise yaklaşık olarak 3.1 cm'dir. (Not: \( \sin(15^\circ) \) gibi değerler 10. sınıf müfredatında doğrudan ezberlenmeyebilir, ancak temel trigonometrik oranların mantığıyla bu tür bir sonuca ulaşılabilir.) 🧮

Eşkenar üçgenin temel özelliklerini ve verilen formülü kullanarak bu soruyu çözebiliriz.

• Adım 1: Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları eşittir. Bir kenar uzunluğu \( a = 8 \) cm'dir.
• Adım 2: Çevresi, üç kenarının toplamıdır: \( Çevre = 3 \cdot a \).
• Adım 3: Çevreyi hesaplayalım: \( Çevre = 3 \cdot 8 = 24 \) cm.
• Adım 4: Alan formülü \( Alan = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \) olarak verilmiştir.
• Adım 5: Kenar uzunluğunu formüle yerleştirelim: \( Alan = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} \).
• Adım 6: Hesaplamaları yapalım: \( Alan = \frac{64 \sqrt{3}}{4} \).
• Adım 7: Sadeleştirelim: \( Alan = 16 \sqrt{3} \) cm².

Eşkenar üçgenin çevresi 24 cm ve alanı \( 16 \sqrt{3} \) cm²'dir. 🌟

Bu soruyu çözmek için öncelikle odanın taban alanını hesaplayacağız, ardından halının alanını bulacağız.

• Adım 1: Odanın tabanı dikdörtgen şeklindedir. Dikdörtgenin alanı \( Alan = uzun \cdot geniş \) formülü ile hesaplanır.
• Adım 2: Odanın taban uzunluğu 6 metre ve genişliği 4 metredir. Taban alanını hesaplayalım: \( Taban \ Alanı = 6 \cdot 4 = 24 \) metrekare.
• Adım 3: Halının alanı, taban alanından 5 metrekare daha azdır.
• Adım 4: Halının alanını hesaplayalım: \( Halı \ Alanı = Taban \ Alanı - 5 \).
• Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( Halı \ Alanı = 24 - 5 = 19 \) metrekare.

Halı döşenecek alan 19 metrekare'dir. 🖼️