📄 10. Sınıf Edebiyat: Bölme ve bölünebilme kuralı Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

11 ile bölünebilme kuralına göre, sayının rakamları sağdan başlayarak sırasıyla \(+,-,+,-,+\). Bu işaretlerle rakamlar toplanır:

\((2) - (b) + (3) - (a) + (4)\)

\((2+3+4) - (b+a)\)

\(9 - (a+b)\) ifadesi 11'in katı olmalıdır.

\(a\) ve \(b\) birer rakam olduğu için \(0 \le a \le 9\) ve \(0 \le b \le 9\). Dolayısıyla \(0 \le a+b \le 18\) olur.

Bu durumda \(9 - (a+b)\) ifadesinin alabileceği değerler aralığı \(9-18 \le 9-(a+b) \le 9-0\), yani \(-9 \le 9-(a+b) \le 9\) olur.

Bu aralıkta 11'in katı olan tek değer 0'dır.

O halde, \(9 - (a+b) = 0\) olmalıdır.

Buradan \(a+b = 9\) bulunur.

\(a+b\) toplamının alabileceği en büyük değer 9'dur.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgiye göre \(x \equiv 8 \pmod{15}\) yazabiliriz.

Bizden \(x^2+2x+1\) ifadesinin 15 ile bölümünden kalan isteniyor.

Bu ifade bir tam kare açılımıdır ve \((x+1)^2\) olarak yazılabilir.

Öncelikle \(x+1\) sayısının 15 ile bölümünden kalanı bulalım:

\(x+1 \equiv 8+1 \pmod{15}\)

\(x+1 \equiv 9 \pmod{15}\).

Şimdi \((x+1)^2\) ifadesinin 15 ile bölümünden kalanı bulalım:

\((x+1)^2 \equiv 9^2 \pmod{15}\)

\((x+1)^2 \equiv 81 \pmod{15}\).

Son olarak 81 sayısının 15 ile bölümünden kalanı bulalım:

\(81 = 15 \times 5 + 6\).

Yani \(81 \equiv 6 \pmod{15}\).

Dolayısıyla \(x^2+2x+1\) sayısının 15 ile bölümünden kalan 6'dır.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayı 36 ile tam bölünebiliyorsa, hem 4 hem de 9 ile tam bölünmelidir.

1. 4 ile bölünebilme kuralı: Sayının son iki basamağının (\(yz\)) oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır.

2. 9 ile bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamı (\(2+x+4+y+z = 6+x+y+z\)) 9'un katı olmalıdır.



Rakamları farklı olduğu için \(x, y, z\) rakamları 2 ve 4'ten farklı olmalı ve kendi aralarında da farklı olmalıdır.

\(x+y+z\) toplamının en büyük olması için \(x, y, z\) rakamlarını mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz. Kullanabileceğimiz rakamlar \(0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\) (2 ve 4 hariç).



Öncelikle \(y\) ve \(z\) için 4'ün katı olan ve rakamları farklı en büyük değerleri düşünelim. Bu rakamlar 2 ve 4 olmamalıdır.

\(yz\) sayısının 4'ün katı olması için \(z\) çift olmalıdır (0, 6, 8).



En büyük \(y+z\) toplamını veren \(yz\) değerlerini arayalım:

* Eğer \(z=0\): \(y\) için 8 (\(80\)), 6 (\(60\)) gibi. En büyük \(y+z = 8+0=8\).

* Eğer \(z=6\): \(y\) için 9 (\(96\)), 7 (\(76\)), 5 (\(56\)) gibi. En büyük \(y+z = 9+6=15\).

* Eğer \(z=8\): \(y\) için 1, 3, 5, 7, 9 ile birleşince 4'ün katı olmaz (\(18, 38, 58, 78, 98\) hiçbiri 4'e bölünmez).



En büyük \(y+z\) değeri 15'tir (\(y=9, z=6\) veya \(y=6, z=9\) olamaz çünkü \(z\) birler basamağıdır ve 6 veya 0,8 olmalıdır. Yani \(y=9, z=6\) veya \(y=7, z=6\) gibi). \(y=9, z=6\) seçeneği en büyük \(y+z\) toplamını verir (15).



Şimdi rakamlar toplamı kuralına geçelim: \(6+x+y+z\) ifadesi 9'un katı olmalıdır.

\(6+x+15 = 21+x\) ifadesi 9'un katı olmalı. \(x\) bir rakam olduğu için \(x=6\) olmalıdır (\(21+6=27\)).

Ancak rakamları farklı olmalı. \(z=6\) olduğu için \(x\) 6 olamaz.

Bu durumda \(y=9, z=6\) kombinasyonu \(x\) için uygun bir rakam sağlamaz.



Bir sonraki en büyük \(y+z\) değerini veren kombinasyonlara bakalım:

\(y=7, z=6\) (\(yz=76\) ve 4'e bölünür). Bu durumda \(y+z=13\).

Şimdi rakamlar toplamı: \(6+x+y+z = 6+x+13 = 19+x\) ifadesi 9'un katı olmalıdır. \(x\) bir rakam olduğu için \(x=8\) olmalıdır (\(19+8=27\)).

Rakamlar kümesi: \(2, 4, y=7, z=6, x=8\). Tüm rakamlar \(2, 4, 7, 6, 8\) birbirinden farklıdır. Bu geçerli bir durumdur.

Bu durumda \(x+y+z = 8+7+6 = 21\).



Başka bir büyük \(y+z\) kombinasyonu: \(y=6, z=8\) (\(yz=68\) ve 4'e bölünür). Bu durumda \(y+z=14\).

Şimdi rakamlar toplamı: \(6+x+y+z = 6+x+14 = 20+x\) ifadesi 9'un katı olmalıdır. \(x\) bir rakam olduğu için \(x=7\) olmalıdır (\(20+7=27\)).

Rakamlar kümesi: \(2, 4, y=6, z=8, x=7\). Tüm rakamlar \(2, 4, 6, 8, 7\) birbirinden farklıdır. Bu da geçerli bir durumdur.

Bu durumda \(x+y+z = 7+6+8 = 21\).



Her iki durumda da \(x+y+z\) toplamının alabileceği en büyük değer 21'dir.