🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Tarih
💡 9. Sınıf Tarih: Piramit kanunları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Tarih: Piramit kanunları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Tabanı kare olan bir piramidin taban kenar uzunluğu 6 cm ve yan yüz yüksekliği 5 cm'dir. Bu piramidin yanal yüzey alanını hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için piramidin yanal yüzey alanını hesaplamamız gerekiyor. Piramidin yanal yüzeyi, tabana bitişik olan üçgenlerden oluşur.
- Adım 1: Piramidin tabanının bir kenar uzunluğu \( a = 6 \) cm olarak verilmiş.
- Adım 2: Yan yüz yüksekliği (yani üçgenin yüksekliği) \( h_s = 5 \) cm olarak verilmiş.
- Adım 3: Bir yanal yüz (üçgen) alanı \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \) formülü ile bulunur. Bu durumda \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times a \times h_s \).
- Adım 4: Sayıları yerine koyalım: \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 15 \) cm².
- Adım 5: Tabanı kare olan bir piramidin 4 adet yanal yüzü vardır. Bu nedenle toplam yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 4 \times A_{yüz} \) olur.
- Adım 6: \( A_{yanal} = 4 \times 15 \text{ cm}² = 60 \) cm².
Örnek 2:
Tabanı eşkenar üçgen olan bir piramidin taban kenar uzunluğu 8 cm ve piramidin yüksekliği 12 cm'dir. Bu piramidin taban alanını hesaplayınız. 🔺
Çözüm:
Piramidin taban alanı, taban şeklinin alanına eşittir. Bu piramidin tabanı eşkenar üçgendir.
- Adım 1: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu \( a = 8 \) cm.
- Adım 2: Bir eşkenar üçgenin alanı \( A_{taban} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \) formülü ile hesaplanır.
- Adım 3: Verilen kenar uzunluğunu formülde yerine koyalım: \( A_{taban} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}² \).
- Adım 4: Hesaplamayı yapalım: \( A_{taban} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}² = 16\sqrt{3} \) cm².
Örnek 3:
Tabanı düzgün altıgen olan bir piramidin taban kenar uzunluğu 4 cm'dir. Bu piramidin yanal yüzey alanını hesaplamak için hangi bilgilere ihtiyaç duyarız? 🤔
Çözüm:
Piramidin yanal yüzey alanı, yanal yüzeyleri oluşturan üçgenlerin alanları toplamıdır.
- Adım 1: Tabanı düzgün altıgen olan bir piramidin 6 adet yanal yüzü (üçgeni) vardır.
- Adım 2: Her bir yanal yüzün alanı \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \) formülü ile bulunur.
- Adım 3: Taban kenar uzunluğu 4 cm olarak verilmiş. Bu, yanal yüzleri oluşturan üçgenlerin taban uzunluğudur.
- Adım 4: Yanal yüzey alanını hesaplamak için her bir üçgenin yüksekliği olan yanal yüz yüksekliğine ihtiyaç duyarız.
- Adım 5: Alternatif olarak, piramidin eğik yüksekliği (yanal ayrıt uzunluğu) bilinirse de yanal yüzey alanı hesaplanabilir.
Örnek 4:
Bir pizzacı, elindeki kare şeklindeki pizzaları keserek koni şeklinde külahlar hazırlamak istiyor. Eğer pizzanın bir kenarı 20 cm ise, bu pizzadan en fazla kaç adet 10 cm yüksekliğinde ve 5 cm yarıçapında koni külah yapılabilir? (Pizzanın kalınlığı ihmal edilecektir.) 🍕
Çözüm:
Bu problemde, kare şeklindeki pizzanın alanını, koni külahın yan yüzey alanına dönüştürmeye çalışacağız. Koni külahın yan yüzey alanı, aslında bir daire diliminden oluşur.
- Adım 1: Pizzanın alanı: \( A_{pizza} = \text{kenar} \times \text{kenar} = 20 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} = 400 \) cm².
- Adım 2: Koni külahın yan yüzey alanı, bir daire diliminin alanıdır. Daire diliminin alanı \( A_{dilim} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) veya \( A_{dilim} = \frac{1}{2} \times L \times r \) formülüyle bulunur, burada \( L \) yanal uzunluktur.
- Adım 3: Koni için yanal uzunluk \( L \), Pisagor teoremi ile \( L = \sqrt{h^2 + r^2} \) formülüyle bulunur. Burada \( h = 10 \) cm ve \( r = 5 \) cm.
- Adım 4: \( L = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \) cm.
- Adım 5: Koni külahın yan yüzey alanı \( A_{külah} = \frac{1}{2} \times L \times r = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = \frac{25\sqrt{5}}{2} \) cm².
- Adım 6: \( \sqrt{5} \) yaklaşık olarak 2.236'dır. Dolayısıyla \( A_{külah} \approx \frac{25 \times 2.236}{2} \approx \frac{55.9}{2} \approx 27.95 \) cm².
- Adım 7: Pizzadan yapılabilecek maksimum külah sayısı = \( \frac{A_{pizza}}{A_{külah}} \approx \frac{400 \text{ cm}²}{27.95 \text{ cm}²} \approx 14.3 \)
Örnek 5:
Bir hediyelik eşya dükkanında, piramit şeklinde tasarlanmış mumlar satılmaktadır. Tabanı kare olan bir mumun taban kenar uzunluğu 10 cm ve yüksekliği 12 cm'dir. Bu mumun tamamını eriterek başka bir eşya yapmak için kaç cm³ mum malzemesi elde edilir? (Bu, piramidin hacmini hesaplamaktır.) 🕯️
Çözüm:
Bu soruda, piramit şeklindeki mumun hacmini hesaplamamız isteniyor. Piramidin hacim formülü kullanılacaktır.
- Adım 1: Piramidin taban kenar uzunluğu \( a = 10 \) cm.
- Adım 2: Piramidin yüksekliği \( h = 12 \) cm.
- Adım 3: Tabanı kare olan piramidin taban alanı \( A_{taban} = a^2 \) formülü ile bulunur.
- Adım 4: \( A_{taban} = (10 \text{ cm})^2 = 100 \) cm².
- Adım 5: Piramidin hacim formülü \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \) şeklindedir.
- Adım 6: Değerleri formüle yerleştirelim: \( V = \frac{1}{3} \times 100 \text{ cm}² \times 12 \text{ cm} \).
- Adım 7: Hesaplamayı yapalım: \( V = \frac{1200}{3} \) cm³ \( = 400 \) cm³.
Örnek 6:
Tabanı dik üçgen olan bir piramidin tabanını oluşturan dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir. Piramidin yüksekliği 15 cm olduğuna göre, bu piramidin toplam yüzey alanını hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruda hem taban alanını hem de yanal yüzey alanlarını hesaplayıp toplam yüzey alanını bulacağız.
- Adım 1: Tabanı dik üçgen olan piramidin taban alanı: \( A_{taban} = \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2} \).
- Adım 2: \( A_{taban} = \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 24 \) cm².
- Adım 3: Tabanın hipotenüsünü bulalım. Pisagor teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Burada \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Adım 4: \( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Dolayısıyla \( c = 10 \) cm.
- Adım 5: Yanal yüzey alanını hesaplamak için 3 farklı üçgenin alanını bulmalıyız. Piramidin yüksekliği \( h = 15 \) cm.
- Adım 6: Birinci yanal yüz (taban kenarı 6 cm olan üçgen): Bu üçgenin yüksekliği, piramidin yüksekliği ile tabandaki 8 cm'lik kenarın ortasından gelen dikmedir. Ancak bu bilgiyi doğrudan kullanmak yerine, bu üçgenin yanal ayrıtını ve ilgili yüksekliği bulmamız gerekir. Daha kolay bir yol, eğik yüksekliği bulmaktır.
- Adım 7: Yanal yüzey alanını hesaplamak için öncelikle her bir taban kenarına ait yanal yüz yüksekliğini (eğik yüksekliği) bulmalıyız. Bu, karmaşık bir hesaplama gerektirir. Alternatif olarak, yanal ayrıtları ve bu ayrıtlara ait yükseklikleri bulmak daha doğru olacaktır. Ancak, bu sınıf seviyesi için daha pratik bir yaklaşım, yanal yüzeyleri ayrı ayrı ele almaktır.
- Adım 8: Yanal yüzeyler şu kenarlara sahip üçgenlerdir: (6, yanal ayrıt1, yanal ayrıt1'), (8, yanal ayrıt2, yanal ayrıt2'), (10, yanal ayrıt3, yanal ayrıt3'). Bu yanal ayrıtları bulmak için her bir taban kenarının orta noktasından piramit tepesine olan uzaklığı hesaplamak gerekir.
- Adım 9: Bu sorunun çözümü için daha ileri seviye geometri bilgisi gerekmektedir. Basit bir yaklaşımla, her bir yanal yüzün alanını hesaplamak için ilgili yanal yüksekliği bulmak gerekir. Bu yanal yükseklikler farklı olacaktır.
- Adım 10: Ancak, eğer soru "Eğer piramidin her bir yanal yüzünün yüksekliği X ise..." şeklinde olsaydı, çözüm daha kolay olurdu. Mevcut bilgilerle, yanal yüzey alanını hesaplamak için her bir taban kenarına ait yanal yüksekliği bulmalıyız.
- Çözüm Notu: Bu tür bir soru, 9. sınıf müfredatında doğrudan hesaplanabilir olmayabilir. Eğer yanal ayrıt uzunlukları verilseydi, alanları hesaplamak daha kolay olurdu. Basitlik adına, yanal yüzey alanının, taban kenarlarına ait yanal yüksekliklerin (eğik yüksekliklerin) bilinmesiyle hesaplanacağı belirtilir. Bu yanal yükseklikler taban kenarlarının ortasından piramit tepesine inen dikmelerdir ve her biri farklı olabilir.
Örnek 7:
Tabanı 5 cm kenarlı bir kare olan bir piramidin yan yüzey alanı 100 cm²'dir. Bu piramidin yanal yüz yüksekliğini hesaplayınız. 📏
Çözüm:
Piramidin yanal yüzey alanı, dört adet eşkenar üçgenin alanları toplamıdır.
- Adım 1: Taban kenar uzunluğu \( a = 5 \) cm.
- Adım 2: Piramidin 4 adet yanal yüzü olduğundan, bir yanal yüzün alanı \( A_{yüz} = \frac{A_{yanal}}{4} \) olur.
- Adım 3: \( A_{yüz} = \frac{100 \text{ cm}²}{4} = 25 \) cm².
- Adım 4: Bir yanal yüzün alanı \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yanal yüz yüksekliği} \) formülü ile bulunur.
- Adım 5: \( 25 \text{ cm}² = \frac{1}{2} \times 5 \text{ cm} \times h_s \), burada \( h_s \) yanal yüz yüksekliğidir.
- Adım 6: Denklemi \( h_s \) için çözelim: \( 50 \text{ cm}² = 5 \text{ cm} \times h_s \).
- Adım 7: \( h_s = \frac{50 \text{ cm}²}{5 \text{ cm}} = 10 \) cm.
Örnek 8:
Mısır'daki Keops Piramidi'nin tabanı yaklaşık olarak kare şeklinde olup, bir kenarı yaklaşık 230 metre ve yüksekliği yaklaşık 147 metredir. Bu piramidin hacmini yaklaşık olarak hesaplayınız. 🇪🇬
Çözüm:
Bu soruda, gerçek bir piramidin hacmini hesaplayacağız. Piramidin hacim formülü kullanılacaktır.
- Adım 1: Taban kenar uzunluğu \( a \approx 230 \) m.
- Adım 2: Piramidin yüksekliği \( h \approx 147 \) m.
- Adım 3: Tabanı kare olan piramidin taban alanı \( A_{taban} = a^2 \) formülü ile bulunur.
- Adım 4: \( A_{taban} \approx (230 \text{ m})^2 = 52900 \) m².
- Adım 5: Piramidin hacim formülü \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \) şeklindedir.
- Adım 6: Değerleri formüle yerleştirelim: \( V \approx \frac{1}{3} \times 52900 \text{ m}² \times 147 \text{ m} \).
- Adım 7: Hesaplamayı yapalım: \( V \approx \frac{7776300}{3} \) m³ \( \approx 2592100 \) m³.
Örnek 9:
Bir inşaat firması, yeni bir gözetleme kulesi inşa edecektir. Kule, tabanı kare olan bir piramit şeklinde olacaktır. Kulenin taban kenarı 10 metre ve yüksekliği 20 metre olarak planlanmıştır. Bu kulenin dış cephesini kaplamak için kaç metrekarelik bir malzeme gereklidir? (Sadece yanal yüzey kaplanacaktır.) 🏗️
Çözüm:
Bu soruda, piramit şeklindeki gözetleme kulesinin yanal yüzey alanını hesaplayacağız.
- Adım 1: Piramidin taban kenar uzunluğu \( a = 10 \) m.
- Adım 2: Piramidin yüksekliği \( h = 20 \) m.
- Adım 3: Yanal yüzey alanını hesaplamak için öncelikle yanal yüz yüksekliğini (eğik yüksekliği) bulmamız gerekir. Tabanın merkezinden piramit tepesine olan yükseklik \( h \) ve taban kenarının yarısı \( \frac{a}{2} \) ile yanal yüz yüksekliği \( h_s \) bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 4: Taban kenarının yarısı \( \frac{a}{2} = \frac{10 \text{ m}}{2} = 5 \) m.
- Adım 5: Pisagor teoremini kullanarak yanal yüz yüksekliğini bulalım: \( h_s^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \).
- Adım 6: \( h_s^2 = 20^2 + 5^2 = 400 + 25 = 425 \).
- Adım 7: \( h_s = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \) m.
- Adım 8: Bir yanal yüzün alanı \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yanal yüz yüksekliği} = \frac{1}{2} \times a \times h_s \).
- Adım 9: \( A_{yüz} = \frac{1}{2} \times 10 \text{ m} \times 5\sqrt{17} \text{ m} = 25\sqrt{17} \) m².
- Adım 10: Tabanı kare olan piramidin 4 yanal yüzü olduğundan, toplam yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 4 \times A_{yüz} \).
- Adım 11: \( A_{yanal} = 4 \times 25\sqrt{17} \text{ m}² = 100\sqrt{17} \) m².
- Adım 12: \( \sqrt{17} \) yaklaşık olarak 4.123'tür. Dolayısıyla \( A_{yanal} \approx 100 \times 4.123 = 412.3 \) m².
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-tarih-piramit-kanunlari/sorular