💡 9. Sınıf Matematik: Vektörler Çözümlü Örnekler

Bir vektörün uzunluğu, başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki uzaklıktır. Başlangıç noktası orijin olan \( \vec{a} = (x, y) \) vektörünün boyu Pisagor bağıntısı ile bulunur.

• Vektörün bileşenleri: \( x = 5 \) ve \( y = 12 \)
• Uzunluk formülü: \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ |\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 12^2} \]
• \[ |\vec{a}| = \sqrt{25 + 144} \]
• \[ |\vec{a}| = \sqrt{169} \]
• \[ |\vec{a}| = 13 \] birim bulunur.

İki vektörün toplamı, bu vektörlerin karşılıklı bileşenlerinin toplanmasıyla elde edilir.

• Birinci bileşenlerin (x değerleri) toplamı: \( 3 + 4 = 7 \)
• İkinci bileşenlerin (y değerleri) toplamı: \( -2 + 7 = 5 \)
• Toplam vektörü: \[ \vec{u} + \vec{v} = (3 + 4, -2 + 7) \]
• \[ \vec{u} + \vec{v} = (7, 5) \]

Bir vektörün bir skaler (sayı) ile çarpılması, vektörün her bir bileşeninin o sayı ile çarpılması anlamına gelir.

• Vektörümüz: \( \vec{k} = (-2, 6) \)
• Skaler çarpan: \( 3 \)
• İşlem: \[ 3 \cdot \vec{k} = (3 \cdot (-2), 3 \cdot 6) \]
• Birinci bileşen: \( 3 \cdot (-2) = -6 \)
• İkinci bileşen: \( 3 \cdot 6 = 18 \)
• Yeni vektör: \( (-6, 18) \) olur.

Bir \( \vec{AB} \) vektörünü bulmak için bitiş noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır.

• A noktası (Başlangıç): \( (x_1, y_1) = (1, 4) \)
• B noktası (Bitiş): \( (x_2, y_2) = (5, 1) \)
• Vektör formülü: \[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \]
• Bileşenleri hesaplayalım:
• \( x = 5 - 1 = 4 \)
• \( y = 1 - 4 = -3 \)
• Sonuç: \[ \vec{AB} = (4, -3) \]

Vektörlerde çıkarma işlemi, karşılıklı bileşenlerin birbirinden çıkarılmasıyla yapılır.

• \( \vec{a} = (10, 8) \)
• \( \vec{b} = (4, 3) \)
• Fark işlemi: \[ \vec{a} - \vec{b} = (10 - 4, 8 - 3) \]
• Birinci bileşen: \( 10 - 4 = 6 \)
• İkinci bileşen: \( 8 - 3 = 5 \)
• Sonuç vektörü: \( (6, 5) \)

Bu problemi koordinat düzlemine aktararak çözelim:

• Doğu yönünü x ekseni, kuzey yönünü y ekseni kabul edelim.
• Geminin hareket vektörü: \( \vec{v} = (80, 60) \) olur.
• Kuş uçuşu uzaklık, bu vektörün büyüklüğüne (boyuna) eşittir.
• \[ |\vec{v}| = \sqrt{80^2 + 60^2} \]
• \[ |\vec{v}| = \sqrt{6400 + 3600} \]
• \[ |\vec{v}| = \sqrt{10000} \]
• \[ |\vec{v}| = 100 \] mil.

Drone'un toplam hareketini vektörel bir denklemle ifade edelim:

• Toplam hareket: \( \vec{R} = 3 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} \)
• Önce 3 katı olan \( \vec{u} \) vektörünü bulalım: \[ 3 \cdot (2, 3) = (6, 9) \]
• Sonra 2 katı olan \( \vec{v} \) vektörünü bulalım: \[ 2 \cdot (1, -1) = (2, -2) \]
• Şimdi bu iki sonucu toplayalım: \[ \vec{R} = (6 + 2, 9 + (-2)) \]
• \[ \vec{R} = (8, 7) \]

Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dönüştürelim:

• Vektörün boyu: \( \sqrt{x^2 + y^2} = 5 \) ise \( x^2 + y^2 = 25 \) olur.
• Bileşenler arası ilişki: \( x = 2y - 1 \)
• Birinci denklemde x yerine \( 2y - 1 \) yazalım:
• \[ (2y - 1)^2 + y^2 = 25 \]
• Tam kareyi açalım: \[ 4y^2 - 4y + 1 + y^2 = 25 \]
• Denklemi düzenleyelim: \[ 5y^2 - 4y - 24 = 0 \]
• Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (5y + 6)(y - 4) = 0 \)
• Buradan \( y = -6/5 \) veya \( y = 4 \) bulunur.
• Soruda pozitif değer istendiği için \( y = 4 \) olur.