🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Ve Köklü İfadeler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üslü Ve Köklü İfadeler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( (-3)^2 + 2^3 - 5^0 - 4^{-1} \)
\( (-3)^2 + 2^3 - 5^0 - 4^{-1} \)
Çözüm:
Bu tür üslü ifade sorularını çözerken, her bir terimi ayrı ayrı hesaplayıp sonra işlemleri yapmalıyız.
- 👉 Öncelikle negatif tabanın çift kuvvetini hesaplayalım:
\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) - 👉 Ardından pozitif tabanın kuvvetini hesaplayalım:
\( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) - 👉 Her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir:
\( 5^0 = 1 \) - 👉 Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersini ifade eder:
\( 4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4} \) - ✅ Şimdi bulduğumuz değerleri yerine yazarak işlemi tamamlayalım:
\( 9 + 8 - 1 - \frac{1}{4} \)
\( 17 - 1 - \frac{1}{4} \)
\( 16 - \frac{1}{4} \) - Son olarak kesirli ifadeyi çıkaralım:
\( \frac{16 \times 4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{64}{4} - \frac{1}{4} = \frac{63}{4} \)
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu en sade şekilde bulunuz:
\[ \frac{9^4 \times 3^5}{27^2} \]
\[ \frac{9^4 \times 3^5}{27^2} \]
Çözüm:
Bu tür üslü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini yaparken, tüm sayıları aynı tabanda yazmaya çalışmak işimizi kolaylaştırır.
- 📌 Öncelikle tüm sayıları 3 tabanında yazalım:
- \( 9 = 3^2 \) olduğundan, \( 9^4 = (3^2)^4 \) olacaktır.
- \( 27 = 3^3 \) olduğundan, \( 27^2 = (3^3)^2 \) olacaktır.
- 👉 Şimdi ifadeleri yerine yazalım ve üssün üssü kuralını uygulayalım:
- \( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 \)
- \( (3^3)^2 = 3^{3 \times 2} = 3^6 \)
- ✅ İşlemimiz şu hale gelir: \[ \frac{3^8 \times 3^5}{3^6} \]
- Şimdi çarpma ve bölme kurallarını uygulayalım:
- Üslü ifadelerde çarpma yaparken üsler toplanır: \( 3^8 \times 3^5 = 3^{8+5} = 3^{13} \)
- Üslü ifadelerde bölme yaparken üsler çıkarılır: \( \frac{3^{13}}{3^6} = 3^{13-6} = 3^7 \)
Örnek 3:
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulunuz:
\[ ( (x^2)^3 )^4 = 2^{24} \]
\[ ( (x^2)^3 )^4 = 2^{24} \]
Çözüm:
Bu bir üslü denklem sorusudur. Denklemin her iki tarafını da en sade üslü ifade şeklinde yazarak \( x \) değerini bulmaya çalışalım.
- 💡 Öncelikle denklemin sol tarafındaki üssün üssü ifadelerini çözelim. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır:
- \( (x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6 \)
- Şimdi bu ifadeyi tekrar üssün üssü olarak alalım: \( (x^6)^4 = x^{6 \times 4} = x^{24} \)
- ✅ Denklemin sol tarafı \( x^{24} \) oldu. Denklemimiz şu hale geldi: \[ x^{24} = 2^{24} \]
- 📌 Üsler eşit ve çift sayı ise, tabanlar ya birbirine eşit ya da birbirinin negatifine eşit olabilir.
- Yani, \( x = 2 \) olabilir.
- Veya, \( x = -2 \) olabilir.
Örnek 4:
Bir laboratuvardaki bakteri türü, her 30 dakikada bir sayısını 2 katına çıkarmaktadır. Başlangıçta 256 bakteri bulunan bir ortamda 3 saat sonra kaç bakteri olur?
Çözüm:
Bu problem, üslü ifadelerin katlanarak artma senaryolarında nasıl kullanıldığını gösteren bir "Yeni Nesil" sorusudur.
- ⏳ İlk olarak, verilen zaman dilimlerini aynı birime çevirelim. Bakteri her 30 dakikada bir iki katına çıkıyor. Toplam süre 3 saattir.
- 1 saat = 60 dakika
- 3 saat = \( 3 \times 60 = 180 \) dakika
- 🔢 Bakterinin kaç kez iki katına çıktığını bulalım:
- Her 30 dakikada bir katlandığı için, 180 dakika içinde \( \frac{180}{30} = 6 \) kez iki katına çıkacaktır.
- 📈 Bu durumda, bakteri sayısı başlangıçtaki sayının \( 2^6 \) katına çıkacaktır.
- \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \)
- ✅ Başlangıçtaki bakteri sayısı 256 idi. 3 saat sonraki bakteri sayısını bulmak için başlangıç sayısını katlanma faktörü ile çarpalım:
- Bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) Katlanma faktörü
- Bakteri sayısı = \( 256 \times 64 \)
- Hesaplamayı yapalım:
- \( 256 \times 64 = 16384 \)
Örnek 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( \sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{12} \)
\( \sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{12} \)
Çözüm:
Bu tür köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapabilmek için, öncelikle tüm köklü ifadeleri \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışmalıyız.
- 💡 Her bir karekök içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım:
- \( \sqrt{48} \): 48'in çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 16'dır (\( 16 \times 3 = 48 \)).
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) - \( \sqrt{75} \): 75'in çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 25'tir (\( 25 \times 3 = 75 \)).
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) - \( \sqrt{12} \): 12'nin çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 4'tür (\( 4 \times 3 = 12 \)).
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
- \( \sqrt{48} \): 48'in çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 16'dır (\( 16 \times 3 = 48 \)).
- ✅ Şimdi ifadeleri yerine yazarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. Kök içleri aynı olduğunda, kök dışındaki katsayılar üzerinde işlem yaparız: \[ 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \]
- Katsayıları toplayıp çıkaralım: \[ (4 + 5 - 2)\sqrt{3} = (9 - 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \]
Örnek 6:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{60} \]
\[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{60} \]
Çözüm:
Bu tür köklü ifade sorularında, özdeşlikleri ve köklü ifadelerde çarpma kurallarını kullanırız.
- 📌 Öncelikle \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \) ifadesini açalım. Bu bir tam kare ifadedir: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
- Burada \( a = \sqrt{5} \) ve \( b = \sqrt{3} \).
- \( (\sqrt{5})^2 = 5 \)
- \( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
- \( 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{5 \times 3} = 2\sqrt{15} \)
- Yani, \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} \)
- 👉 Şimdi \( \sqrt{60} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım:
- 60'ın çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 4'tür (\( 4 \times 15 = 60 \)).
- \( \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15} \)
- ✅ Son olarak, bulduğumuz ifadeleri ana denklemde yerine yazarak işlemi tamamlayalım: \[ (8 + 2\sqrt{15}) - 2\sqrt{15} \]
- Görüldüğü gibi \( +2\sqrt{15} \) ve \( -2\sqrt{15} \) birbirini götürür: \[ 8 + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} = 8 \]
Örnek 7:
Aşağıdaki ifadenin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{10}{\sqrt{5}} + \frac{12}{\sqrt{3}+1} \]
\[ \frac{10}{\sqrt{5}} + \frac{12}{\sqrt{3}+1} \]
Çözüm:
Bu problemde, paydayı rasyonel yapma kuralını kullanarak köklü ifadelerden kurtulmalıyız.
- 💡 Birinci ifade için \( \frac{10}{\sqrt{5}} \): Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{5} \) ile çarpalım:
- \( \frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)
- 💡 İkinci ifade için \( \frac{12}{\sqrt{3}+1} \): Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği olan \( \sqrt{3}-1 \) ile çarpalım. Eşlenik çarpımında \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) özdeşliğini kullanırız.
- \( \frac{12}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \)
- Payda: \( (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \)
- Pay: \( 12(\sqrt{3}-1) = 12\sqrt{3} - 12 \)
- İfade: \( \frac{12\sqrt{3} - 12}{2} = 6\sqrt{3} - 6 \)
- ✅ Şimdi bulduğumuz iki rasyonel ifadeyi toplayalım: \[ 2\sqrt{5} + (6\sqrt{3} - 6) \]
- Bu ifadede kök içleri farklı olduğu için daha fazla sadeleştirme yapılamaz.
Örnek 8:
Kenar uzunlukları \( 3\sqrt{2} \) metre ve \( 5\sqrt{2} \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı kaç metrekaredir? Bu bahçenin çevresi kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, köklü ifadelerin günlük hayatta alan ve çevre hesaplamalarında nasıl kullanıldığını gösteren bir örnektir.
- 📐 Bahçenin Alanını Hesaplama:
- Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir: Alan = Kısa Kenar \( \times \) Uzun Kenar.
- Verilen kenar uzunlukları: \( 3\sqrt{2} \) m ve \( 5\sqrt{2} \) m.
- Alan = \( (3\sqrt{2}) \times (5\sqrt{2}) \)
- Köklü ifadelerde çarpma yaparken, kök dışındaki sayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar kendi aralarında çarpılır:
- Alan = \( (3 \times 5) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \)
- Alan = \( 15 \times \sqrt{2 \times 2} \)
- Alan = \( 15 \times \sqrt{4} \)
- Alan = \( 15 \times 2 \)
- Alan = \( 30 \) metrekare.
- 🚶♂️ Bahçenin Çevresini Hesaplama:
- Dikdörtgenin çevresi, 2 çarpı (kısa kenar + uzun kenar) formülüyle bulunur: Çevre = \( 2 \times (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar}) \).
- Çevre = \( 2 \times (3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) \)
- Köklü ifadelerde toplama yaparken, kök içleri aynıysa kök dışındaki katsayılar toplanır:
- Çevre = \( 2 \times ((3+5)\sqrt{2}) \)
- Çevre = \( 2 \times (8\sqrt{2}) \)
- Çevre = \( 16\sqrt{2} \) metre.
Örnek 9:
\( a = \sqrt{10} \) ve \( b = \sqrt{2} \) olduğuna göre, \( (a-b)^2 \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen köklü ifadelerle bir cebirsel özdeşlik kullanmamız gerekmektedir.
- 📌 Öncelikle \( (a-b)^2 \) ifadesinin açılımını hatırlayalım: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
- 👉 Şimdi \( a \) ve \( b \) değerlerini bu özdeşlikte yerine koyalım:
- \( a^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \)
- \( b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \)
- \( 2ab = 2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{2} \)
- Köklü ifadelerde çarpma işlemini yapalım:
- \( 2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{10 \times 2} = 2 \times \sqrt{20} \)
- Şimdi \( \sqrt{20} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım:
- 20'nin çarpanları arasında en büyük tam kare sayı 4'tür (\( 4 \times 5 = 20 \)).
- \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)
- Yani, \( 2ab = 2 \times (2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} \)
- ✅ Bulduğumuz tüm değerleri özdeşlikte yerine yazalım: \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] \[ (a-b)^2 = 10 - 4\sqrt{5} + 2 \]
- Son olarak sabit terimleri toplayalım: \[ (a-b)^2 = 12 - 4\sqrt{5} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-uslu-ve-koklu-ifadeler/sorular