💡 9. Sınıf Matematik: Üslü sayılar ve köklü ifadeler Çözümlü Örnekler

Üslü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını adım adım uygulayalım:

• Adım 1: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır:
  \( 2^7 \cdot 2^5 = 2^{7+5} = 2^{12} \)
• Adım 2: Bulduğumuz sonucu paydadaki ifadeye bölelim. Tabanlar aynı olduğunda payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
  \( \frac{2^{12}}{2^9} = 2^{12-9} = 2^3 \)
• Adım 3: Sonucu hesaplayalım:
  \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)

✅ Cevap: 8

Her bir terimi sırasıyla hesaplayalım:

• Adım 1: Negatif üs, sayının pay ve paydasının yerini değiştirir:
  \( (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9 \)
• Adım 2: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir:
  \( 5^0 = 1 \)
• Adım 3: Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir:
  \( (-2)^3 = -8 \)
• Adım 4: Tüm değerleri yerlerine koyalım:
  \( 9 + 1 - (-8) \)
• Adım 5: İşlemi tamamlayalım:
  \( 10 + 8 = 18 \)

🚀 Sonuç: 18

Denklemi çözmek için her iki tarafın tabanını eşitlemeliyiz:

• Adım 1: 81 sayısını 3 tabanında yazalım.
  \( 81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 \)
• Adım 2: Denklemi yeni haliyle yazalım:
  \( 3^{x+2} = 3^4 \)
• Adım 3: Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmalıdır:
  \( x + 2 = 4 \)
• Adım 4: Bilinmeyeni yalnız bırakalım:
  \( x = 4 - 2 \)
  \( x = 2 \)

💡 İpucu: Tabanlar aynıysa üsleri eşitlemeyi unutma!

Bu problemi üslü sayıların artış mantığıyla çözelim:

• Başlangıç: \( 2^4 \) bakteri.
• 1. Saat Sonunda: \( 2^4 \cdot 2 = 2^5 \)
• 2. Saat Sonunda: \( 2^5 \cdot 2 = 2^6 \)
• Mantık: Her saat üs 1 artmaktadır. 5 saat sonunda başlangıçtaki sayı \( 2^5 \) ile çarpılmalıdır.
• İşlem: \( 2^4 \cdot 2^5 = 2^{4+5} = 2^9 \)
• Sonuç: \( 2^9 = 512 \) bakteri olur.

🦠 Biyolojik Bilgi: Bakteri çoğalmaları genellikle üslü (eksponansiyel) artış gösterir.

Kök dışına çıkarma işlemlerini yapalım:

• Adım 1: \( \sqrt{25} \) ifadesi "Hangi sayının karesi 25'tir?" sorusunun cevabıdır:
  \( \sqrt{25} = 5 \)
• Adım 2: \( \sqrt[3]{-64} \) ifadesi "Hangi sayının küpü -64'tür?" sorusunun cevabıdır:
  \( \sqrt[3]{-64} = -4 \)
• Adım 3: 1 sayısının tüm kökleri 1'dir:
  \( \sqrt{1} = 1 \)
• Adım 4: İşlemleri birleştirelim:
  \( 5 + (-4) - 1 \)
  \( 5 - 4 - 1 = 0 \)

✅ Cevap: 0

Bir sayıyı kök dışına çıkarmak için içindeki tam kare çarpanları bulmalıyız:

• Yöntem 1: 72 sayısını çarpanlarına ayıralım:
  \( 72 = 36 \cdot 2 \)
• Adım 2: 36 sayısı \( 6^2 \) olduğu için kök dışına 6 olarak çıkar:
  \( \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
• Yöntem 2 (Asal Çarpanlar): 72 | 2, 36 | 2, 18 | 2, 9 | 3, 3 | 3, 1.
  Çift olanlar dışarı çıkar: \( 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

📌 Not: En büyük tam kare çarpanı bulmak işinizi kolaylaştırır.

Önce tüm kökleri en sade hale getirelim:

• Adım 1: \( 3\sqrt{2} \) zaten sade haldedir.
• Adım 2: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
• Adım 3: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
• Adım 4: Şimdi işlemi tekrar yazalım:
  \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \)
• Adım 5: Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır:
  \( (3 + 5 - 3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

✨ Sonuç: \( 5\sqrt{2} \)

Kare ve köklü sayılar arasındaki ilişkiyi kullanalım:

• Adım 1: Karenin alanı \( a^2 = 108 \) ise bir kenarı \( a = \sqrt{108} \) birimdir.
• Adım 2: 108 sayısının hangi tam kareler arasında olduğunu bulalım:
  \( 100 < 108 < 121 \)
  \( \sqrt{100} < \sqrt{108} < \sqrt{121} \)
  \( 10 < \sqrt{108} < 11 \)
  Yani bir kenar 10 ile 11 arasındadır.
• Adım 3: Kenarı sadeleştirelim:
  \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \)
• Adım 4: Çevre (Tel uzunluğu) = \( 4 \cdot a \)
  Çevre = \( 4 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) birimdir.

📏 Özet: Bir kenar 10-11 birim arası, toplam tel ise \( 24\sqrt{3} \) birimdir.