🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşitsizlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşitsizlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \(a\), \(b\), \(c\) olmak üzere, \(|b-c| < a < b+c\) eşitsizliği geçerlidir.
Kenar uzunlukları 3 cm ve 7 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı olan \(x\) cm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🤔
Kenar uzunlukları 3 cm ve 7 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı olan \(x\) cm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgen eşitsizliği kuralını kullanmalıyız. İşte adımlar:
- 📌 Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları 3 cm ve 7 cm'dir. Üçüncü kenar \(x\) cm olsun.
- ✅ Kuralı uygulayalım: \[ |7 - 3| < x < 7 + 3 \] \[ 4 < x < 10 \]
- 💡 Bu eşitsizliğe göre \(x\), 4'ten büyük ve 10'dan küçük tam sayı değerleri alabilir.
- 🔢 \(x\)'in alabileceği tam sayı değerleri: 5, 6, 7, 8, 9'dur.
- ➕ Bu tam sayı değerlerinin toplamı: \(5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35\)'tir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\), B açısının ölçüsü \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) olduğuna göre, bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Üçgende kenar-açı bağıntılarını kullanarak bu soruyu çözebiliriz:
- 📌 Öncelikle üçgenin üçüncü açısı olan C açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir.
- 👉 \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
- ✅ \(70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
- ✅ \(120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)
- ✅ \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)
- 💡 Şimdi açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: \(m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A})\) yani \(50^\circ < 60^\circ < 70^\circ\).
- 🔢 Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
- 📏 Bu durumda, B açısının karşısındaki kenar \(b\), C açısının karşısındaki kenar \(c\), A açısının karşısındaki kenar \(a\) olduğuna göre, kenar uzunluklarının sıralaması: \(b < c < a\) olur.
Örnek 3:
Bir ABCD dörtgeninde, AB kenarı ile BC kenarı birbirine diktir, yani \(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\). Ayrıca AC kenarı ile CD kenarı da birbirine diktir, yani \(m(\widehat{ACD}) = 90^\circ\).
Kenar uzunlukları \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 8\) cm ve \(|CD| = 12\) cm olarak verilmiştir. Buna göre \(|AD|\) uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir? 🧐
Kenar uzunlukları \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 8\) cm ve \(|CD| = 12\) cm olarak verilmiştir. Buna göre \(|AD|\) uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir? 🧐
Çözüm:
Bu soruda iki farklı dik üçgen ve üçgen eşitsizliği kullanacağız:
- 📌 Önce ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni kullanarak \(|AC|\) uzunluğunu bulalım.
- 👉 ABC üçgeninde \(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\) olduğu için: \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ |AC|^2 = 36 + 64 \] \[ |AC|^2 = 100 \] \[ |AC| = 10 \text{ cm} \]
- 📌 Şimdi ACD dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni kullanarak \(|AD|\) uzunluğunu bulalım.
- 👉 ACD üçgeninde \(m(\widehat{ACD}) = 90^\circ\) olduğu için: \[ |AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 \] \[ |AD|^2 = 10^2 + 12^2 \] \[ |AD|^2 = 100 + 144 \] \[ |AD|^2 = 244 \]
- 💡 \(|AD| = \sqrt{244}\) cm'dir. Bu sayı yaklaşık olarak \(15.6\) civarındadır (\(15^2=225\), \(16^2=256\)).
- 🔢 \(|AD|\) uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri sorulduğu için, \(\sqrt{244}\)'ten büyük olan ilk tam sayı 16'dır.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir (ABC ~ DEF).
\(m(\widehat{A}) = 80^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\) olarak verilmiştir.
Buna göre, \(m(\widehat{E})\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
\(m(\widehat{A}) = 80^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\) olarak verilmiştir.
Buna göre, \(m(\widehat{E})\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
Benzer üçgenlerin en temel özelliklerinden biri, karşılıklı açılarının eşit olmasıdır. İşte çözüm adımları:
- 📌 ABC ~ DEF benzerliği, sırasıyla A açısının D açısına, B açısının E açısına ve C açısının F açısına eşit olduğunu gösterir.
- 👉 Verilen açılar: \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\).
- ✅ Benzerlik tanımına göre \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\) olmalıdır. Verilen değerler de bunu doğrulamaktadır (\(80^\circ = 80^\circ\)).
- ✅ Yine benzerlik tanımına göre \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})\) olmalıdır.
- 💡 Bu durumda, \(m(\widehat{E})\) açısının ölçüsü \(m(\widehat{B})\) açısının ölçüsüne eşit olacaktır.
- 🔢 Yani, \(m(\widehat{E}) = 45^\circ\)'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
AD = 3 cm, DB = 6 cm ve AE = 4 cm olarak verilmiştir. Buna göre EC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
AD = 3 cm, DB = 6 cm ve AE = 4 cm olarak verilmiştir. Buna göre EC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi)'ni kullanacağız. İşte çözüm adımları:
- 📌 \(DE \parallel BC\) olduğu için, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
- 👉 Benzerlikten dolayı kenarlar arasında orantı vardır. Bu durumda, AD'nin AB'ye oranı, AE'nin AC'ye oranına eşittir.
- ✅ Önce AB uzunluğunu bulalım: \(AB = AD + DB = 3 + 6 = 9\) cm.
- ✅ Orantıyı kuralım: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{AC} \]
- 💡 Sadeleştirme yaparsak: \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{AC} \]
- 🔢 İçler dışlar çarpımı yaparak AC uzunluğunu bulalım: \[ 1 \times AC = 3 \times 4 \] \[ AC = 12 \text{ cm} \]
- ➕ Bize EC uzunluğu soruluyor. \(AC = AE + EC\) olduğu için: \[ 12 = 4 + EC \] \[ EC = 12 - 4 \] \[ EC = 8 \text{ cm} \]
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir.
\(|AB| = 4\) cm, \(|BC| = 6\) cm, \(|CA| = 8\) cm'dir.
\(|DE| = 6\) cm, \(|EF| = 9\) cm, \(|FD| = 12\) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve eğer benzerlerse benzerlik oranını bulunuz. 🧐
\(|AB| = 4\) cm, \(|BC| = 6\) cm, \(|CA| = 8\) cm'dir.
\(|DE| = 6\) cm, \(|EF| = 9\) cm, \(|FD| = 12\) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve eğer benzerlerse benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği kuralını uygulayacağız:
- 📌 İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranının eşit olması gerekir.
- 👉 ABC üçgeninin kenarları: \(|AB|=4\), \(|BC|=6\), \(|CA|=8\).
- 👉 DEF üçgeninin kenarları: \(|DE|=6\), \(|EF|=9\), \(|FD|=12\).
- ✅ Kenarları küçükten büyüğe sıralayarak oranları kontrol edelim:
- En küçük kenarlar: \(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
- Ortanca kenarlar: \(\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
- En büyük kenarlar: \(\frac{|CA|}{|FD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)
- 💡 Tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir ve \(\frac{2}{3}\) olarak bulunmuştur.
- 🔢 Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir (ABC ~ DEF).
- 📏 Benzerlik oranı ise \(\frac{2}{3}\)'tür.
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için benzerlik prensibini kullanıyor.
Mühendis, kendisinden 15 metre uzaklıkta bulunan binanın gölgesinin bittiği noktaya kadar yürüyor.
Mühendisin boyu 1.8 metre ve o anda kendi gölgesinin uzunluğu 3 metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏢 (Gölge boyları aynı açıyla yere düşmektedir.)
Mühendis, kendisinden 15 metre uzaklıkta bulunan binanın gölgesinin bittiği noktaya kadar yürüyor.
Mühendisin boyu 1.8 metre ve o anda kendi gölgesinin uzunluğu 3 metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏢 (Gölge boyları aynı açıyla yere düşmektedir.)
Çözüm:
Bu bir gölge boyu problemidir ve benzer üçgenler kullanılarak çözülür:
- 📌 Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, mühendis ve gölgesi ile bina ve gölgesi arasında oluşan üçgenler benzerdir.
- 👉 Mühendisin boyu 1.8 m, gölge boyu 3 m. Binanın gölgesinin bittiği noktaya kadar olan uzaklık 15 m.
- ✅ Bu durumda, binanın toplam gölge uzunluğu, mühendisin binaya olan uzaklığı ile kendi gölge uzunluğunun toplamıdır: \(15 \text{ m} + 3 \text{ m} = 18 \text{ m}\).
- 💡 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir. Yani, mühendisin boyunun gölgesine oranı, binanın yüksekliğinin binanın toplam gölgesine oranına eşit olacaktır.
- 🔢 Binanın yüksekliğine \(h\) diyelim. Orantıyı kuralım: \[ \frac{\text{Mühendisin Boyu}}{\text{Mühendisin Gölgesi}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Toplam Gölgesi}} \] \[ \frac{1.8}{3} = \frac{h}{18} \]
- ➕ İçler dışlar çarpımı yaparak \(h\)'yi bulalım: \[ 3 \times h = 1.8 \times 18 \] \[ 3h = 32.4 \] \[ h = \frac{32.4}{3} \] \[ h = 10.8 \text{ metre} \]
- ✅ Binanın yüksekliği 10.8 metredir.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak ölçülmüştür.
Haritanın ölçeği 1:200.000 olarak verilmiştir.
Buna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Haritanın ölçeği 1:200.000 olarak verilmiştir.
Buna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Haritalar, gerçek dünyayı belirli bir oranda küçülterek gösteren benzerlik örnekleridir. Ölçek, bu benzerlik oranını ifade eder:
- 📌 Ölçek 1:200.000 demek, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 200.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- 👉 Haritada ölçülen mesafe 5 cm'dir.
- ✅ Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçek oranıyla çarpmamız gerekir: \[ \text{Gerçek Mesafe} = \text{Harita Mesafesi} \times \text{Ölçek Oranı} \] \[ \text{Gerçek Mesafe} = 5 \text{ cm} \times 200.000 \] \[ \text{Gerçek Mesafe} = 1.000.000 \text{ cm} \]
- 💡 Genellikle şehirlerarası mesafeler kilometre cinsinden ifade edilir. Santimetreyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 🔢 Bir metre 100 santimetredir (\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)). Bir kilometre 1000 metredir (\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\)).
- 🔄 Yani, 1 kilometre = \(1000 \times 100 = 100.000\) santimetredir.
- ➕ Şimdi santimetre cinsinden bulduğumuz gerçek mesafeyi kilometreye çevirelim: \[ \text{Gerçek Mesafe} = \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \] \[ \text{Gerçek Mesafe} = 10 \text{ km} \]
- ✅ İki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-esitsizlik-ve-benzerlik/sorular