🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Ve Algoritma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Ve Algoritma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olduğuna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu bilgisini kullanarak C açısını bulabiliriz. İşte adımlar:
- 📌 Bilinenleri Yazın: A açısı \( = 50^\circ \), B açısı \( = 70^\circ \).
- 💡 Kuralı Hatırlayın: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir.
- ✍️ Toplama İşlemi: A ve B açılarının toplamını bulalım: \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
- ✅ C Açısını Bulun: Toplamdan bilinen açıları çıkararak C açısını hesaplayalım:
\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Buna göre C açısının ölçüsü \( 60^\circ \)'dir.
Örnek 2:
Bir XYZ üçgeninde, X açısının ölçüsü \( 65^\circ \), Y açısının ölçüsü \( 45^\circ \) olarak verilmiştir. Z köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu kuralı kullanarak Z köşesindeki dış açıyı bulalım:
- 📌 Bilinen İç Açıları Belirleyin: X açısı \( = 65^\circ \), Y açısı \( = 45^\circ \).
- 💡 Dış Açı Kuralı: Z köşesindeki dış açı, X ve Y açılarının toplamına eşittir.
- ✍️ Toplama İşlemi: X ve Y açılarının ölçülerini toplayalım:
\[ 65^\circ + 45^\circ = 110^\circ \] - ✅ Sonuç: Z köşesindeki dış açının ölçüsü \( 110^\circ \)'dir.
Örnek 3:
ABC ikizkenar üçgeninde, AB kenarının AC kenarına eşit olduğu (\( |AB| = |AC| \)) ve A açısının ölçüsünün \( 80^\circ \) olduğu bilinmektedir. B açısının ölçüsü kaç derecedir? ✨
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. Bu bilgiyi kullanarak B açısını bulabiliriz:
- 📌 İkizkenar Bilgisi: \( |AB| = |AC| \) olduğu için B açısı ile C açısı birbirine eşittir (\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \)).
- 💡 İç Açı Toplamı: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- ✍️ Kalan Açıların Toplamı: A açısının ölçüsü \( 80^\circ \) olduğuna göre, B ve C açılarının toplamı \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)'dir.
- ✅ B Açısını Hesaplayın: B ve C açıları eşit olduğundan, bu toplamı ikiye bölerek B açısının ölçüsünü buluruz:
\[ m(\widehat{B}) = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \]
Buna göre B açısının ölçüsü \( 50^\circ \)'dir.
Örnek 4:
Bir eşkenar ABC üçgeninde, her bir iç açının ölçüsü kaç derecedir? 🔺
Çözüm:
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm iç açıları eşit ölçüdedir. Bu özelliği kullanarak her bir iç açının ölçüsünü bulalım:
- 📌 Eşkenar Üçgen Özelliği: Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğu gibi, tüm iç açıları da birbirine eşittir.
- 💡 İç Açı Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- ✍️ Açı Sayısı: Eşkenar üçgende 3 tane eşit iç açı bulunur.
- ✅ Her Bir Açıyı Bulun: Toplam iç açı ölçüsünü 3'e bölerek her bir açının ölçüsünü hesaplayalım:
\[ \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Yani, eşkenar bir üçgenin her bir iç açısı \( 60^\circ \)'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kesmektedir. \( m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \) ve \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \) olduğuna göre, \( m(\widehat{ACB}) \) kaç derecedir? ✂️
Çözüm:
Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya böler. Bu bilgiyi ve üçgenin iç açıları toplamını kullanarak \( m(\widehat{ACB}) \) açısını bulalım:
- 📌 Açıortay Bilgisi: AD, A açısının açıortayı olduğu için \( m(\widehat{BAC}) = 2 \times m(\widehat{BAD}) \)'dir.
- ✍️ A Açısını Bulun: \( m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAC}) = 2 \times 35^\circ = 70^\circ \)'dir.
- 💡 İç Açı Toplamı: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- ✍️ Bilinen Açıları Toplayın: A ve B açılarının toplamını bulalım: \( m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ \).
- ✅ C Açısını Hesaplayın: Toplamdan bilinen açıları çıkararak \( m(\widehat{ACB}) \) açısını bulalım:
\[ m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \]
Buna göre \( m(\widehat{ACB}) \) açısının ölçüsü \( 40^\circ \)'dir.
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın çatısını tasarlarken, çatı makasının ABC üçgeni şeklinde olduğunu ve bu makasın yerden yükselen dik destekleri olduğunu fark eder. Eğer \( |AB| = |AC| \) ve B köşesindeki dış açı \( 110^\circ \) ise, çatının tepe noktası olan A açısının ölçüsü kaç derecedir? 🏗️
Çözüm:
Bu yeni nesil problemde, ikizkenar üçgen özelliğini ve dış açı-iç açı ilişkisini bir arada kullanmamız gerekiyor. İşte çözüm adımları:
- 📌 Dış Açı ve Komşu İç Açı İlişkisi: B köşesindeki dış açı \( 110^\circ \) ise, bu açının komşusu olan B iç açısı (\( m(\widehat{ABC}) \)) ile toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
\[ m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \] - 💡 İkizkenar Üçgen Özelliği: \( |AB| = |AC| \) olduğu için ABC üçgeni ikizkenardır ve taban açıları eşittir. Yani \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) \).
- ✍️ C Açısını Belirleyin: \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{ACB}) = 70^\circ \)'dir.
- 💡 Üçgenin İç Açıları Toplamı: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- ✅ A Açısını Bulun: A açısının ölçüsü, \( 180^\circ \) toplamından B ve C açılarının çıkarılmasıyla bulunur:
\[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \]
Çatının tepe noktası olan A açısının ölçüsü \( 40^\circ \)'dir.
Örnek 7:
Bir duvara dayanmış bir merdiven düşünün. Merdiven, duvar ve yer düz bir üçgen oluşturur. Eğer merdivenin yerle yaptığı açı \( 65^\circ \) ise, merdivenin duvarla yaptığı açı kaç derecedir? (Duvarın yer ile dik açı yaptığını varsayın.) 🪜
Çözüm:
Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur. Duvar ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \)'dir. İşte adımlar:
- 📌 Üçgeni Tanımlayın: Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- 💡 Dik Açı Bilgisi: Duvarın yer ile yaptığı açı \( 90^\circ \)'dir.
- ✍️ Bilinen Açı: Merdivenin yerle yaptığı açı \( 65^\circ \)'dir.
- 💡 İç Açı Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- ✅ Merdivenin Duvarla Yaptığı Açıyı Bulun: Üçgenin iç açıları toplamından bilinen iki açıyı çıkararak üçüncü açıyı buluruz:
\[ 180^\circ - (90^\circ + 65^\circ) \] \[ 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ \]
Merdivenin duvarla yaptığı açı \( 25^\circ \)'dir.
Örnek 8:
Bir tasarımcı, bir logo için ABC üçgeni çiziyor. Daha sonra B köşesinden AC kenarına, \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) \) olacak şekilde bir BD doğru parçası çiziyor. Eğer \( m(\widehat{BAC}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{BCA}) = 70^\circ \) ise, \( m(\widehat{BDC}) \) açısının ölçüsü kaç derecedir? Bu açıyı bulmak için hangi adımları izlersiniz? ✍️
Çözüm:
Bu problem, açıortay ve dış açı özelliklerini birleştirerek çözülür. Adımları bir algoritma gibi takip edelim:
- 📌 1. Büyük Üçgenin (ABC) B Açısını Bulun:
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- \( m(\widehat{BAC}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{BCA}) = 70^\circ \).
- \( m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- 💡 2. BD'nin Açıortay Olduğunu Kullanın:
- BD doğru parçası, B açısını iki eşit parçaya böldüğü için bir açıortaydır.
- \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) = \frac{m(\widehat{ABC})}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
- ✍️ 3. BDC Üçgenindeki İki İç Açıyı Belirleyin:
- Artık BDC üçgeninde \( m(\widehat{DBC}) = 30^\circ \) ve \( m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BCA}) = 70^\circ \) açılarını biliyoruz.
- ✅ 4. \( m(\widehat{BDC}) \) Açısını Bulun (İç Açı Toplamı Yöntemi):
- BDC üçgeninin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- \( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - (m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{BCD})) \)
- \( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
- 🎉 Alternatif Yöntem (Dış Açı Kuralı): ABD üçgeninde D köşesindeki dış açı olan \( m(\widehat{BDC}) \), kendisine komşu olmayan iki iç açının (A ve ABD açıları) toplamına eşittir.
\[ m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABD}) \] \[ m(\widehat{BDC}) = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \]
Her iki yöntem de aynı sonucu verir! Bu, bir algoritma gibi adımları takip etmenin farklı yollarını gösterir.
Buna göre \( m(\widehat{BDC}) \) açısının ölçüsü \( 80^\circ \)'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-acilar-ve-algoritma/sorular