💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende açı ve kenar özellikleri Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.

• Verilen açıları toplayalım: \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
• Üçgenin iç açılarının toplamından bu değeri çıkararak \( \hat{C} \) açısını bulalım: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Sonuç olarak, \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) bulunur. ✅

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.

• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
• Tepe açısı \( 80^\circ \) olduğuna göre, taban açılarının toplamı \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) olur.
• Bu toplamı iki eşit taban açısına paylaştırırsak: \( 100^\circ / 2 = 50^\circ \).

Taban açılarından birinin ölçüsü \( 50^\circ \)dir. 👉

Üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru orantı vardır.

• En uzun kenar \( |BC| = 9 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{A} \)dır.
• Ortanca kenar \( |AB| = 7 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{C} \)dır.
• En kısa kenar \( |AC| = 5 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{B} \)dır.

Bu durumda, kenar uzunluklarına göre sıralama \( |BC| > |AB| > |AC| \) şeklinde olur. Karşısındaki açılar da aynı şekilde sıralanır: \( m(\hat{A}) > m(\hat{C}) > m(\hat{B}) \). 💡

\( 90^\circ \)lık açıya sahip üçgenlere dik üçgen denir.

• Dik üçgende, \( 90^\circ \)lık açının karşısında bulunan kenara hipotenüs denir.
• Diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.
• Dik üçgenlerde, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

Eğer dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise, bu ilişki \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklinde ifade edilir. Bu, Pisagor Teoremi'nin temelidir. 📌

Bu soruda Kosinüs Teoremi'nin temel mantığı kullanılır, ancak 9. Sınıf seviyesinde bu teoremin doğrudan kullanımı beklenmez. Bunun yerine, kenar uzunlukları arasındaki genel ilişki ve açılarla kenarlar arasındaki bağlantı üzerinden bir çıkarım yapılabilir.

• İki kenar arasındaki açı \( 60^\circ \) olduğunda, üçüncü kenarın uzunluğu bu iki kenarın uzunlukları arasında bir değer alır.
• Eğer açı \( 0^\circ \) olsaydı, üçüncü kenar \( |18 - 12| = 6 \) metre olurdu (doğrusal).
• Eğer açı \( 180^\circ \) olsaydı, üçüncü kenar \( 18 + 12 = 30 \) metre olurdu (doğrusal).
• \( 60^\circ \) gibi bir açı için üçüncü kenarın uzunluğu, \( 6 \) metreden büyük ve \( 30 \) metreden küçük olacaktır.
• Daha kesin bir tahmin yapmak gerekirse, \( 60^\circ \) açısı, bu iki kenarın uzunluklarının toplamına yakın bir değer vermeyecektir.
• Genel bir kural olarak, \( 60^\circ \)lık bir açı için üçüncü kenar, kısa kenardan daha uzun ve uzun kenardan daha kısadır.
• Kenar uzunlukları \( 12 \) ve \( 18 \) olduğunda, üçüncü kenar \( \sqrt{12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos(60^\circ)} \) formülünden bulunur. \( \cos(60^\circ) = 1/2 \) olduğundan, \( \sqrt{144 + 324 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot (1/2)} = \sqrt{468 - 216} = \sqrt{252} \) olur.
• \( \sqrt{252} \) yaklaşık \( 15.87 \)dir.

Dolayısıyla üçüncü kenarın uzunluğu yaklaşık \( 15.87 \) metredir. Bu değer \( 15 \) ve \( 16 \) tam sayıları arasındadır. 👉

Bu, üçgenin iç açıları toplamı ve kenar-açı ilişkisi kullanılarak çözülebilen bir problemdir.

• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
• Verilen iki açı \( 45^\circ \) ve \( 75^\circ \) olduğuna göre, üçüncü tepe noktasındaki açı \( 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
• Şimdi elimizde bir üçgen var: Gözlem noktası (G), birinci tepe (T1) ve ikinci tepe (T2).
• \( m(\hat{G}) = 45^\circ \), \( m(\hat{T1}) = 75^\circ \), \( m(\hat{T2}) = 60^\circ \).
• \( |GT1| = 200 \) metre.
• Bizden istenen \( |GT2| \) uzunluğudur.
• Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
• \( m(\hat{T1}) = 75^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( |GT2| \)dir.
• \( m(\hat{G}) = 45^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( |T1T2| \)dir.
• \( m(\hat{T2}) = 60^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( |GT1| = 200 \) metredir.

Büyük açı karşısında büyük kenar kuralına göre, \( m(\hat{T1}) > m(\hat{T2}) > m(\hat{G}) \) olduğundan, \( |GT2| > |GT1| > |T1T2| \) olmalıdır. Sinüs Teoremi (9. Sınıf müfredatı dışında olsa da, mantığı anlaşılabilir): \( \frac{|GT2|}{\sin(m(\hat{T1}))} = \frac{|GT1|}{\sin(m(\hat{T2}))} \) \( \frac{|GT2|}{\sin(75^\circ)} = \frac{200}{\sin(60^\circ)} \) \( |GT2| = \frac{200 \cdot \sin(75^\circ)}{\sin(60^\circ)} \) \( \sin(75^\circ) \approx 0.966 \) ve \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \) olduğundan, \( |GT2| \approx \frac{200 \cdot 0.966}{0.866} \approx \frac{193.2}{0.866} \approx 223.1 \) metre. İkinci tepe noktasına olan mesafe yaklaşık 223.1 metredir. ✅

Bu bir ikizkenar üçgendir çünkü \( |AB| = |AC| \)dır.

• İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Yani \( m(\hat{B}) = m(\hat{C}) \) olur.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
• Tepe açısı \( m(\hat{A}) = 100^\circ \) olarak verilmiştir.
• O halde, taban açıları olan \( m(\hat{B}) \) ve \( m(\hat{C}) \)nin toplamı \( 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \) olmalıdır.
• Bu toplamı iki eşit açıya bölersek: \( 80^\circ / 2 = 40^\circ \).

Sonuç olarak, \( m(\hat{B}) = 40^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 40^\circ \) olur. 👉

Bu soruda, iki farklı açıyla kesilmiş aynı uzunluktaki iki kenara sahip üçgenlerin üçüncü kenarlarını karşılaştırıyoruz.

• Birinci Parça (Dik Üçgen): Kenarlar \( 30 \) cm ve \( 40 \) cm, aralarındaki açı \( 90^\circ \). Bu bir dik üçgendir.
• Pisagor Teoremi'ne göre üçüncü kenarın uzunluğu \( c \) ise: \( c^2 = 30^2 + 40^2 \)
• \( c^2 = 900 + 1600 \)
• \( c^2 = 2500 \)
• \( c = \sqrt{2500} = 50 \) cm.
• İkinci Parça (Geniş Açılı Üçgen): Kenarlar \( 30 \) cm ve \( 40 \) cm, aralarındaki açı \( 120^\circ \).
• Aralarındaki açı \( 90^\circ \)den büyük olduğu için bu üçgenin üçüncü kenarı daha uzun olacaktır.
• Kosinüs Teoremi'nin temel mantığına göre, açının büyümesi, karşısındaki kenarın uzunluğunu artırır.
• Bu parçanın üçüncü kenarı \( x \) ise, \( x^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos(120^\circ) \)
• \( \cos(120^\circ) = -1/2 \) olduğundan, \( x^2 = 900 + 1600 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot (-1/2) \)
• \( x^2 = 2500 - (-1200) \)
• \( x^2 = 2500 + 1200 \)
• \( x^2 = 3700 \)
• \( x = \sqrt{3700} \approx 60.8 \) cm.

Sonuç olarak, ikinci parçanın üçüncü kenarı (yaklaşık \( 60.8 \) cm) birinci parçanın üçüncü kenarından ( \( 50 \) cm) daha uzundur. Çünkü aralarındaki açı \( 120^\circ \) (geniş açı), \( 90^\circ \) (dik açı)dan daha büyüktür. 💡

Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru orantı vardır.

• En uzun kenar \( |AC| = 10 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{B} \)dır.
• Ortanca kenar \( |BC| = 8 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{A} \)dır.
• En kısa kenar \( |AB| = 6 \) cm'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{C} \)dır.

Bu durumda, kenar uzunluklarına göre sıralama \( |AC| > |BC| > |AB| \) şeklindedir. Karşısındaki açılar da aynı şekilde sıralanır: \( m(\hat{B}) > m(\hat{A}) > m(\hat{C}) \). 📌

Bu problem, iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Bu, Kosinüs Teoremi'nin bir uygulamasıdır. 9. Sınıf seviyesinde, bu teoremin doğrudan formülü yerine, açının büyüklüğü ile karşısındaki kenarın uzunluğu arasındaki ilişki üzerinde durulabilir.

• İki kenar \( 5 \) m ve \( 7 \) m'dir. Aralarındaki açı \( 110^\circ \)dır.
• Aralarındaki açı \( 110^\circ \) olduğundan, bu geniş açılı bir üçgendir.
• Geniş açılı üçgenlerde, geniş açının karşısındaki kenar, diğer iki kenarın toplamından daha kısa olabilir ancak diğer iki kenarın farkından daha uzun olacaktır.
• Eğer açı \( 180^\circ \) olsaydı, üçüncü kenar \( 5 + 7 = 12 \) m olurdu.
• Eğer açı \( 0^\circ \) olsaydı, üçüncü kenar \( |7 - 5| = 2 \) m olurdu.
• \( 110^\circ \) gibi bir açı, üçüncü kenarın uzunluğunu \( 2 \) metreden belirgin şekilde daha uzun, ancak \( 12 \) metreden daha kısa yapacaktır.
• Kosinüs Teoremi'nin mantığıyla, üçüncü kenarın uzunluğu \( x \) olsun: \( x^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(110^\circ) \)
• \( \cos(110^\circ) \) negatif bir değerdir (yaklaşık \( -0.342 \)).
• \( x^2 = 25 + 49 - 70 \cdot (-0.342) \)
• \( x^2 = 74 + 23.94 \)
• \( x^2 = 97.94 \)
• \( x = \sqrt{97.94} \approx 9.89 \) metre.

Destek elemanının üçüncü kenarının uzunluğu yaklaşık \( 9.89 \) metredir. Bu, \( 9 \) ile \( 10 \) metre arasındadır. 👉