🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales ve Öklid Teoremleriyle Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales ve Öklid Teoremleriyle Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 6 cm, AC kenarı 8 cm ve BC kenarı 10 cm'dir. Benzer bir DEF üçgeninde DE kenarı 9 cm ise, DF ve EF kenar uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin benzerliği kullanılarak kenar uzunlukları orantılanacaktır.
- İki üçgenin benzer olduğunu biliyoruz. Bu durumda karşılıklı kenarları orantılıdır.
- ABC üçgeninin kenarları ile DEF üçgeninin kenarları arasındaki orantı katsayısını bulalım. AB kenarı 6 cm iken, karşılığı olan DE kenarı 9 cm'dir. Oran \( \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) olur.
- Bu oran katsayısını diğer kenarlar için de kullanalım.
- AC kenarı 8 cm'dir. DF kenarı bu orana göre \( 8 \times \frac{3}{2} \) olmalıdır. \( 8 \times \frac{3}{2} = 12 \) cm'dir. Yani DF = 12 cm.
- BC kenarı 10 cm'dir. EF kenarı bu orana göre \( 10 \times \frac{3}{2} \) olmalıdır. \( 10 \times \frac{3}{2} = 15 \) cm'dir. Yani EF = 15 cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, DE doğrusu BC kenarına paraleldir. A noktasından çizilen DE doğrusu, AB kenarını D noktasında ve AC kenarını E noktasında kesmektedir. Eğer AD = 4 cm, DB = 2 cm ve AE = 6 cm ise, EC kenar uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Thales teoreminin bir uygulaması olan benzerlikten yararlanacağız. DE doğrusu BC'ye paralel olduğu için ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
- Paralellikten dolayı \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur (yöndeş açılar). Ayrıca \( \angle DAE = \angle BAC \) ortak açıdır.
- Bu benzerlikten dolayı üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \).
- Verilen değerleri yerine koyalım: AD = 4 cm, DB = 2 cm, AE = 6 cm.
- AB kenar uzunluğu AD + DB = 4 + 2 = 6 cm'dir.
- Orantıyı kullanarak EC'yi bulalım: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
- \( \frac{4}{6} = \frac{6}{AC} \)
- Buradan AC kenar uzunluğunu bulabiliriz: \( 4 \times AC = 6 \times 6 \Rightarrow 4 \times AC = 36 \Rightarrow AC = 9 \) cm.
- EC kenar uzunluğu AC - AE'dir. \( EC = 9 - 6 = 3 \) cm.
Örnek 3:
Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse bir dikme indirildiğinde oluşan üç parçanın uzunlukları arasındaki ilişkiyi soran bir problem düşünelim. Bir ABC dik üçgeninde \( \angle A = 90^\circ \) ve AD, BC kenarına ait yüksekliktir. Eğer BD = 4 cm ve DC = 9 cm ise, AD (yükseklik) uzunluğunu Öklid'in yükseklik teoremini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in yükseklik teoremi kullanılacaktır. Öklid'in yükseklik teoremi, dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğunun, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu söyler.
- Öklid'in yükseklik teoremi formülü şöyledir: \( AD^2 = BD \times DC \).
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: BD = 4 cm ve DC = 9 cm.
- \( AD^2 = 4 \times 9 \)
- \( AD^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak AD'yi bulalım: \( AD = \sqrt{36} \)
- \( AD = 6 \) cm.
Örnek 4:
Bir mimar, bir binanın maketini tasarlarken iki benzer üçgen kullanıyor. Küçük üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. Büyük üçgenin en kısa kenarı 15 cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenlerin kenar uzunluklarının orantılı olmasından yararlanacağız.
- Küçük üçgenin kenarları: 5 cm, 7 cm, 9 cm.
- Büyük üçgenin en kısa kenarı 15 cm olarak verilmiş. Bu, küçük üçgenin en kısa kenarı olan 5 cm'ye karşılık gelir.
- Benzerlik oranı, büyük üçgenin en kısa kenarının küçük üçgenin en kısa kenarına oranıdır: \( \frac{15}{5} = 3 \).
- Bu oran, büyük üçgenin diğer kenarları için de geçerlidir.
- Büyük üçgenin ikinci kenarı: \( 7 \times 3 = 21 \) cm.
- Büyük üçgenin üçüncü kenarı: \( 9 \times 3 = 27 \) cm.
- Büyük üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır: \( 15 + 21 + 27 \).
- Çevre = 63 cm.
Örnek 5:
Bir fotoğrafçı, bir portre çekerken kadrajı ayarlamak istiyor. Kameranın sensörünün boyutları 3 cm'ye 4 cm'dir. Fotoğrafçı, 1.5 metre (150 cm) uzaklıktaki bir kişinin tam olarak kadraja sığmasını istiyor. Eğer kişinin boyu 180 cm ise, fotoğrafçının kamerayı kişiden ne kadar uzağa koyması gerektiğini (veya ne kadar yaklaştırması gerektiğini) bulmak için benzerlik kullanabilir miyiz? (Bu soruda, kameranın odak uzaklığı gibi detayları ihmal ederek, basit bir benzerlik durumu ele alınacaktır.)
Çözüm:
Bu senaryo, kameranın sensörü ile kişinin boyutları arasında bir benzerlik ilişkisi kurarak çözülebilir. Basitleştirilmiş bir modelleme ile bu durumu inceleyelim.
- Kameranın sensörünü küçük bir üçgen, kişinin kendisini ise bu üçgenin benzeri olan daha büyük bir üçgen olarak düşünebiliriz.
- Sensörün boyutları: Genişlik 3 cm, Yükseklik 4 cm.
- Kişinin boyu: 180 cm.
- Kişinin kameraya olan uzaklığı: 150 cm.
- Bu durumda, sensörün yüksekliği (4 cm) ile kişinin boyu (180 cm) arasında bir oran kurabiliriz.
- Benzerlik oranı: \( \frac{Kişinin Boyu}{Sensör Yüksekliği} = \frac{180 \text{ cm}}{4 \text{ cm}} = 45 \).
- Bu oran, kişinin kameraya olan uzaklığı ile sensörün kameraya olan uzaklığı (yani odak uzaklığı gibi düşünülebilir) arasında da geçerli olmalıdır.
- Ancak soruda verilen kişi uzaklığı (150 cm) zaten biliniyor ve bu uzaklıkta kişinin tam kadraja sığması isteniyor. Sorunun kurgusu gereği, kişinin 150 cm uzakta olduğu varsayımıyla, bu uzaklıkta 180 cm boyundaki birinin kadraja sığması için sensörün ne kadar olması gerektiği veya tersi sorulabilir.
- Eğer kişi 150 cm uzaktaysa ve boyu 180 cm ise, bu kişinin kadraja sığması için gereken "görüş açısı" veya "kadraj boyutu" belirlenir.
- Sorunun asıl amacı, 1.5 metre uzaktaki 180 cm'lik bir kişinin, 3x4 cm'lik sensöre sığdırılmaya çalışıldığında, bu uzaklığın doğru olup olmadığını kontrol etmektir.
- Eğer kişi 150 cm uzaktaysa ve sensör 4 cm yüksekliğe sahipse, bu 4 cm'lik sensörün 150 cm'de ne kadar bir boyu görebileceğini hesaplayabiliriz.
- \( \frac{\text{Görülebilecek Boy}}{\text{Sensör Yüksekliği}} = \frac{\text{Uzaklık}}{\text{Odak Uzaklığı (varsayımsal)}} \)
- Basit bir oranla: \( \frac{x}{4 \text{ cm}} = \frac{150 \text{ cm}}{d} \) (burada d, sensörün nesneye olan mesafesi gibi düşünülebilir, ancak bu soru için 150 cm'yi referans alıyoruz).
- Eğer 150 cm uzaklıktaki kişinin tamamının kadraja sığması isteniyorsa, bu kişinin boyu (180 cm) ile sensörün yüksekliği (4 cm) arasındaki oran, kişinin uzaklığı (150 cm) ile sensörün "etkin uzaklığı" arasındaki orana eşit olmalıdır.
- \( \frac{180}{4} = \frac{150}{d_{etkin}} \Rightarrow 45 = \frac{150}{d_{etkin}} \Rightarrow d_{etkin} = \frac{150}{45} = \frac{10}{3} \) cm.
- Bu \( d_{etkin} \) değeri, sensörün 180 cm'lik bir boyu 150 cm mesafeden yakalayabilmesi için gereken "etkin odak uzaklığı" gibi düşünülebilir.
- Sorunun orijinal kurgusunda, kişi 150 cm uzaktaysa ve boyu 180 cm ise, 3x4 cm'lik sensöre sığması için bu uzaklığın uygun olup olmadığını anlamak önemlidir.
- Eğer kişi 150 cm uzaktaysa ve boyu 180 cm ise, bu kişinin kadraja sığması için gereken sensör yüksekliği \( y \) olsun: \( \frac{180}{y} = \frac{150}{d} \).
- Eğer sensör 4 cm ise, \( \frac{180}{4} = 45 \). Bu oran, 150 cm uzaklıktaki nesneler için geçerli olmalıdır.
- Yani, 150 cm uzaklıktaki bir nesnenin 4 cm'lik bir sensöre sığması için, nesnenin boyu \( 4 \times \frac{150}{d} \) olmalıdır.
- Sorunun kurgusunda bir hata olabilir veya daha basit bir yorum istenebilir: Eğer 150 cm uzaktaki kişi 180 cm boyundaysa ve bu kişi 3x4 cm'lik sensöre sığdırılmak isteniyorsa, bu uzaklıkta 180 cm'lik bir nesneyi 4 cm'lik bir alana sığdırmak için gereken oran 45'tir.
- Bu durumda, 150 cm uzaklıktaki bir nesnenin 4 cm'lik bir alana sığdırılabilmesi için, nesnenin boyu \( 4 \times \frac{150}{d_{etkin}} \) olmalıdır.
- Basitçe, eğer kişi 150 cm uzaktaysa ve boyu 180 cm ise, bu kişinin kadraja sığması için gereken oran 45'tir. Bu oran, sensörün yüksekliği (4 cm) ile kişinin gerçek boyu (180 cm) arasındaki orandır.
- Eğer kişi 150 cm uzaktaysa ve boyu 180 cm ise, bu kişinin kadraja sığması için gereken sensör yüksekliği \( y \) olsun: \( \frac{180}{y} = \frac{150}{d_{etkin}} \).
- Eğer 150 cm uzaktaki 180 cm'lik kişi, 4 cm'lik sensöre sığdırılmak isteniyorsa, bu oran \( \frac{180}{4} = 45 \) olmalıdır.
- Bu oran, \( \frac{\text{Kişi Uzaklığı}}{\text{Sensör Uzaklığı}} \) ile de ilgilidir.
- Daha basit bir yaklaşımla: Kişinin boyu (180 cm) ile sensörün yüksekliği (4 cm) arasındaki oran, kişinin kameraya olan uzaklığı (150 cm) ile kameranın "etkin uzaklığı" arasındaki orana eşittir.
- \( \frac{180}{4} = \frac{150}{x} \Rightarrow 45 = \frac{150}{x} \Rightarrow x = \frac{150}{45} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \) cm.
- Bu \( x \) değeri, kişinin 150 cm uzakta olduğu durumda, 180 cm'lik boyun 4 cm'lik sensöre sığabilmesi için gereken "etkin odak uzaklığı"dır.
- Eğer fotoğrafçı kamerayı 150 cm'den daha yakına getirirse (örneğin 100 cm'ye), daha geniş bir alanı kadraja alabilir. Eğer daha uzağa götürürse (örneğin 200 cm'ye), daha dar bir alanı kadraja alır.
- Sorunun asıl sorusu, 150 cm uzaklıktaki 180 cm'lik kişinin 3x4 cm'lik sensöre sığdırılmasıdır. Bu durumda, 150 cm uzaklıkta 180 cm'lik bir boyu 4 cm'lik bir alana sığdırmak için gereken oran 45'tir.
- Eğer fotoğrafçı, 150 cm uzaklıktaki 180 cm'lik kişiyi kadraja sığdırmak istiyorsa ve sensörü 4 cm ise, bu durumda 150 cm'lik uzaklık uygundur çünkü \( \frac{180}{4} = 45 \) ve bu oran, \( \frac{\text{Uzaklık}}{\text{Etkin Alan Boyutu}} \) ile ilişkilidir.
- Bu durumda, 150 cm uzaklık, 180 cm boyundaki bir kişi için 4 cm'lik sensöre uygun bir mesafedir. Eğer fotoğrafçı kamerayı 150 cm'den daha yakına getirirse (örneğin 100 cm'ye), 180 cm'lik kişi daha büyük görünecek ve kadrajdan taşacaktır (eğer sensör boyutu değişmiyorsa). Eğer daha uzağa götürürse (örneğin 200 cm'ye), kişi daha küçük görünecek ve kadrajın tamamını doldurmayacaktır.
- Sorunun kurgusu gereği, 150 cm uzaklıkta 180 cm'lik bir kişinin 3x4 cm'lik sensöre sığması için gereken oran 45'tir. Bu oran, \( \frac{180}{4} \) olarak hesaplanır. Bu oran aynı zamanda \( \frac{\text{Kişinin Kameraya Uzaklığı}}{\text{Sensörün Kameraya Etkin Uzaklığı}} \) oranına eşittir.
- Yani, \( 45 = \frac{150 \text{ cm}}{d_{etkin}} \Rightarrow d_{etkin} = \frac{150}{45} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \) cm.
- Bu, 150 cm uzaklıktaki bir nesnenin 4 cm'lik sensöre sığması için gereken "etkin odak uzaklığı"dır.
- Eğer fotoğrafçı, 180 cm boyundaki kişiyi 150 cm uzaktan kadraja sığdırmak istiyorsa ve sensörü 4 cm ise, bu uzaklık uygundur. Eğer kişi daha yakın olursa (örneğin 100 cm), kadrajdan taşar. Eğer daha uzak olursa (örneğin 200 cm), kadrajı tam doldurmaz.
- Sorunun özü, 150 cm uzaklıktaki 180 cm'lik kişinin 3x4 cm'lik sensöre sığdırılabilmesidir. Bu durumda, 150 cm'lik uzaklık, 180 cm'lik boy için 4 cm'lik sensöre uygun bir mesafedir.
- Fotoğrafçının, 150 cm'den daha yakına gelmesi durumunda kişinin kadrajdan taşacağını, daha uzağa gitmesi durumunda ise kişinin kadrajı tam doldurmayacağını söyleyebiliriz.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde AB = 10 cm, AC = 15 cm ve BC = 20 cm'dir. Bu üçgenin kenarlarına paralel ve köşelerinden biri A noktası olan bir KLM üçgeni çiziliyor. Eğer KLM üçgeninin çevresi 60 cm ise, ABC üçgeninin çevresini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, iki benzer üçgen arasındaki çevre ilişkisi kullanılacaktır.
- ABC üçgeninin kenarları: AB = 10 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm.
- ABC üçgeninin çevresi: \( 10 + 15 + 20 = 45 \) cm.
- KLM üçgeni, ABC üçgenine benzerdir ve A noktasından çizildiği için köşeleri orantılıdır.
- KLM üçgeninin çevresi: 60 cm.
- İki benzer üçgenin çevrelerinin oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir.
- Benzerlik oranı (k), KLM üçgeninin çevresinin ABC üçgeninin çevresine oranıdır: \( k = \frac{\text{Çevre}(KLM)}{\text{Çevre}(ABC)} = \frac{60 \text{ cm}}{45 \text{ cm}} \).
- Bu oranı sadeleştirelim: \( k = \frac{60}{45} = \frac{4 \times 15}{3 \times 15} = \frac{4}{3} \).
- Bu oran, KLM üçgeninin kenarlarının ABC üçgeninin kenarlarına oranıdır.
- Soruda ABC üçgeninin çevresi soruluyor. Ancak verilenler KLM üçgeninin çevresi ve ABC üçgeninin kenarlarıdır. Sorunun kurgusunda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Eğer KLM üçgeni ABC üçgenine benzer ve A köşesi ortak ise, KLM üçgeninin kenarları ABC'nin kenarlarının orantılısı olmalıdır.
- Eğer KLM üçgeni, ABC üçgenine benzer ve A köşesi ile orantılı ise, o zaman KLM üçgeninin kenarları \( 10k, 15k, 20k \) şeklinde olmalıdır.
- KLM üçgeninin çevresi \( 10k + 15k + 20k = 45k \) olur.
- Eğer KLM üçgeninin çevresi 60 cm ise, \( 45k = 60 \Rightarrow k = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \).
- Bu durumda ABC üçgeninin çevresi \( 45 \) cm olarak zaten verilmiş.
- Sorunun doğru kurgusu şu şekilde olmalıydı: "Bir ABC üçgeni ile benzer bir KLM üçgeni çiziliyor. ABC üçgeninin çevresi 45 cm ve KLM üçgeninin çevresi 60 cm ise, bu iki üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oran nedir?" veya "ABC üçgeninin kenarları 10, 15, 20 cm ise ve KLM üçgeni buna benzer ise, KLM üçgeninin çevresi 60 cm ise, benzerlik oranını bulunuz."
- Mevcut soruya göre, ABC üçgeninin çevresi zaten 45 cm'dir. Eğer sorulan, KLM üçgeninin çevresine göre ABC üçgeninin çevresini bulmak ise, bu durumda \( \frac{\text{Çevre}(ABC)}{\text{Çevre}(KLM)} = \frac{1}{k} \) olur.
- \( \frac{\text{Çevre}(ABC)}{60} = \frac{3}{4} \Rightarrow \text{Çevre}(ABC) = 60 \times \frac{3}{4} = 45 \) cm.
Örnek 7:
İki üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 3 cm, 4 cm, 5 cm ve 6 cm, 8 cm, 10 cm'dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzer ise, benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olup olmadığını kontrol etmek için kenar uzunluklarının orantılı olup olmadığını incelemeliyiz.
- Birinci üçgenin kenarları: 3 cm, 4 cm, 5 cm.
- İkinci üçgenin kenarları: 6 cm, 8 cm, 10 cm.
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayarak karşılıklı oranlarını alalım.
- Oran 1: \( \frac{6}{3} = 2 \)
- Oran 2: \( \frac{8}{4} = 2 \)
- Oran 3: \( \frac{10}{5} = 2 \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (\( 2 \)) olduğu için, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı, büyük üçgenin kenarının küçük üçgenin karşılık gelen kenarına oranıdır, bu da 2'dir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde A açısı 50 derece, B açısı 70 derecedir. Bir DEF üçgeninde D açısı 50 derece, E açısı 60 derecedir. Bu iki üçgen benzer midir? Nedenini açıklayınız.
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açıları eşit olmalıdır.
- ABC üçgeninde verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \).
- ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım: \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Yani, ABC üçgeninin açıları 50°, 70°, 60°'dir.
- DEF üçgeninde verilen açılar: \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 60^\circ \).
- DEF üçgeninin üçüncü açısını bulalım: \( \angle F = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
- Yani, DEF üçgeninin açıları 50°, 60°, 70°'dir.
- Şimdi açıları karşılaştıralım:
- \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
- \( \angle B = \angle F = 70^\circ \)
- \( \angle C = \angle E = 60^\circ \)
- Her iki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir.
Örnek 9:
Bir parkta, bir ağacın gölgesi 12 metre uzunluğundadır. Aynı anda, parkta bulunan 1.5 metre boyundaki bir çocuğun gölgesi 2 metre uzunluğundadır. Ağacın boyunu, benzerlik prensibini kullanarak hesaplayınız.
Çözüm:
Bu problemde, güneş ışınlarının paralel olduğu varsayımıyla, ağaç ve çocuk ile gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşturulur.
- Çocuğun boyu (dikey kenar): 1.5 metre.
- Çocuğun gölgesi (yatay kenar): 2 metre.
- Ağacın boyu (dikey kenar): \( x \) metre (bilinmiyor).
- Ağacın gölgesi (yatay kenar): 12 metre.
- Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Çocuğun boyu ve gölgesi bir üçgenin dik kenarlarını, ağacın boyu ve gölgesi ise benzer bir üçgenin dik kenarlarını oluşturur.
- Benzerlikten dolayı, oranlar eşittir: \( \frac{\text{Çocuğun Boyu}}{\text{Çocuğun Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \).
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \).
- Bu denklemi \( x \) için çözelim.
- \( x = 12 \times \frac{1.5}{2} \)
- \( x = 12 \times 0.75 \)
- \( x = 9 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-ve-oklid-teoremleriyle-ucgen-benzerligi/sorular