🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales ve Öklid Teoremleriyle Üçgen Benzerliği ve Eşliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales ve Öklid Teoremleriyle Üçgen Benzerliği ve Eşliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 6 cm, AC kenarı 8 cm'dir. Benzer bir DEF üçgeninde DE kenarı 9 cm ise, DF kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde iki üçgenin benzerliği kullanılarak eksik kenar uzunluğu bulunacaktır.
- İki üçgenin benzer olması, karşılıklı kenarlarının orantılı olması anlamına gelir.
- Verilenlere göre, ABC ~ DEF üçgenleri benzerdir.
- Bu benzerlikten yola çıkarak kenar oranlarını yazalım: \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{6}{9} = \frac{8}{DF} \)
- Bu orantıyı çözerek DF kenarını bulalım: \( 6 \times DF = 9 \times 8 \)
- \( 6 \times DF = 72 \)
- \( DF = \frac{72}{6} \)
- \( DF = 12 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısı 50°, B açısı 70°'dir. Benzer bir KLM üçgeninde K açısı 50° ise, L açısının ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
Üçgenlerin benzerliği, açıları arasındaki ilişkiyi de kapsar.
- Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir.
- ABC üçgeninde verilmeyen C açısını bulalım: \( C = 180^\circ - (A + B) \)
- \( C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
- \( C = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( C = 60^\circ \)
- ABC ~ KLM üçgenleri benzer olduğuna göre, karşılıklı açıları eşittir: \( A = K \), \( B = L \), \( C = M \)
- Soruda K açısının 50° olduğu verilmiş, bu da A açısına eşittir.
- Bizden istenen L açısı, B açısına eşittir.
- B açısı 70° olduğuna göre, L açısı da 70°'dir.
Örnek 3:
İki üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 3, 4, 5 birim ve 6, 8, 10 birimdir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını açıklayınız.
Çözüm:
Üçgenlerin benzerliğini kontrol etmek için kenar uzunluklarının orantılı olup olmadığına bakmalıyız.
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır.
- Küçük üçgenin kenarları \( a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 5 \) olsun.
- Büyük üçgenin kenarları \( a_2 = 6, b_2 = 8, c_2 = 10 \) olsun.
- Kenar oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2 \)
- \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{4} = 2 \)
- \( \frac{c_2}{c_1} = \frac{10}{5} = 2 \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (2) çıktığı için bu iki üçgen benzerdir.
Örnek 4:
Bir fotoğrafçı, bir binanın fotoğrafını çekerken, kamerasıyla binanın bir modelini oluşturuyor. Modelin yüksekliği 10 cm, gerçek binanın yüksekliği ise 50 metre. Eğer modelin tabanının fotoğraf makinesine olan uzaklığı 20 cm ise, gerçek binanın fotoğraf makinesine olan uzaklığı kaç metredir?
Çözüm:
Bu problemde, fotoğraf makinesi, model ve gerçek bina arasında oluşan benzer üçgenler söz konusudur.
- Modelin yüksekliği \( h_m = 10 \) cm, gerçek binanın yüksekliği \( h_b = 50 \) m'dir.
- Modelin fotoğraf makinesine uzaklığı \( d_m = 20 \) cm'dir.
- Gerçek binanın fotoğraf makinesine uzaklığı \( d_b \) bilinmiyor.
- Benzerlik oranını kurarken birimleri aynı tutmalıyız. Gerçek binanın yüksekliğini cm'ye çevirelim: \( 50 \) m \( = 5000 \) cm.
- Benzerlik oranı: \( \frac{h_m}{h_b} = \frac{d_m}{d_b} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{10 \text{ cm}}{5000 \text{ cm}} = \frac{20 \text{ cm}}{d_b} \)
- \( \frac{1}{500} = \frac{20}{d_b} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( d_b = 500 \times 20 \)
- \( d_b = 10000 \) cm
- Bu uzaklığı metreye çevirelim: \( 10000 \) cm \( = 100 \) m.
Örnek 5:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Çözüm:
Harita ölçekleri, harita üzerindeki mesafelerin gerçek mesafelerle oranını gösterir.
- Harita üzerindeki uzaklık \( d_{harita} = 5 \) cm'dir.
- Haritanın ölçeği \( 1:200.000 \) 'dir. Bu, haritadaki her 1 birimin gerçekte 200.000 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekteki ikinci sayıyla çarparız: \( d_{gercek} = d_{harita} \times 200.000 \)
- \( d_{gercek} = 5 \text{ cm} \times 200.000 \)
- \( d_{gercek} = 1.000.000 \) cm
- Bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 km = 100.000 cm olduğunu biliyoruz.
- \( d_{gercek} = \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
- \( d_{gercek} = 10 \) km
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde AB = 12, BC = 18 ve AC = 24 birimdir. Bu üçgenin kenarortaylarının kesim noktası G'dir. G noktasının BC kenarına olan uzaklığı nedir? (Not: Bu soru, 9. sınıf müfredatında doğrudan Öklid teoremleriyle çözülmez ancak benzerlik ve ağırlık merkezi bilgisiyle yaklaştırılabilir. Tam Öklid teoremi uygulaması üst sınıf konularını içerir.)
Çözüm:
Bu soruyu, üçgenin ağırlık merkezi kavramını ve bunun kenarortaylarla ilişkisini kullanarak çözebiliriz.
- Bir üçgenin kenarortaylarının kesim noktası, üçgenin ağırlık merkezidir (G).
- Ağırlık merkezi, kenarortayı kendi kenarından başlayarak 2 birim, köşeden başlayarak 1 birim olacak şekilde böler. Yani, kenarortayın tamamı 3 birim kabul edilirse, ağırlık merkezi kenarı 1 birim ve 2 birim olarak ayırır.
- BC kenarına ait kenarortay \( V_a \) olsun. G noktası bu kenarortayı \( BG = \frac{2}{3} V_a \) ve \( GC = \frac{1}{3} V_a \) şeklinde böler.
- Ancak soruda G noktasının BC kenarına olan uzaklığı soruluyor. Bu, G noktasından BC kenarına indirilen dikmenin uzunluğudur. Bu doğrudan kenarortayın uzunluğu değildir.
- Bu tür bir uzaklığı bulmak için genellikle üçgenin alanını kullanmak gerekir.
- Öncelikle ABC üçgeninin alanını hesaplamak için Heron formülünü kullanabiliriz. Yarı çevre \( u = \frac{12+18+24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \)
- Alan \( A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = \sqrt{27(27-18)(27-24)(27-12)} = \sqrt{27 \times 9 \times 3 \times 15} = \sqrt{3^3 \times 3^2 \times 3 \times (3 \times 5)} = \sqrt{3^7 \times 5} \). Bu hesaplama 9. sınıf seviyesi için karmaşıktır ve tam sayı sonuç vermez.
- Daha basit bir yaklaşım: Eğer G noktasından BC kenarına bir dikme indirirsek (yüksekliği \( h_G \)), bu dikme, ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliği \( h_a \) ile orantılıdır.
- Ağırlık merkezi G'den BC kenarına indirilen dikme, ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliğinin \( \frac{1}{3} \) 'ü kadardır. Yani \( h_G = \frac{1}{3} h_a \).
- Alan \( A = \frac{1}{2} \times BC \times h_a \)
- \( A = \frac{1}{2} \times 18 \times h_a = 9 h_a \)
- Bu noktada, \( h_a \) değerini bulmak için 9. sınıf müfredatında yer alan Trigonometri veya Pisagor teoremi ile ilgili ek bilgiler gerekebilir ki bu da soruyu zorlaştırmaktadır.
- Eğer sorunun tam olarak 9. sınıf müfredatına uygun olması isteniyorsa, bu tür bir soru yerine, kenarortayların uzunlukları veya ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı gibi daha doğrudan sorular sorulmalıdır.
- Bu sorunun 9. sınıf bağlamında tam çözümü için ek bilgiler (örneğin, A açısının trigonometrik değeri) veya daha ileri seviye teoremler gerekmektedir.
Örnek 7:
İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları sırasıyla 4 cm ve 8 cm, 6 cm ve 12 cm'dir. Bu iki üçgenin benzer olması için üçüncü kenar uzunlukları arasındaki oran ne olmalıdır?
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
- Verilen kenar çiftleri: (4 cm, 8 cm) ve (6 cm, 12 cm).
- Bu çiftlerin oranlarını hesaplayalım:
- \( \frac{8}{4} = 2 \)
- \( \frac{12}{6} = 2 \)
- Her iki oranın da 2 çıktığını görüyoruz.
- Bu demektir ki, benzerlik oranı (büyük üçgenin küçük üçgene oranı) 2'dir.
- Eğer üçüncü kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) ise ve bu iki üçgen benzerse, aralarındaki oran da bu benzerlik oranına eşit olmalıdır.
- Yani, \( \frac{y}{x} = 2 \) olmalıdır.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde A açısı 90°, B açısı 45°'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 5 cm, 5 cm ve \( 5\sqrt{2} \) cm'dir. Benzer bir DEF üçgeninde D açısı 90°, E açısı 45° ise, EF kenarının uzunluğu 10 cm ise DF kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen bilgilerle benzer üçgenlerin özelliklerini kullanacağız.
- ABC üçgeninde A açısı 90°, B açısı 45° ise, C açısı \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \) olur.
- Bu durumda ABC üçgeni ikizkenar dik üçgendir (AB = AC = 5 cm).
- DEF üçgeninde D açısı 90°, E açısı 45° ise, F açısı \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \) olur.
- Bu da DEF üçgeninin de ikizkenar dik üçgen olduğunu gösterir (DE = DF).
- ABC ~ DEF üçgenleri benzerdir çünkü karşılıklı açıları eşittir (A=D, B=E, C=F).
- Benzerlik oranını bulmak için bilinen kenarları kullanabiliriz.
- ABC üçgeninde EF kenarına karşılık gelen kenar BC'dir. BC'nin uzunluğu \( 5\sqrt{2} \) cm'dir.
- DEF üçgeninde EF kenarının uzunluğu 10 cm'dir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{EF}{BC} = \frac{10 \text{ cm}}{5\sqrt{2} \text{ cm}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
- Bizden istenen DF kenarının uzunluğudur. DEF üçgeninde DF kenarı, ABC üçgeninde AC kenarına karşılık gelir.
- \( \frac{DF}{AC} = k \)
- \( \frac{DF}{5 \text{ cm}} = \sqrt{2} \)
- \( DF = 5\sqrt{2} \) cm
Örnek 9:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği durumlarda, benzerlik prensibini kullanarak bu yüksekliği hesaplayabilir. Mühendis, binanın gölgesinin düştüğü yerde durarak, kendi boyu 1.70 metre ve gölgesi 2 metre olarak ölçüyor. Aynı anda binanın gölgesinin 30 metre olduğunu tespit ediyor. Binanın yüksekliği ne kadardır?
Çözüm:
Bu problemde, mühendisin boyu ve gölgesi ile binanın boyu ve gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur.
- Mühendisin boyu \( h_m = 1.70 \) m, gölgesi \( g_m = 2 \) m.
- Binanın gölgesi \( g_b = 30 \) m, binanın yüksekliği \( h_b \) bilinmiyor.
- Güneş ışınlarının aynı açıyla geldiğini varsayarsak, mühendisin oluşturduğu dik üçgen ile binanın oluşturduğu dik üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı şu şekilde kurulur: \( \frac{h_m}{g_m} = \frac{h_b}{g_b} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{1.70 \text{ m}}{2 \text{ m}} = \frac{h_b}{30 \text{ m}} \)
- \( 0.85 = \frac{h_b}{30} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( h_b = 0.85 \times 30 \)
- \( h_b = 25.5 \) m
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-ve-oklid-teoremleriyle-ucgen-benzerligi-ve-esligi/sorular