🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Temel Benzerlik Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Temel Benzerlik Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası bulunmaktadır. DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. Yani \( DE \parallel BC \).
Eğer AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 5 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Eğer AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 5 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler. Bu durumda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir ve kenar uzunlukları arasında belirli bir oran vardır.
İşte çözüm adımları:
İşte çözüm adımları:
- 📌 AD uzunluğu \( = 4 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 DB uzunluğu \( = 6 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 AE uzunluğu \( = 5 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 EC uzunluğunu bulmak istiyoruz. Buna \( x \) diyelim.
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- 👉 Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]
- 👉 Denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulabiliriz: \[ 4 \cdot x = 6 \cdot 5 \] \[ 4x = 30 \]
- 👉 Her iki tarafı 4'e bölelim: \[ x = \frac{30}{4} \] \[ x = \frac{15}{2} \] \[ x = 7.5 \]
- ✅ Buna göre, EC uzunluğu 7.5 cm'dir.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeni düşünelim. KL kenarı üzerinde P noktası, KM kenarı üzerinde R noktası bulunmaktadır. PR doğru parçası LM doğru parçasına paraleldir. Yani \( PR \parallel LM \).
KP uzunluğu 3 cm, PL uzunluğu 9 cm ve KR uzunluğu 2 cm ise, RM uzunluğu kaç cm'dir? 📏
KP uzunluğu 3 cm, PL uzunluğu 9 cm ve KR uzunluğu 2 cm ise, RM uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu örnekte de Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayarak eksik kenar uzunluğunu bulacağız.
- 📌 KP uzunluğu \( = 3 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 PL uzunluğu \( = 9 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 KR uzunluğu \( = 2 \) cm olarak verilmiş.
- 📌 RM uzunluğunu bulmak istiyoruz. Buna \( y \) diyelim.
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ne göre oranları kuralım: \[ \frac{KP}{PL} = \frac{KR}{RM} \]
- 👉 Verilen değerleri orantıya yerleştirelim: \[ \frac{3}{9} = \frac{2}{y} \]
- 👉 Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \cdot y = 9 \cdot 2 \] \[ 3y = 18 \]
- 👉 Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ y = \frac{18}{3} \] \[ y = 6 \]
- ✅ Sonuç olarak, RM uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 3:
Bir PQR üçgeninde, PQ kenarı üzerinde S noktası ve PR kenarı üzerinde T noktası yer almaktadır. ST doğru parçası QR doğru parçasına paraleldir. Yani \( ST \parallel QR \).
PS uzunluğu \( x \) cm, SQ uzunluğu \( x+2 \) cm, PT uzunluğu 6 cm ve TR uzunluğu 9 cm ise, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
PS uzunluğu \( x \) cm, SQ uzunluğu \( x+2 \) cm, PT uzunluğu 6 cm ve TR uzunluğu 9 cm ise, \( x \) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruda kenar uzunlukları cebirsel ifadelerle verilmiş. Yine Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanarak bir denklem oluşturup \( x \) değerini bulacağız.
- 📌 PS uzunluğu \( = x \) cm.
- 📌 SQ uzunluğu \( = x+2 \) cm.
- 📌 PT uzunluğu \( = 6 \) cm.
- 📌 TR uzunluğu \( = 9 \) cm.
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, kenarlar arasındaki oran eşittir: \[ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} \]
- 👉 Verilen ifadeleri orantıya yazalım: \[ \frac{x}{x+2} = \frac{6}{9} \]
- 💡 Sağ taraftaki kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). O zaman orantı şöyle olur: \[ \frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \]
- 👉 Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \cdot x = 2 \cdot (x+2) \] \[ 3x = 2x + 4 \]
- 👉 \( 2x \)'i eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 3x - 2x = 4 \] \[ x = 4 \]
- ✅ Buna göre, \( x \) değeri 4'tür.
Örnek 4:
Bir XYZ üçgeninde, XY kenarı üzerinde A noktası ve XZ kenarı üzerinde B noktası bulunmaktadır. AB doğru parçası YZ doğru parçasına paraleldir. Yani \( AB \parallel YZ \).
XA uzunluğu 5 cm, AY uzunluğu 10 cm ve XZ uzunluğunun tamamı 18 cm ise, XB uzunluğu kaç cm'dir? 📐
XA uzunluğu 5 cm, AY uzunluğu 10 cm ve XZ uzunluğunun tamamı 18 cm ise, XB uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda, orantı kurarken dikkat etmemiz gereken bir nokta var: XZ'nin tamamı verilmiş.
- 📌 XA uzunluğu \( = 5 \) cm.
- 📌 AY uzunluğu \( = 10 \) cm.
- 📌 XZ uzunluğu \( = 18 \) cm (X'den Z'ye kadar olan toplam uzunluk).
- 📌 XB uzunluğunu bulmak istiyoruz. Buna \( k \) diyelim.
- 📌 Eğer XB \( = k \) ise, BZ uzunluğu \( = 18 - k \) olacaktır.
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{XA}{AY} = \frac{XB}{BZ} \]
- 👉 Verilen değerleri ve ifadeleri yerine yazalım: \[ \frac{5}{10} = \frac{k}{18-k} \]
- 💡 Sol taraftaki kesri sadeleştirelim: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \). O zaman orantı şöyle olur: \[ \frac{1}{2} = \frac{k}{18-k} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot (18-k) = 2 \cdot k \] \[ 18 - k = 2k \]
- 👉 \( -k \)'yi eşitliğin sağ tarafına atalım: \[ 18 = 2k + k \] \[ 18 = 3k \]
- 👉 Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ k = \frac{18}{3} \] \[ k = 6 \]
- ✅ Buna göre, XB uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 5:
Bir mimar, çizdiği binanın maketini inceliyor. Makette, yerden yükselen bir destek kolonunun yüksekliği 15 cm ve bu kolonun maket zeminindeki gölgesinin uzunluğu 10 cm'dir. Aynı anda, maketin yanında duran 3 cm boyundaki küçük bir ağacın gölgesinin uzunluğu kaç cm olur? (Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayılacaktır.) ☀️🌳
Çözüm:
Bu bir "yeni nesil" soru olup, günlük hayattaki benzerlik kavramını Temel Benzerlik Teoremi ile çözmeye dayanır. Güneş ışınları paralel geldiği için, oluşan üçgenler benzer olacaktır.
- 📌 Kolonun yüksekliği (dikey kenar) \( = 15 \) cm.
- 📌 Kolonun gölgesi (yatay kenar) \( = 10 \) cm.
- 📌 Ağacın yüksekliği \( = 3 \) cm.
- 📌 Ağacın gölgesinin uzunluğunu bulmak istiyoruz. Buna \( g \) diyelim.
- 👉 Kolonun oluşturduğu dik üçgen ile ağacın oluşturduğu dik üçgen, güneş ışınları paralel olduğu için benzerdir. Bu durumda, yüksekliklerin oranı, gölge uzunluklarının oranına eşittir: \[ \frac{\text{Kolon Yüksekliği}}{\text{Ağaç Yüksekliği}} = \frac{\text{Kolon Gölgesi}}{\text{Ağaç Gölgesi}} \]
- 👉 Verilen değerleri bu orantıya yerleştirelim: \[ \frac{15}{3} = \frac{10}{g} \]
- 💡 Sol taraftaki kesri sadeleştirelim: \( \frac{15}{3} = 5 \). O zaman orantı şöyle olur: \[ 5 = \frac{10}{g} \]
- 👉 Denklemi çözmek için \( g \)'yi karşıya çarpım olarak atalım: \[ 5g = 10 \]
- 👉 Her iki tarafı 5'e bölelim: \[ g = \frac{10}{5} \] \[ g = 2 \]
- ✅ Buna göre, küçük ağacın gölgesinin uzunluğu 2 cm olur.
Örnek 6:
Ali, 1.80 metre boyundadır ve bir elektrik direğinin boyunu merak etmektedir. Kendi gölgesinin 2.40 metre olduğunu ölçüyor. Aynı anda, elektrik direğinin gölgesinin 8 metre olduğunu görüyor. Bu bilgilere göre, elektrik direğinin boyu kaç metredir? 🚶♂️💡
Çözüm:
Bu problem, Temel Benzerlik Teoremi'nin günlük hayattaki en yaygın uygulamalarından biridir. Güneş ışınları paralel geldiği için, Ali'nin ve direğin oluşturduğu hayali üçgenler benzer olacaktır.
- 📌 Ali'nin boyu (yükseklik) \( = 1.80 \) metre.
- 📌 Ali'nin gölgesi (taban) \( = 2.40 \) metre.
- 📌 Direğin gölgesi (taban) \( = 8 \) metre.
- 📌 Direğin boyunu (yüksekliğini) bulmak istiyoruz. Buna \( D \) diyelim.
- 👉 Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenar uzunluklarının oranları eşittir: \[ \frac{\text{Ali'nin Boyu}}{\text{Direğin Boyu}} = \frac{\text{Ali'nin Gölgesi}}{\text{Direğin Gölgesi}} \]
- 👉 Verilen değerleri orantıya yerleştirelim: \[ \frac{1.80}{D} = \frac{2.40}{8} \]
- 💡 Sağ taraftaki kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{2.40}{8} = \frac{240}{800} = \frac{3}{10} \). O zaman orantı şöyle olur: \[ \frac{1.80}{D} = \frac{3}{10} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1.80 \cdot 10 = 3 \cdot D \] \[ 18 = 3D \]
- 👉 Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ D = \frac{18}{3} \] \[ D = 6 \]
- ✅ Buna göre, elektrik direğinin boyu 6 metredir.
Örnek 7:
Bir ABCD dörtgeninde, AB kenarı DC kenarına paraleldir. Yani \( AB \parallel DC \). AC köşegeni üzerinde E noktası ve BD köşegeni üzerinde F noktası bulunmaktadır. EF doğru parçası AB ve DC doğru parçalarına paraleldir. Yani \( EF \parallel AB \parallel DC \).
Eğer AE uzunluğu 6 cm, EC uzunluğu 9 cm ve DC uzunluğu 15 cm ise, EF uzunluğu kaç cm'dir? 🧩
Eğer AE uzunluğu 6 cm, EC uzunluğu 9 cm ve DC uzunluğu 15 cm ise, EF uzunluğu kaç cm'dir? 🧩
Çözüm:
Bu soru, Temel Benzerlik Teoremi'nin iki farklı üçgende uygulanmasını gerektirir.
- 📌 \( AB \parallel DC \) ve \( EF \parallel AB \parallel DC \) verilmiş.
- 📌 AE \( = 6 \) cm, EC \( = 9 \) cm, DC \( = 15 \) cm.
- 📌 EF uzunluğunu bulmak istiyoruz.
- 👉 Öncelikle ADC üçgenine odaklanalım. EF doğru parçası DC'ye paralel olduğu için, AEF üçgeni ile ADC üçgeni benzerdir. \[ \frac{AE}{AC} = \frac{EF}{DC} \]
- 💡 AC uzunluğu \( = AE + EC = 6 + 9 = 15 \) cm'dir.
- 👉 Değerleri yerleştirelim: \[ \frac{6}{15} = \frac{EF}{15} \]
- 👉 Bu denklemden kolayca EF uzunluğunu bulabiliriz: \[ EF = 6 \]
- ✅ Buna göre, EF uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası bulunmaktadır. DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. Yani \( DE \parallel BC \).
AD uzunluğu \( 2x \) cm, DB uzunluğu \( x+3 \) cm, AE uzunluğu \( 4x-2 \) cm ve EC uzunluğu \( 2x+2 \) cm ise, BC uzunluğu DE uzunluğunun kaç katıdır? 🧐
AD uzunluğu \( 2x \) cm, DB uzunluğu \( x+3 \) cm, AE uzunluğu \( 4x-2 \) cm ve EC uzunluğu \( 2x+2 \) cm ise, BC uzunluğu DE uzunluğunun kaç katıdır? 🧐
Çözüm:
Bu soruda, önce \( x \) değerini bulup, sonra benzerlik oranını kullanarak BC ve DE arasındaki ilişkiyi belirleyeceğiz.
- 📌 AD \( = 2x \) cm.
- 📌 DB \( = x+3 \) cm.
- 📌 AE \( = 4x-2 \) cm.
- 📌 EC \( = 2x+2 \) cm.
- 📌 \( DE \parallel BC \).
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ne göre oranları kuralım: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- 👉 Verilen ifadeleri yerine yazalım: \[ \frac{2x}{x+3} = \frac{4x-2}{2x+2} \]
- 💡 Sağ taraftaki kesrin payını ve paydasını 2 ile sadeleştirebiliriz: \( \frac{2(2x-1)}{2(x+1)} = \frac{2x-1}{x+1} \). \[ \frac{2x}{x+3} = \frac{2x-1}{x+1} \]
- 👉 Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2x \cdot (x+1) = (x+3) \cdot (2x-1) \] \[ 2x^2 + 2x = 2x^2 - x + 6x - 3 \] \[ 2x^2 + 2x = 2x^2 + 5x - 3 \]
- 👉 Her iki taraftan \( 2x^2 \)'yi çıkaralım: \[ 2x = 5x - 3 \]
- 👉 \( 5x \)'i sol tarafa, \( -3 \)'ü sağ tarafa atalım: \[ 2x - 5x = -3 \] \[ -3x = -3 \]
- 👉 Her iki tarafı \( -3 \)'e bölelim: \[ x = 1 \]
- 👉 Şimdi \( x=1 \) değerini kullanarak kenar uzunluklarını bulalım:
- AD \( = 2 \cdot 1 = 2 \) cm.
- DB \( = 1+3 = 4 \) cm.
- AB'nin tamamı \( = AD+DB = 2+4 = 6 \) cm.
- 👉 ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır. Örneğin, AD'nin AB'ye oranı: \[ \text{Benzerlik Oranı} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- 👉 Benzerlik oranı \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, DE uzunluğu BC uzunluğunun \( \frac{1}{3} \) katıdır. Yani \( DE = \frac{1}{3} BC \).
- 👉 Soruda BC'nin DE'nin kaç katı olduğu soruluyor. Denklemi yeniden düzenlersek: \[ BC = 3 \cdot DE \]
- ✅ Buna göre, BC uzunluğu DE uzunluğunun 3 katıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-temel-benzerlik-teoremi/sorular