🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Temel benzerlik teoremi, thales teoremi, kelebek kuralı, pisagor teoremi, öklid teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Temel benzerlik teoremi, thales teoremi, kelebek kuralı, pisagor teoremi, öklid teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AB| = 10 \) cm, \( |AD| = 4 \) cm ve \( |BC| = 15 \) cm olduğuna göre, \( |DE| \) kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soru Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanır.
- Teoreme göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler. Bu durumda \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{10} = \frac{|DE|}{15} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( |DE| \) değerini bulalım: \( 10 \times |DE| = 4 \times 15 \)
- \( 10 \times |DE| = 60 \)
- \( |DE| = \frac{60}{10} \)
- \( |DE| = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle ABC = 90^\circ \) ve \( \angle ACB = 30^\circ \) ise, \( |AC| = 20 \) birim olduğuna göre, \( |AB| \) ve \( |BC| \) uzunlukları kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Bu soru Pisagor Teoremi'nin özel bir durumu olan 30-60-90 üçgeni özelliklerini kullanır.
- 30-60-90 üçgeninde, 30 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısıdır.
- Hipotenüs \( |AC| = 20 \) birimdir.
- \( |AB| \), 30 derecenin karşısındaki kenardır. O halde, \( |AB| = \frac{|AC|}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) birimdir.
- 60 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu ise 30 derecenin karşısındaki kenarın \( \sqrt{3} \) katıdır.
- \( |BC| \), 60 derecenin karşısındaki kenardır. O halde, \( |BC| = |AB| \times \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \) birimdir.
- Kontrol edelim: Pisagor Teoremi \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \) olmalıdır.
- \( 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + (100 \times 3) = 100 + 300 = 400 \)
- \( |AC|^2 = 20^2 = 400 \). Eşitlik sağlandı. ✅
Örnek 3:
Birbirini kesen iki doğru üzerinde A, B, C noktaları ve diğer doğru üzerinde D, E noktaları veriliyor. \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 4 \) cm, \( |BD| = 8 \) cm ise, \( |BE| \) kaç cm'dir? (Burada \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle C = \angle E \) olduğu varsayılmaktadır.) 📐
Çözüm:
Bu soru Kelebek Kuralı (veya Thales'in İkinci Teoremi'nin bir uygulaması) ile çözülür.
- Kelebek kuralına göre, kesişen iki doğrunun oluşturduğu paralel çizgilerde, benzer üçgenler oluşur. Bu durumda \( \triangle ABC \sim \triangle DBE \) olur.
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|AB|}{|DB|} = \frac{|BC|}{|BE|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{6}{8} = \frac{4}{|BE|} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 6 \times |BE| = 8 \times 4 \)
- \( 6 \times |BE| = 32 \)
- \( |BE| = \frac{32}{6} \)
- Sadeleştirirsek: \( |BE| = \frac{16}{3} \) cm'dir. 👉
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı diktir. \( |AB| = 6 \) birim ve \( |AC| = 8 \) birimdir. ABC üçgeninin hipotenüsüne ait yükseklik \( |AD| \) ise, \( |AD| \) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soru Öklid Teoremleri'nden (özellikle yükseklik teoremi) ve alan formülünden faydalanılarak çözülebilir.
- Önce Pisagor Teoremi ile hipotenüs \( |BC| \) uzunluğunu bulalım: \( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \)
- \( |BC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
- \( |BC| = \sqrt{100} = 10 \) birimdir.
- Şimdi üçgenin alanını iki farklı yolla hesaplayalım:
- Yol 1: \( Alan = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) birimkaredir.
- Yol 2: \( Alan = \frac{1}{2} \times |BC| \times |AD| \) (Hipotenüse ait yükseklik kullanılarak)
- \( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times |AD| \)
- \( 24 = 5 \times |AD| \)
- \( |AD| = \frac{24}{5} \) birimdir.
- Alternatif olarak, Öklid'in yükseklik teoremi \( |AD|^2 = |BD| \times |DC| \) kullanılabilir. Bunun için önce \( |BD| \) ve \( |DC| \) bulunmalıdır. Öklid'in birinci teoremi \( |AB|^2 = |BD| \times |BC| \) ve \( |AC|^2 = |DC| \times |BC| \) ile bu değerler bulunabilir.
- \( 6^2 = |BD| \times 10 \implies 36 = 10 \times |BD| \implies |BD| = 3.6 \)
- \( 8^2 = |DC| \times 10 \implies 64 = 10 \times |DC| \implies |DC| = 6.4 \)
- \( |AD|^2 = 3.6 \times 6.4 = 23.04 \)
- \( |AD| = \sqrt{23.04} = 4.8 \) birimdir. (Hesaplamada hata yapıldı, \( \frac{24}{5} = 4.8 \). İlk yol doğru.) ✅
Örnek 5:
Bir mimar, bir binanın ön cephesinin tasarımında ölçekli bir çizim yapmaktadır. Çizimde, \( 1:50 \) ölçeği kullanılmıştır. Gerçekte \( 12 \) metre yüksekliğinde bir pencere, çizimde kaç cm olarak gösterilmelidir? 📏
Çözüm:
Bu soru, oran-orantı ve ölçek kavramlarını içerir ve temel benzerlik mantığıyla çözülür.
- Ölçek \( 1:50 \) demek, çizimdeki her 1 birimin gerçekte 50 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- Soruda verilen pencere yüksekliği gerçekte \( 12 \) metredir.
- Öncelikle metreyi santimetreye çevirelim: \( 12 \text{ metre} = 12 \times 100 \text{ cm} = 1200 \text{ cm} \).
- Şimdi ölçeği kullanarak çizimdeki yüksekliği bulalım. Çizimdeki yükseklik \( x \) cm olsun.
\( \frac{\text{Çizimdeki Yükseklik}}{\text{Gerçek Yükseklik}} = \frac{1}{50} \) - \( \frac{x}{1200} = \frac{1}{50} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 50 \times x = 1 \times 1200 \)
- \( 50x = 1200 \)
- \( x = \frac{1200}{50} \)
- \( x = 24 \) cm'dir.
- Yani, gerçekte 12 metre olan pencere, çizimde 24 cm olarak gösterilmelidir. 📐
Örnek 6:
Bir fotoğraf makinesinin merceğinden çıkan ışınların, nesneye ve sensöre düştüğü noktalar arasında bir benzerlik ilişkisi vardır. Bir nesnenin fotoğraf makinesine olan uzaklığı 2 metre, nesnenin gerçek boyu 1.5 metre ise ve fotoğraf makinesi sensöründe oluşan görüntünün boyu 3 cm ise, fotoğraf makinesinin mercekten sensöre olan uzaklığı (odak uzaklığı) kaç cm'dir? 📸
Çözüm:
Bu soru, Temel Benzerlik Teoremi'nin optik ve kamera sistemlerindeki bir uygulamasıdır.
- Burada, mercek bir tepe noktası gibi düşünülebilir ve mercekten çıkan ışınlar, nesne ile sensör (veya film) üzerinde benzer üçgenler oluşturur.
- Nesne ile mercek arasındaki uzaklık \( d_o = 2 \) metre \( = 200 \) cm.
- Nesnenin gerçek boyu \( h_o = 1.5 \) metre \( = 150 \) cm.
- Görüntünün boyu \( h_i = 3 \) cm.
- Mercekten sensöre olan uzaklık (odak uzaklığı) \( d_i \) olsun.
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{\text{Görüntü Boyu}}{\text{Nesne Boyu}} = \frac{\text{Mercekten Sensöre Uzaklık}}{\text{Mercekten Nesneye Uzaklık}} \)
- \( \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{3}{150} = \frac{d_i}{200} \)
- Sadeleştirme yapalım: \( \frac{1}{50} = \frac{d_i}{200} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 50 \times d_i = 1 \times 200 \)
- \( 50 d_i = 200 \)
- \( d_i = \frac{200}{50} \)
- \( d_i = 4 \) cm'dir.
- Yani, fotoğraf makinesinin mercekten sensöre olan uzaklığı 4 cm'dir. 💡
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 12 \) birim, \( |AC| = 16 \) birim ve \( |BC| = 20 \) birimdir. Bu üçgenin diklik merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki uzaklığı bulunuz. (Not: Bu soru, 9. sınıf müfredatını aşan bir konuyu içerir, ancak dik üçgenin özelliklerini ve Pisagor Teoremi'ni pekiştirmek amacıyla sorulmuştur. Diklik merkezi köşe noktasıdır.) 📌
Çözüm:
Bu soru aslında 9. sınıf müfredatını aşan bir konuyu (ağırlık merkezi) içerse de, dik üçgenin özelliklerini ve Pisagor Teoremi'ni kullanma becerisini ölçer.
- Öncelikle üçgenin dik olup olmadığını kontrol edelim. Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( |AB|^2 + |AC|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \).
- \( |BC|^2 = 20^2 = 400 \).
- \( |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \) olduğundan, üçgen dik üçgendir ve dik açı A köşesindedir.
- Diklik Merkezi: Bir dik üçgende diklik merkezi, dik açının olduğu köşedir. Dolayısıyla, diklik merkezi A noktasıdır.
- Ağırlık Merkezi (G): Üçgenin kenarortaylarının kesim noktasıdır. Ağırlık merkezi, kenarortayın üzerindedir ve köşeden kenortayın ortasına kadar olan mesafenin \( \frac{2}{3} \) 'ü, kenortayın ortasından kenara kadar olan mesafenin ise \( \frac{1}{3} \) 'üdür.
- Bu sorunun tam çözümü için ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması gerekir ki bu 9. sınıf müfredatında yer almamaktadır. Ancak, sorunun amacı dik üçgenin diklik merkezinin yerini bilmek ve Pisagor teoremini uygulamaktır.
- Eğer soru sadece diklik merkezinin yerini sorsaydı, cevap A noktası olurdu.
- Bu tür sorular, ileri sınıflarda koordinat geometrisi ile birlikte daha detaylı incelenir. ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, DE, BC'ye paraleldir. \( |AD| = 5 \) cm, \( |DB| = 3 \) cm ve \( |AE| = 10 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru Temel Benzerlik Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Teoreme göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler. Bu durumda \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
- Orantı şu şekildedir: \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{5}{3} = \frac{10}{|EC|} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 5 \times |EC| = 3 \times 10 \)
- \( 5 \times |EC| = 30 \)
- \( |EC| = \frac{30}{5} \)
- \( |EC| = 6 \) cm'dir. 👉
Örnek 9:
Bir merdiven, yere dik duran bir duvara yaslanmıştır. Merdivenin boyu 5 metre ve duvara olan uzaklığı (tabanı) 3 metredir. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu soru Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin boyu bu dik üçgenin hipotenüsüdür: \( |Hipotenüs| = 5 \) metre.
- Duvara olan uzaklık (zemin üzerindeki kenar) bir dik kenardır: \( |Dik Kenar 1| = 3 \) metre.
- Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği ise diğer dik kenardır: \( |Dik Kenar 2| = h \) olsun.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( |Dik Kenar 1|^2 + |Dik Kenar 2|^2 = |Hipotenüs|^2 \)
- \( 3^2 + h^2 = 5^2 \)
- \( 9 + h^2 = 25 \)
- \( h^2 = 25 - 9 \)
- \( h^2 = 16 \)
- \( h = \sqrt{16} \)
- \( h = 4 \) metre'dir.
- Yani, merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği 4 metredir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-temel-benzerlik-teoremi-thales-teoremi-kelebek-kurali-pisagor-teoremi-oklid-teoremi/sorular