💡 9. Sınıf Matematik: Tek nicel değişkenli veri dağılımları istatistiksel sonuçlarını tartışma Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir basketbolcunun son 5 maçta attığı sayılar \( 12, 18, 15, 20, 25 \) şeklindedir. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını hesaplayarak oyuncunun maç başına performansını yorumlayınız. 🏀
Çözüm ve Açıklama
Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Adım 2: Veri sayısına bölelim. Veri sayısı \( 5 \) olduğu için:
Aritmetik Ortalama \( = \frac{90}{5} = 18 \)
✅ Sonuç: Oyuncu maç başına ortalama \( 18 \) sayı atmıştır. Bu değer, oyuncunun genel performans düzeyini temsil eden merkezi bir ölçüdür.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir sınıftaki 7 öğrencinin boy uzunlukları santimetre cinsinden şu şekildedir: \( 150, 162, 155, 170, 155, 168, 160 \) Bu veri grubunun tepe değerini (mod) ve ortancasını (medyan) bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Verileri yorumlamak için önce küçükten büyüğe sıralamalıyız.
Sıralama: \( 150, 155, 155, 160, 162, 168, 170 \)
Tepe Değer (Mod): En çok tekrar eden veridir. Burada \( 155 \) sayısı 2 kez tekrar ettiği için Mod \( = 155 \)'tir.
Ortanca (Medyan): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki değerdir. 7 veri olduğu için 4. sıradaki değer medyandır. Medyan \( = 160 \)'tır.
✅ Özet: Bu grubun en tipik değeri \( 155 \), merkezi eğilimi ise \( 160 \) civarındadır.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki farklı şehirdeki bir haftalık sıcaklık değerlerinin açıklık (ranj) değerlerini karşılaştıralım. A Şehri: \( 20, 22, 21, 25, 24, 23, 22 \) B Şehri: \( 15, 28, 10, 30, 22, 18, 25 \) Hangi şehrin sıcaklık değerleri daha istikrarlıdır? 🌡️
Çözüm ve Açıklama
Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır ve verilerin dağılımı hakkında bilgi verir.
A Şehri Açıklığı: En büyük: \( 25 \), En küçük: \( 20 \) Açıklık \( = 25 - 20 = 5 \)
B Şehri Açıklığı: En büyük: \( 30 \), En küçük: \( 10 \) Açıklık \( = 30 - 10 = 20 \)
💡 Yorum: Açıklık değeri ne kadar küçükse veriler o kadar birbirine yakın ve istikrarlıdır. A şehrinin açıklığı (\( 5 \)), B şehrinden (\( 20 \)) daha küçük olduğu için A şehri daha istikrarlı bir hava durumuna sahiptir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir gruptaki 4 kişinin yaş ortalaması \( 25 \)'tir. Bu gruba \( 40 \) yaşında bir kişi daha katılırsa grubun yeni yaş ortalaması kaç olur? 🎂
Çözüm ve Açıklama
Ortalama ve toplam arasındaki ilişkiyi kullanarak çözüme ulaşabiliriz.
Adım 1: Mevcut grubun yaşları toplamını bulalım. Toplam \( = \text{Ortalama} \times \text{Kişi Sayısı} \) Toplam \( = 25 \times 4 = 100 \)
Adım 2: Yeni kişi eklendiğinde toplam yaşı bulalım. Yeni Toplam \( = 100 + 40 = 140 \)
Adım 3: Yeni kişi sayısına bölelim. Yeni Kişi Sayısı \( = 4 + 1 = 5 \)
Yeni Ortalama \( = \frac{140}{5} = 28 \)
✅ Sonuç: Grubun yeni yaş ortalaması \( 28 \) olmuştur.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir ayakkabı mağazası sahibi, en çok hangi numara ayakkabının satıldığını bilmek istiyor. Satılan son 10 ayakkabının numaraları: \( 38, 40, 42, 40, 39, 40, 41, 40, 43, 40 \) Bu mağaza sahibi için hangi merkezi eğilim ölçüsü daha anlamlıdır? Sebebini açıklayınız. 👟
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda mağaza sahibi için en önemli veri Tepe Değer (Mod) ölçüsüdür.
Neden? Mağaza sahibi stoklarını yönetirken en çok tercih edilen (en çok tekrar eden) numarayı bilmek zorundadır.
Hesaplama: Verilere baktığımızda \( 40 \) numaranın 5 kez tekrar ettiğini görüyoruz. Diğer numaralar ise sadece 1'er kez bulunmaktadır.
Mod: \( 40 \)
✅ Yorum: Aritmetik ortalama veya medyan, mağaza sahibine hangi numaradan daha fazla sipariş vermesi gerektiği konusunda net bir bilgi vermezken, Mod en çok satılan ürünü doğrudan gösterir.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir fabrikada üretilen vidaların boyları ölçülüyor. İki farklı makinenin üretim sonuçları şu şekildedir: A Makinesi: Ortalama boy \( 5 \) cm, Standart Sapma \( 0,02 \) B Makinesi: Ortalama boy \( 5 \) cm, Standart Sapma \( 0,15 \) Hangi makinenin üretimi daha kaliteli ve güvenilirdir? Neden? ⚙️
Çözüm ve Açıklama
Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir yayılım ölçüsüdür.
Analiz: Her iki makinenin de ortalaması aynıdır (\( 5 \) cm). Bu durumda karar vermek için standart sapmaya bakılır.
A Makinesi: Standart sapma çok küçüktür (\( 0,02 \)). Bu, vidaların boylarının birbirine ve ortalamaya çok yakın olduğunu gösterir.
B Makinesi: Standart sapma daha büyüktür (\( 0,15 \)). Bu, vidaların boyları arasında daha fazla fark olduğunu ve hatalı üretim riskinin daha yüksek olduğunu gösterir.
✅ Sonuç: Standart sapması küçük olan A makinesi daha istikrarlı ve güvenilir üretim yapmaktadır.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir veri grubunda \( 10, 12, x, 18, 20 \) sayıları bulunmaktadır. Bu veri grubunun aritmetik ortalaması \( 16 \) olduğuna göre, \( x \) değerini ve bu veri grubunun açıklığını bulunuz. 🔍
Çözüm ve Açıklama
Önce bilinmeyen \( x \) değerini bulalım, sonra açıklığı hesaplayalım.
Adım 1: Verilerin toplamını ortalama üzerinden bulalım. Toplam \( = 16 \times 5 = 80 \)
Adım 2: Bilinen sayıları toplayalım. \( 10 + 12 + 18 + 20 = 60 \)
Adım 3: \( x \) değerini bulalım. \( 60 + x = 80 \) ise \( x = 20 \) olur.
Adım 4: Açıklığı hesaplayalım. Veriler: \( 10, 12, 18, 20, 20 \) En büyük değer: \( 20 \), En küçük değer: \( 10 \)
Açıklık \( = 20 - 10 = 10 \)
✅ Sonuç: \( x = 20 \) ve veri grubunun açıklığı \( 10 \)'dur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çiftçi, iki farklı tarladan aldığı buğday verimini karşılaştırıyor. 1. Tarla: \( 400, 410, 390, 405, 395 \) (kg) 2. Tarla: \( 300, 500, 250, 550, 400 \) (kg) Her iki tarlanın aritmetik ortalaması aynı olmasına rağmen, çiftçi 1. tarlanın daha öngörülebilir olduğunu söylemektedir. Çiftçinin bu yorumunu istatistiksel olarak nasıl açıklarsınız? 🌾
Çözüm ve Açıklama
Bu durumu açıklamak için merkezi yayılım ölçülerini kullanmalıyız.
💡 İstatistiksel Açıklama: Her iki tarlanın ortalama verimi aynı olsa da, 1. tarladaki veriler ortalamaya çok daha yakın kümelenmiştir (açıklık küçüktür). 2. tarlada ise veriler arasında çok büyük farklar vardır.
✅ Sonuç: Verilerin birbirine yakın olması risk azlığı ve yüksek istikrar anlamına gelir. Bu yüzden 1. tarla daha öngörülebilirdir.
9. Sınıf Matematik: Tek nicel değişkenli veri dağılımları istatistiksel sonuçlarını tartışma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir basketbolcunun son 5 maçta attığı sayılar \( 12, 18, 15, 20, 25 \) şeklindedir. Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını hesaplayarak oyuncunun maç başına performansını yorumlayınız. 🏀
Çözüm:
Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Adım 2: Veri sayısına bölelim. Veri sayısı \( 5 \) olduğu için:
Aritmetik Ortalama \( = \frac{90}{5} = 18 \)
✅ Sonuç: Oyuncu maç başına ortalama \( 18 \) sayı atmıştır. Bu değer, oyuncunun genel performans düzeyini temsil eden merkezi bir ölçüdür.
Örnek 2:
Bir sınıftaki 7 öğrencinin boy uzunlukları santimetre cinsinden şu şekildedir: \( 150, 162, 155, 170, 155, 168, 160 \) Bu veri grubunun tepe değerini (mod) ve ortancasını (medyan) bulunuz. 📏
Çözüm:
Verileri yorumlamak için önce küçükten büyüğe sıralamalıyız.
Sıralama: \( 150, 155, 155, 160, 162, 168, 170 \)
Tepe Değer (Mod): En çok tekrar eden veridir. Burada \( 155 \) sayısı 2 kez tekrar ettiği için Mod \( = 155 \)'tir.
Ortanca (Medyan): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki değerdir. 7 veri olduğu için 4. sıradaki değer medyandır. Medyan \( = 160 \)'tır.
✅ Özet: Bu grubun en tipik değeri \( 155 \), merkezi eğilimi ise \( 160 \) civarındadır.
Örnek 3:
İki farklı şehirdeki bir haftalık sıcaklık değerlerinin açıklık (ranj) değerlerini karşılaştıralım. A Şehri: \( 20, 22, 21, 25, 24, 23, 22 \) B Şehri: \( 15, 28, 10, 30, 22, 18, 25 \) Hangi şehrin sıcaklık değerleri daha istikrarlıdır? 🌡️
Çözüm:
Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır ve verilerin dağılımı hakkında bilgi verir.
A Şehri Açıklığı: En büyük: \( 25 \), En küçük: \( 20 \) Açıklık \( = 25 - 20 = 5 \)
B Şehri Açıklığı: En büyük: \( 30 \), En küçük: \( 10 \) Açıklık \( = 30 - 10 = 20 \)
💡 Yorum: Açıklık değeri ne kadar küçükse veriler o kadar birbirine yakın ve istikrarlıdır. A şehrinin açıklığı (\( 5 \)), B şehrinden (\( 20 \)) daha küçük olduğu için A şehri daha istikrarlı bir hava durumuna sahiptir.
Örnek 4:
Bir gruptaki 4 kişinin yaş ortalaması \( 25 \)'tir. Bu gruba \( 40 \) yaşında bir kişi daha katılırsa grubun yeni yaş ortalaması kaç olur? 🎂
Çözüm:
Ortalama ve toplam arasındaki ilişkiyi kullanarak çözüme ulaşabiliriz.
Adım 1: Mevcut grubun yaşları toplamını bulalım. Toplam \( = \text{Ortalama} \times \text{Kişi Sayısı} \) Toplam \( = 25 \times 4 = 100 \)
Adım 2: Yeni kişi eklendiğinde toplam yaşı bulalım. Yeni Toplam \( = 100 + 40 = 140 \)
Adım 3: Yeni kişi sayısına bölelim. Yeni Kişi Sayısı \( = 4 + 1 = 5 \)
Yeni Ortalama \( = \frac{140}{5} = 28 \)
✅ Sonuç: Grubun yeni yaş ortalaması \( 28 \) olmuştur.
Örnek 5:
Bir ayakkabı mağazası sahibi, en çok hangi numara ayakkabının satıldığını bilmek istiyor. Satılan son 10 ayakkabının numaraları: \( 38, 40, 42, 40, 39, 40, 41, 40, 43, 40 \) Bu mağaza sahibi için hangi merkezi eğilim ölçüsü daha anlamlıdır? Sebebini açıklayınız. 👟
Çözüm:
Bu durumda mağaza sahibi için en önemli veri Tepe Değer (Mod) ölçüsüdür.
Neden? Mağaza sahibi stoklarını yönetirken en çok tercih edilen (en çok tekrar eden) numarayı bilmek zorundadır.
Hesaplama: Verilere baktığımızda \( 40 \) numaranın 5 kez tekrar ettiğini görüyoruz. Diğer numaralar ise sadece 1'er kez bulunmaktadır.
Mod: \( 40 \)
✅ Yorum: Aritmetik ortalama veya medyan, mağaza sahibine hangi numaradan daha fazla sipariş vermesi gerektiği konusunda net bir bilgi vermezken, Mod en çok satılan ürünü doğrudan gösterir.
Örnek 6:
Bir fabrikada üretilen vidaların boyları ölçülüyor. İki farklı makinenin üretim sonuçları şu şekildedir: A Makinesi: Ortalama boy \( 5 \) cm, Standart Sapma \( 0,02 \) B Makinesi: Ortalama boy \( 5 \) cm, Standart Sapma \( 0,15 \) Hangi makinenin üretimi daha kaliteli ve güvenilirdir? Neden? ⚙️
Çözüm:
Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren bir yayılım ölçüsüdür.
Analiz: Her iki makinenin de ortalaması aynıdır (\( 5 \) cm). Bu durumda karar vermek için standart sapmaya bakılır.
A Makinesi: Standart sapma çok küçüktür (\( 0,02 \)). Bu, vidaların boylarının birbirine ve ortalamaya çok yakın olduğunu gösterir.
B Makinesi: Standart sapma daha büyüktür (\( 0,15 \)). Bu, vidaların boyları arasında daha fazla fark olduğunu ve hatalı üretim riskinin daha yüksek olduğunu gösterir.
✅ Sonuç: Standart sapması küçük olan A makinesi daha istikrarlı ve güvenilir üretim yapmaktadır.
Örnek 7:
Bir veri grubunda \( 10, 12, x, 18, 20 \) sayıları bulunmaktadır. Bu veri grubunun aritmetik ortalaması \( 16 \) olduğuna göre, \( x \) değerini ve bu veri grubunun açıklığını bulunuz. 🔍
Çözüm:
Önce bilinmeyen \( x \) değerini bulalım, sonra açıklığı hesaplayalım.
Adım 1: Verilerin toplamını ortalama üzerinden bulalım. Toplam \( = 16 \times 5 = 80 \)
Adım 2: Bilinen sayıları toplayalım. \( 10 + 12 + 18 + 20 = 60 \)
Adım 3: \( x \) değerini bulalım. \( 60 + x = 80 \) ise \( x = 20 \) olur.
Adım 4: Açıklığı hesaplayalım. Veriler: \( 10, 12, 18, 20, 20 \) En büyük değer: \( 20 \), En küçük değer: \( 10 \)
Açıklık \( = 20 - 10 = 10 \)
✅ Sonuç: \( x = 20 \) ve veri grubunun açıklığı \( 10 \)'dur.
Örnek 8:
Bir çiftçi, iki farklı tarladan aldığı buğday verimini karşılaştırıyor. 1. Tarla: \( 400, 410, 390, 405, 395 \) (kg) 2. Tarla: \( 300, 500, 250, 550, 400 \) (kg) Her iki tarlanın aritmetik ortalaması aynı olmasına rağmen, çiftçi 1. tarlanın daha öngörülebilir olduğunu söylemektedir. Çiftçinin bu yorumunu istatistiksel olarak nasıl açıklarsınız? 🌾
Çözüm:
Bu durumu açıklamak için merkezi yayılım ölçülerini kullanmalıyız.
💡 İstatistiksel Açıklama: Her iki tarlanın ortalama verimi aynı olsa da, 1. tarladaki veriler ortalamaya çok daha yakın kümelenmiştir (açıklık küçüktür). 2. tarlada ise veriler arasında çok büyük farklar vardır.
✅ Sonuç: Verilerin birbirine yakın olması risk azlığı ve yüksek istikrar anlamına gelir. Bu yüzden 1. tarla daha öngörülebilirdir.