📄 9. Sınıf Matematik: Tales Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Soruda verilen d1, d2 ve d3 doğrularının birbirine paralel olması, Tales teoreminin paralel doğru versiyonunun uygulanabileceğini gösterir. Bu teorem, paralel doğruların, onları kesen doğrular üzerinde orantılı doğru parçaları ayırdığını belirtir.



Verilenlere göre:

- d1 || d2 || d3

- \( |AD| = 6 \text{ cm} \)

- \( |DG| = 9 \text{ cm} \)

- \( |BE| = 8 \text{ cm} \)



AG doğrusu, d1, d2, d3 doğrularını kesmektedir. Buna göre, bu doğrular üzerinde oluşan doğru parçaları orantılıdır:

\( \frac{|AD|}{|DG|} = \frac{|BE|}{|EH|} \)



Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

\( \frac{6}{9} = \frac{8}{|EH|} \)



Bu orantıyı çözerek |EH|'yi bulalım:

\( 6 \times |EH| = 9 \times 8 \)

\( 6 \times |EH| = 72 \)

\( |EH| = \frac{72}{6} \)

\( |EH| = 12 \text{ cm} \)



Sonuç olarak, |EH| uzunluğu 12 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Soruda, ABC üçgeninde DE'nin BC'ye paralel olduğu belirtilmiştir. Bu durum, ADE üçgeninin ABC üçgenine benzer olmasını sağlar (AA benzerliği: A açısı ortak, \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) çünkü DE || BC).



Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır. Bu nedenle:

\( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)



Verilenler:

- \( |AD| = 3 \text{ cm} \)

- \( |DB| = 6 \text{ cm} \)

- \( |BC| = 12 \text{ cm} \)



Öncelikle |AB|'yi hesaplayalım:

\( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 6 = 9 \text{ cm} \)



Şimdi benzerlik oranını kullanarak |DE|'yi bulalım:

\( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)

\( \frac{3}{9} = \frac{|DE|}{12} \)



Orantıyı sadeleştirelim:

\( \frac{1}{3} = \frac{|DE|}{12} \)



İçler dışlar çarpımı yapalım:

\( 1 \times 12 = 3 \times |DE| \)

\( 12 = 3 \times |DE| \)

\( |DE| = \frac{12}{3} \)

\( |DE| = 4 \text{ cm} \)



Sonuç olarak, |DE| uzunluğu 4 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Soruda iki dik üçgenin benzer olduğu ve dik kenar uzunlukları verilmiştir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.



Birinci dik üçgenin dik kenarları: 3 cm ve 4 cm.

İkinci dik üçgenin dik kenarları: 6 cm ve 8 cm.



Bu iki üçgenin benzerliğini kontrol edelim. Kenar uzunluklarının oranına bakalım:

\( \frac{6}{3} = 2 \)

\( \frac{8}{4} = 2 \)



Karşılıklı dik kenar uzunlukları oranı 2'dir. Bu, benzerlik oranının \( k = 2 \) olduğunu gösterir. (Eğer ikinci üçgenin kenarları birinciye oranlanırsa, benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) olur. Sonucu etkilemez.)



Benzerlik oranı \( k = 2 \) ise, alanlar oranı \( k^2 \) olur:

Alanlar Oranı = \( 2^2 = 4 \)



Bu şu anlama gelir: İkinci dik üçgenin alanı, birinci dik üçgenin alanının 4 katıdır.



Alternatif olarak, üçgenlerin alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp oranlayabiliriz:



Birinci üçgenin alanı: \( A_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}^2 \)

İkinci üçgenin alanı: \( A_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2 \)



Alanlar oranı: \( \frac{A_2}{A_1} = \frac{24}{6} = 4 \)



Sonuç olarak, bu iki benzer dik üçgenin alanları oranı 4'tür.