🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Ve Öklid Teoremlerini Kullanarak Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Ve Öklid Teoremlerini Kullanarak Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 2 cm ve AE = 6 cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz.
💡 Hatırlatma: Paralel doğrular, benzer üçgenler oluşturur.
💡 Hatırlatma: Paralel doğrular, benzer üçgenler oluşturur.
Çözüm:
- Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme
DE // BC olduğundan, Tales Teoremi'ne göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur. - Adım 2: Benzerlik Oranını Yazma
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranları eşittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] - Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyma
Verilenlere göre \( AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 \) cm ve \( AC = AE + EC = 6 + EC \) cm.
Orantıyı kullanarak:
\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{6 + EC} \] - Adım 4: EC'yi Hesaplama
İçler dışlar çarpımı yapılır:
\( 4 \times (6 + EC) = 6 \times 6 \)
\( 24 + 4 \times EC = 36 \)
\( 4 \times EC = 36 - 24 \)
\( 4 \times EC = 12 \)
\( EC = \frac{12}{4} \)
\( EC = 3 \) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden indirilen yükseklik (AH), BC kenarını H noktasında kesmektedir. AH = 6 cm, BH = 4 cm ve CH = 9 cm olarak verilmiştir.
👉 İpucu: Öklid'in yükseklik teoremini kullanabilirsiniz.
👉 İpucu: Öklid'in yükseklik teoremini kullanabilirsiniz.
Çözüm:
- Adım 1: Öklid Teoremini Anlama
Öklid'in yükseklik teoremi, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalarla ilişkisini açıklar. Teorem şöyledir:
\[ AH^2 = BH \times CH \] - Adım 2: Teoremi Uygulama
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\( AH = 6 \) cm, \( BH = 4 \) cm, \( CH = 9 \) cm.
\[ 6^2 = 4 \times 9 \] - Adım 3: Doğruluğu Kontrol Etme
Hesaplamayı yapalım:
\( 36 = 36 \)
Bu eşitlik doğrudur. - Adım 4: Üçgenin Kenarlarını Hesaplama (Ek Bilgi)
Bu teorem, üçgenin dik olup olmadığını veya kenar uzunluklarını dolaylı olarak anlamamıza yardımcı olur. Örneğin, AB kenarını bulmak için Pisagor teoremi (\( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)) veya Öklid'in kenar teoremi kullanılabilir.
\( AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \Rightarrow AB = \sqrt{52} \) cm.
\( AC^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \Rightarrow AC = \sqrt{117} \) cm.
Örnek 3:
Bir mimar, bir parkta bulunan ve birbirine paralel iki direk arasına bir köprü tasarlamaktadır. Köprünün bir ucunun direğe olan mesafesi 5 metre, diğer ucunun diğer direğe olan mesafesi 8 metredir. Köprünün direklerle oluşturduğu üçgenin benzerliği kullanılarak, köprünün direkler arasındaki gerçek mesafeye oranı sorulmaktadır. Eğer köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metre ise, büyük üçgenin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
- Adım 1: Problemi Görselleştirme
Paralel iki direk ve aralarındaki köprü, benzer üçgenler oluşturur. Küçük üçgen, köprünün bir ucundan direğe uzanan parçalarla ve bu direğe inen yükseklikle oluşur. Büyük üçgen ise, köprünün tamamı ve direkler arasındaki gerçek mesafeyle oluşur. - Adım 2: Benzerlik Oranını Belirleme
Probleme göre, köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metredir. Bu, küçük üçgenin bir kenarının 4 metre olduğunu gösterir.
Soruda köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metre ise denilmektedir. Bu, benzerlik oranı için bize bir ipucu verir.
Eğer köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metre ise, bu küçük üçgenin bir özelliğini temsil eder. Sorunun devamında, köprünün direkler arasındaki gerçek mesafeye oranı soruluyor. Bu, iki benzer üçgenin oranını bulmamız gerektiğini gösterir. - Adım 3: Benzerlik Oranını Hesaplama
Soruda verilen "küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metre ise" ifadesi, benzerlik oranı için bir temel oluşturur. Ancak, bu bilgilerin doğrudan benzerlik oranı olup olmadığı net değil. Sorunun asıl amacı, köprünün direklerle oluşturduğu benzer üçgenlerin oranını bulmaktır.
Eğer köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise ve bu yüksekliğin indiği kenar 4 metre ise, bu oran bize benzerlik oranı hakkında bir fikir verebilir. Ancak, daha net bir benzerlik oranı için, köprünün direğe olan mesafesi (5 metre) ve diğer direğe olan mesafesi (8 metre) kullanılmalıdır. Bu mesafeler, benzer üçgenlerin kenarlarını temsil eder. - Adım 4: Gerçek Mesafeyi Bulma
Köprünün direklerle oluşturduğu küçük üçgenin bir kenarı 5 metre ve büyük üçgenin karşılık gelen kenarı (köprünün tamamı) 8 metredir. Bu durumda benzerlik oranı \( k = \frac{5}{8} \) olur. Bu oran, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin kenarlarına oranını verir.
Eğer küçük üçgenin yüksekliği 3 metre ise, büyük üçgenin yüksekliği \( H_{büyük} \) şu şekilde bulunur:
\[ \frac{3}{H_{büyük}} = \frac{5}{8} \]
\( 5 \times H_{büyük} = 3 \times 8 \)
\( 5 \times H_{büyük} = 24 \)
\( H_{büyük} = \frac{24}{5} = 4.8 \) metre. - Adım 5: Köprünün Direkler Arasındaki Gerçek Mesafeye Oranı
Soruda "köprünün direklerle oluşturduğu benzer üçgenlerin oranını bulmak" isteniyor. Bu oran, küçük üçgenin bir kenarının büyük üçgenin karşılık gelen kenarına oranıdır. Bu oran \( \frac{5}{8} \) olarak zaten belirlenmiştir.
Örnek 4:
Bir fotoğrafçı, bir binanın fotoğrafını çekerken, kameranın merceğinde oluşan görüntünün binanın gerçek boyutuna oranını anlamak için benzerlik kullanır. Eğer kameranın merceğinde oluşan binanın görüntüsünün yüksekliği 5 cm ve gerçek binanın yüksekliği 50 metre ise, kameranın merceğindeki binanın genişliği 3 cm olarak ölçülmüştür. Bu durumda, gerçek binanın genişliği kaç metredir?
Çözüm:
- Adım 1: Problemi Anlama
Bu durum, kameranın merceğindeki görüntü ile gerçek nesne arasında bir benzerlik ilişkisi olduğunu gösterir. Küçük üçgen (mercek görüntüsü) ile büyük üçgen (gerçek bina) benzerdir. - Adım 2: Birimleri Eşitleme
Hesaplama yapmadan önce birimleri eşitlemek önemlidir. Gerçek binanın yüksekliği 50 metre, görüntünün yüksekliği ise 5 cm'dir. Bu durumda, 50 metreyi santimetreye çevirelim: \( 50 \text{ m} \times 100 \text{ cm/m} = 5000 \) cm. - Adım 3: Benzerlik Oranını Hesaplama
Benzerlik oranı, mercek görüntüsünün yüksekliğinin gerçek binanın yüksekliğine oranıdır:
\[ k = \frac{\text{Görüntü Yüksekliği}}{\text{Gerçek Yükseklik}} = \frac{5 \text{ cm}}{5000 \text{ cm}} = \frac{1}{1000} \] - Adım 4: Gerçek Genişliği Hesaplama
Benzerlik oranı aynı zamanda mercek görüntüsünün genişliğinin gerçek binanın genişliğine oranıdır:
\[ k = \frac{\text{Görüntü Genişliği}}{\text{Gerçek Genişlik}} \]
\( \frac{1}{1000} = \frac{3 \text{ cm}}{\text{Gerçek Genişlik}} \)
İçler dışlar çarpımı yapılır:
\[ \text{Gerçek Genişlik} = 3 \text{ cm} \times 1000 = 3000 \text{ cm} \] - Adım 5: Birimi Metreye Çevirme
Bulunan gerçek genişliği metreye çevirelim:
\[ \text{Gerçek Genişlik} = \frac{3000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 30 \text{ m} \]
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası alınmıştır. DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = x cm, DB = 3 cm, AE = x+1 cm ve EC = 4 cm olarak verilmiştir. Buna göre, x değerini bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Tales Teoremini Hatırlama
DE // BC olduğunda, Tales Teoremi'ne göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur ve kenar oranları eşittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] - Adım 2: Kenar Uzunluklarını Belirleme
\( AB = AD + DB = x + 3 \) cm
\( AC = AE + EC = (x+1) + 4 = x + 5 \) cm - Adım 3: Orantıyı Kurma
Verilen değerleri ve hesaplanan kenar uzunluklarını orantıya yerleştirelim:
\[ \frac{x}{x+3} = \frac{x+1}{x+5} \] - Adım 4: Denklemi Çözme
İçler dışlar çarpımı yapılır:
\( x \times (x+5) = (x+3) \times (x+1) \)
\( x^2 + 5x = x^2 + x + 3x + 3 \)
\( x^2 + 5x = x^2 + 4x + 3 \)
Her iki taraftan \( x^2 \) çıkarılır:
\( 5x = 4x + 3 \)
\( 5x - 4x = 3 \)
\( x = 3 \) cm
Örnek 6:
Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse bir yükseklik çizilmiştir. Bu yükseklik hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğunda iki parçaya ayırmıştır. Bu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Öklid'in Yükseklik Teoremini Kullanma
Dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:
\[ h^2 = p \times q \]
Burada \( h \) yükseklik, \( p \) ve \( q \) hipotenüsün ayırdığı parçalardır. - Adım 2: Yüksekliği Hesaplama
Verilenlere göre \( p = 4 \) cm ve \( q = 9 \) cm.
\[ h^2 = 4 \times 9 \]
\[ h^2 = 36 \]
\[ h = \sqrt{36} = 6 \] cm. - Adım 3: Öklid'in Kenar Teoremlerini Kullanma
Dik kenarların kareleri, hipotenüsün kendisi ile bu kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.
Bir dik kenar (a) için:
\[ a^2 = p \times (p+q) \]
Diğer dik kenar (b) için:
\[ b^2 = q \times (p+q) \] - Adım 4: Dik Kenarları Hesaplama
Hipotenüsün tamamı \( p+q = 4 + 9 = 13 \) cm'dir.
Bir dik kenar \( a \):
\[ a^2 = 4 \times 13 = 52 \]
\[ a = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \] cm.
Diğer dik kenar \( b \):
\[ b^2 = 9 \times 13 = 117 \]
\[ b = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} \] cm.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki kuş uçuşu mesafesi 10 cm olarak ölçülmüştür. Haritanın ölçeği 1:500.000'dir. Bu, haritada 1 cm'nin gerçekte 500.000 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir. İki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Ölçeği Anlama
Harita ölçeği, haritadaki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir. Burada 1:500.000 ölçeği, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 500.000 cm olduğunu belirtir. - Adım 2: Gerçek Mesafeyi Hesaplama (cm Cinsinden)
Haritada ölçülen mesafe 10 cm'dir. Gerçek mesafeyi bulmak için bu değeri ölçek ile çarparız:
\[ \text{Gerçek Mesafe (cm)} = \text{Harita Mesafesi} \times \text{Ölçek Paydası} \]
\[ \text{Gerçek Mesafe (cm)} = 10 \text{ cm} \times 500.000 = 5.000.000 \text{ cm} \] - Adım 3: Birimi Metreye Çevirme
Hesaplanan mesafeyi metreye çevirmek için 100'e böleriz:
\[ \text{Gerçek Mesafe (m)} = \frac{5.000.000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 50.000 \text{ m} \] - Adım 4: Birimi Kilometreye Çevirme
Son olarak, mesafeyi kilometreye çevirmek için 1000'e böleriz:
\[ \text{Gerçek Mesafe (km)} = \frac{50.000 \text{ m}}{1000 \text{ m/km}} = 50 \text{ km} \]
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer \( \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} \) ve \( AE = 4 \) cm ise, EC kaç cm'dir?
Çözüm:
- Adım 1: Tales Teoremini Uygulama
DE // BC olduğundan, Tales Teoremi'ne göre kenarlar orantılıdır:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - Adım 2: Verilen Değerleri Yerine Koyma
Soruda \( \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} \) ve \( AE = 4 \) cm olarak verilmiştir. Bu değerleri orantıya yerleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{4}{EC} \] - Adım 3: EC'yi Hesaplama
İçler dışlar çarpımı yapılır:
\( 2 \times EC = 3 \times 4 \)
\( 2 \times EC = 12 \)
\( EC = \frac{12}{2} \)
\( EC = 6 \) cm
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kesmektedir. AB = 10 cm, AC = 15 cm ve BC = 12 cm'dir. Buna göre, BD ve DC uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
- Adım 1: Açıortay Teoremini Hatırlama
Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı, açıortayın değdiği kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, ABC üçgeninde AD açıortay ise:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \] - Adım 2: Oranı Kurma
Verilen kenar uzunluklarını kullanarak oranı yazalım:
\[ \frac{10}{15} = \frac{BD}{DC} \]
Bu oranı sadeleştirirsek:
\[ \frac{2}{3} = \frac{BD}{DC} \] - Adım 3: BD ve DC'yi Hesaplama
BD ve DC'nin toplamı BC kenar uzunluğuna eşittir: \( BD + DC = 12 \) cm.
\( \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} \) oranından \( BD = \frac{2}{3} DC \) elde ederiz.
Bu ifadeyi \( BD + DC = 12 \) denkleminde yerine koyalım:
\( \frac{2}{3} DC + DC = 12 \)
Paydaları eşitleyelim:
\( \frac{2}{3} DC + \frac{3}{3} DC = 12 \)
\( \frac{5}{3} DC = 12 \)
\( DC = 12 \times \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \) cm. - Adım 4: BD'yi Hesaplama
Şimdi BD'yi bulabiliriz:
\( BD = 12 - DC = 12 - 7.2 = 4.8 \) cm.
Alternatif olarak, \( BD = \frac{2}{3} DC = \frac{2}{3} \times 7.2 = 2 \times 2.4 = 4.8 \) cm.
Örnek 10:
Bir gözetleme kulesinden, yere dik duran bir ağacın tepesi ve kökü gözlemlenmektedir. Kuledeki gözlemcinin ağacın tepesine olan uzaklığı 25 metre, ağacın köküne olan uzaklığı ise 15 metredir. Gözlemcinin bulunduğu noktanın yerden yüksekliği 20 metredir. Ağacın gerçek yüksekliğini, benzerlik kullanarak hesaplayınız.
Çözüm:
- Adım 1: Problemi Görselleştirme
Bu problemde, gözlemcinin bulunduğu nokta, ağacın tepesi ve kökü ile birlikte iki benzer dik üçgen oluşturur. Küçük üçgen, gözlemcinin yerden yüksekliği ve gözlemcinin köke olan uzaklığı ile oluşur. Büyük üçgen ise, gözlemcinin bulunduğu noktanın ağacın tepesine olan uzaklığı ve ağacın gerçek yüksekliği ile oluşur. - Adım 2: Benzer Üçgenleri Belirleme
Gözlemcinin bulunduğu noktadan yere paralel bir çizgi çizelim. Bu çizgi, ağacı iki parçaya ayırır. Küçük dik üçgen, gözlemcinin yerden yüksekliği (20 m) ve gözlemcinin köke olan uzaklığı (15 m) ile oluşur. Büyük dik üçgen, gözlemcinin bulunduğu noktanın ağacın tepesine olan uzaklığı (25 m) ve ağacın tepesinin gözlemcinin bulunduğu noktaya olan dikey uzaklığı ile oluşur. - Adım 3: Benzerlik Oranını Kurma
Küçük üçgenin dik kenarı 20 m (gözlemcinin yüksekliği) ve hipotenüsü 15 m (gözlemcinin köke uzaklığı) olarak verilmiş. Ancak bu hipotenüs değil, yatay uzaklıktır. Soruda "ağacın köküne olan uzaklığı ise 15 metredir" ifadesi, gözlemcinin kulenin tabanından ağacın köküne olan yatay uzaklığını ifade eder. Benzerlik için hipotenüsler değil, karşılıklı kenarların oranlanması gerekir. Bu durumda, gözlemcinin bulunduğu noktanın ağacın tepesine olan uzaklığı (25 m) ve ağacın köküne olan uzaklığı (15 m) ile benzerlik kurmalıyız. - Adım 4: Doğru Benzerlik İlişkisini Kurma
Gözlemcinin bulunduğu nokta (K), ağacın tepesi (T) ve ağacın kökü (A) ile bir üçgen oluşur. Gözlemcinin bulunduğu noktadan yere paralel çizilen çizgi, ağacı böler. Gözlemcinin yerden yüksekliği 20 m'dir. Ağacın köküne olan yatay uzaklık 15 m'dir. Ağacın tepesine olan uzaklık 25 m'dir. Bu durumda, gözlemcinin bulunduğu nokta ile ağacın tepesi arasındaki dikey uzaklık (ağacın gerçek yüksekliğinin bir kısmı) ve gözlemcinin bulunduğu nokta ile ağacın kökü arasındaki dikey uzaklık (ağacın gerçek yüksekliğinin diğer kısmı) arasında bir oran kurulmalıdır. - Adım 5: Ağacın Yüksekliğini Hesaplama
Bu problemde, gözlemcinin konumu ve ağaca olan uzaklıkları, benzer üçgenler oluşturur. Gözlemcinin bulunduğu nokta ile ağacın kökü arasındaki yatay uzaklık 15 m, gözlemcinin bulunduğu nokta ile ağacın tepesi arasındaki yatay uzaklık 25 m'dir. Bu, benzerlik oranını \( \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \) olarak verir. Bu oran, gözlemcinin yüksekliğinin (20 m) ağacın gerçek yüksekliğine oranına eşittir. Ancak, bu durum gözlemcinin tam olarak ağacın hizasında olmadığını varsayar. Problemin metni, gözlemcinin bulunduğu noktanın ağacın tepesi ve kökü ile oluşturduğu üçgenlerin benzerliğini ima eder. - Adım 6: Farklı Bir Yaklaşım (Öklid Benzerliği)
Bu tür problemler genellikle Öklid'in benzerlik teoremleriyle çözülür. Gözlemcinin bulunduğu noktadan ağaca doğru çizilen çizgiler ve ağacın kendisi, benzer üçgenler oluşturur. Gözlemcinin yüksekliği (20 m) ile ağacın tepesine olan uzaklığı (25 m) ve ağacın köküne olan uzaklığı (15 m) arasındaki ilişkiyi kurmalıyız. - Adım 7: Doğru Çözüm Yolu
Gözlemcinin bulunduğu noktayı O, ağacın tepesini T, ağacın kökünü A, gözlemcinin yerden yüksekliğini h_g = 20 m, gözlemcinin ağacın köküne olan yatay uzaklığını d_k = 15 m ve gözlemcinin ağacın tepesine olan yatay uzaklığını d_t = 25 m olarak kabul edelim. Ağacın gerçek yüksekliği H olsun.
Burada, gözlemcinin bulunduğu noktadan geçen ve yere paralel olan çizgi ile ağacın kendisi arasında benzer üçgenler oluşur. Küçük üçgenin dikey kenarı (gözlemcinin yüksekliği) 20 m'dir. Bu üçgenin yatay kenarı (gözlemcinin ağacın köküne olan uzaklığı) 15 m'dir. Ancak bu, benzerlik için doğru kenarlar değildir. - Adım 8: Doğru Benzerlik Kurulumu
Problemi daha net görselleştirelim: Gözlemci, bir noktada (K). Ağaç, yere dik (TA, T tepe, A kök). Gözlemcinin K noktasından T'ye uzaklığı 25 m, K noktasından A'ya uzaklığı 15 m. Gözlemcinin bulunduğu K noktasının yere yüksekliği 20 m. Gözlemcinin bulunduğu yerden ağaca paralel bir çizgi çizersek, bu çizginin ağacı kestiği noktayı P olarak adlandıralım. O zaman KPA ve KTA benzer üçgenler olur. KT = 25 m, KA = 15 m. KP = H - 20 (Ağacın gözlemcinin üzerindeki kısmı). PA = 20 m (Gözlemcinin yüksekliği).
Benzerlik oranı: \( \frac{KP}{KT} = \frac{PA}{KA} \)
\( \frac{H-20}{25} = \frac{20}{15} \)
\( \frac{H-20}{25} = \frac{4}{3} \)
\( 3(H-20) = 4 \times 25 \)
\( 3H - 60 = 100 \)
\( 3H = 160 \)
\( H = \frac{160}{3} \) m.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-ve-oklid-teoremlerini-kullanarak-ucgen-benzerligi/sorular