📄 9. Sınıf Matematik: Tales ve öklid teoremleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Soruda verilenlere göre, DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. Bu durum Tales teoreminin bir uygulamasıdır. Tales teoremine göre, paralel doğrular tarafından kesilen doğrularda oluşan doğru parçaları orantılıdır. \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\) ilişkisi geçerlidir.

Öncelikle AB kenarının tamamını bulalım: |AB| = |AD| + |DB| = 6 cm + 4 cm = 10 cm.

Şimdi Tales teoreminin ilgili kısmını kullanarak |AE|'yi bulabiliriz:
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
Bu oran yerine verilen değerleri koyalım:
\(\frac{6}{10} = \frac{AE}{AC}\)
Bu denklemden |AE|'yi yalnız bırakamayız çünkü |AC| bilinmiyor. Ancak, tales teoreminin başka bir formu da vardır: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\). Bu formülü kullanmak için |DB| ve |EC|'ye ihtiyacımız var. Bizim elimizde |BC| var.

Tales teoreminin \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\) kısmını kullanarak |DE|'yi bulabiliriz ama bu bize |AE|'yi vermez.

Doğru ilişki şudur: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\) ve \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\) .

Bizim bildiğimiz oranlar: |AD|=6, |DB|=4, |BC|=10.

Orantıyı kuralım: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(AB = AD + DB = 6 + 4 = 10\)
\(\frac{6}{10} = \frac{AE}{AC}\)
Bu bize \(AE = \frac{6}{10} AC\) ilişkisini verir.

Ancak soruda |AE| isteniyor ve |AC| verilmemiş. Burada bir hata olmalı. Soruda |AE| yerine |DE| mi sorulmalıydı? Eğer |DE| sorulsaydı:
\(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{DE}{10}\)
\(DE = \frac{6 \times 10}{10} = 6\) cm olurdu.

Eğer soruda verilenler doğruysa ve |AE| soruluyorsa, |AC|'nin bilinmesi gerekir.

Varsayalım ki soruda aslında |AE| yerine |DE| sorulmuş. O zaman cevap 6 cm'dir.

Eğer soruda |AC| verilmiş olsaydı (örneğin |AC|=15 cm), o zaman |AE| = \(\frac{6}{10} \times 15 = 9\) cm olurdu.

Sorunun orijinal haliyle |AE| bulunamaz. Eğer |DE| sorulsaydı cevap 6 cm olurdu.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen dik üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. En uzun kenar olan 10 cm, hipotenüstür (c = 10 cm). Dik kenarlar ise a = 6 cm ve b = 8 cm'dir.

Öklid'in dik kenar teoremlerini kullanarak hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaları (p ve q) bulabiliriz:
\(a^2 = p \times c\)
\(6^2 = p \times 10\)
\(36 = 10p\)
\(p = \frac{36}{10} = 3.6\) cm

\(b^2 = q \times c\)
\(8^2 = q \times 10\)
\(64 = 10q\)
\(q = \frac{64}{10} = 6.4\) cm

Kontrol edelim: p + q = 3.6 + 6.4 = 10 cm. Bu hipotenüsün uzunluğuna eşittir, dolayısıyla doğru hesaplanmıştır.

Şimdi Öklid'in yükseklik teoremini kullanarak yüksekliğin (h) uzunluğunu bulabiliriz:
\(h^2 = p \times q\)
\(h^2 = 3.6 \times 6.4\)
\(h^2 = 23.04\)
\(h = \sqrt{23.04}\)
\(h = 4.8\) cm

Alternatif olarak, dik üçgenin alan formülünü kullanarak da yüksekliği bulabiliriz. Alan = \(\frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) cm². Aynı zamanda Alan = \(\frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times h = 5h\) .

\(5h = 24\)
\(h = \frac{24}{5} = 4.8\) cm

Sonuç olarak, yükseklik 4.8 cm'dir ve hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalar 3.6 cm ve 6.4 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifadeleri tek tek inceleyelim:

I. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, alanlarının oranının kareköküne eşittir.
Bu ifade Yanlış'tır. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, benzerlik oranına (k) eşittir. Alanlarının oranı ise benzerlik oranının karesine (k²) eşittir. Bu durumda, alanlarının oranının karekökü (\(\sqrt{k^2} = k\)) çevrelerinin oranına eşittir. Yani ifade tam tersi şekilde doğru olmalıydı.

II. Tales teoremi, paralelkenar oluşumuyla doğrudan ilgilidir.
Bu ifade Yanlış'tır. Tales teoremi, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğrunun diğer kenarları kestiği doğru parçaları arasındaki orantıyı inceler. Paralelkenar oluşumu için iki çift paralel kenara ihtiyaç vardır ve bu teoremle doğrudan bir ilişkisi yoktur, ancak paralel doğrular geometrisinin bir parçasıdır.

III. Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, alanı iki eşit parçaya böler.
Bu ifade genel olarak Yanlış'tır. Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, üçgeni iki daha küçük dik üçgene ayırır. Bu iki küçük üçgenin alanları, orijinal üçgenin alanından daha küçüktür ve genellikle birbirine eşit değildir. Yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları eşit olmadıkça (ki bu ikizkenar dik üçgen durumunda olur), alanlar da eşit olmaz. Yükseklik, alanı iki eşit parçaya bölmez.