💡 9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Soruları Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası, AC kenarı üzerinde E noktası alınmıştır. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. AD = 3 birim, DB = 6 birim ve AE = 2 birim olduğuna göre, EC kaç birimdir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
Birbirine paralel olan \( d_1, d_2, d_3 \) doğruları, k ve l gibi iki kesen doğru ile kesişmektedir. k doğrusu, \( d_1, d_2, d_3 \) doğrularını sırasıyla A, B, C noktalarında; l doğrusu ise D, E, F noktalarında kesmektedir. AB = 4 cm, BC = 6 cm ve DE = 5 cm olduğuna göre, EF kaç cm'dir?
Çözüm ve Açıklama
📌 Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların bir kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranı, diğer kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranına eşittir.
Bu durumda, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
\( AB = 4 \) cm
\( BC = 6 \) cm
\( DE = 5 \) cm
\( EF = x \) cm (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
Bir KLM üçgeninde, KL kenarı üzerinde P noktası, KM kenarı üzerinde R noktası bulunmaktadır. PR doğru parçası LM kenarına paraleldir. KP = \( x+2 \) birim, PL = \( 2x-1 \) birim, KR = 6 birim ve RM = 9 birim olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Yine Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı böler.
Bu durumda, \( \frac{KP}{PL} = \frac{KR}{RM} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları yerine yazalım:
ABCD bir yamuktur. AB kenarı CD kenarına paraleldir. AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişmektedir. AE = 4 cm, EC = 8 cm ve DE = 6 cm olduğuna göre, EB kaç cm'dir?
Çözüm ve Açıklama
📌 AB // CD olduğu için, Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzer üçgenler oluşur.
Burada \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
Neden benzerdir?
\( \angle BAE = \angle DCE \) (İç ters açılar)
\( \angle ABE = \angle CDE \) (İç ters açılar)
\( \angle AEB = \angle CED \) (Ters açılar)
Bu durumda, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 2x = 1 \times 6 \]
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]
✅ Sonuç olarak, EB uzunluğu 3 cm'dir.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. Ayrıca, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde F noktası alınmıştır. DF doğru parçası BC'ye paralel değildir ancak AD üzerinde bir nokta ve AC üzerinde bir nokta olarak düşünün. Yanlış açıklama. Yeniden düzenlenmiş metin:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. AB kenarı üzerindeki D noktasından AC kenarı üzerindeki F noktasına kadar çizilen DF doğru parçası, BC kenarına paralel değildir. Ancak A noktasından başlayan bir AF doğru parçası, BC kenarına paralel olan DE doğru parçası üzerinde bir G noktasında kesişmektedir.
Düzeltilmiş Soru Metni: Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. Ayrıca, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir F noktası bulunmaktadır. DF doğru parçası BC'ye paralel değildir. A noktasından çıkan bir AF doğru parçası, BC kenarı üzerindeki G noktası ile birleştirilmiştir. Eğer DE // BC ve AF // BG ise, AD = 4 birim, DB = 6 birim ve AG = 15 birim olduğuna göre, GF kaç birimdir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bu soruda iki farklı paralellik durumu var, bu yüzden iki kez Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibini uygulayacağız.
Adım 1: \( AF // BG \) paralelliğini inceleyelim.
A noktasından çıkan iki kesen (AB ve AG), paralel doğrular (AF ve BG) tarafından kesilmiştir. Bu durumda, \( \triangle ADF \) ve \( \triangle ABG \) üçgenleri benzerdir.
Benzerlikten dolayı kenar oranları eşittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AG} \]
Verilen değerleri yazalım:
\( AD = 4 \) birim
\( DB = 6 \) birim
Bu durumda \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) birimdir.
\( AG = 15 \) birim
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{10} = \frac{AF}{15} \]
AF uzunluğunu bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 10 \times AF = 4 \times 15 \]
\[ 10 \times AF = 60 \]
\[ AF = \frac{60}{10} \]
\[ AF = 6 \] birim.
Adım 2: Şimdi bizden istenen GF uzunluğunu bulalım.
F noktası AG doğru parçası üzerindedir. Bu durumda, \( AG = AF + FG \) bağıntısı geçerlidir.
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki bir direğin gölge boyu 2.4 metredir. Aynı anda, direğin yanındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir. Direk ve ağacın yere dik olduğu varsayıldığına göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
👉 Bu tür gölge problemleri, Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibiyle çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, direk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında benzer dik üçgenler oluşur.
Bir duvara dayalı duran bir merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıktadır. Merdivenin orta noktasından duvara dik olarak yere doğru bir destek konulmuştur. Bu desteğin uzunluğu 2.5 metre olduğuna göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bu problemi bir dik üçgen ve Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan orta taban kavramı ile çözebiliriz.
Merdivenin duvara dayalı olduğu noktaya A, yerle birleştiği noktaya B, duvarın yere değdiği noktaya C diyelim. Bu durumda \( \triangle ABC \) bir dik üçgen olur ve C açısı 90 derecedir. Merdiven hipotenüs AB kenarıdır.
Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta olduğu için \( BC = 3 \) metredir.
Merdivenin orta noktası M olsun. M noktasından yere dik olarak konulan destek (MK), AC kenarına paraleldir.
M, AB'nin orta noktası olduğu için, \( BM = MA \). Bu durumda, \( \triangle BMK \) ve \( \triangle BCA \) üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{BM}{BA} = \frac{1}{2} \) olur.
Benzerlikten dolayı, kenar oranları eşittir:
\[ \frac{MK}{AC} = \frac{1}{2} \]
Desteğin uzunluğu \( MK = 2.5 \) metre olarak verilmiştir. AC'yi bulmak için bu oranı kullanalım:
\[ \frac{2.5}{AC} = \frac{1}{2} \]
\[ AC = 2.5 \times 2 \]
\[ AC = 5 \] metre.
Şimdi büyük dik üçgenin ( \( \triangle ABC \) ) kenarları belli:
\( BC = 3 \) metre (duvardan uzaklık)
\( AC = 5 \) metre (duvarın merdivenin değdiği yere kadar olan yükseklik)
Merdivenin uzunluğu (AB) hipotenüstür. Pisagor Teoremi'ni kullanarak AB'yi bulalım:
Bir inşaat projesinde, üç katlı bir binanın temelinde, birbirine paralel üç beton duvar (d1, d2, d3) inşa edilmiştir. Bu duvarları desteklemek amacıyla iki farklı açıyla iki çelik kiriş (k ve l) yerleştiriliyor. Kiriş k, duvarları sırasıyla A, B ve C noktalarında; kiriş l ise D, E ve F noktalarında kesmektedir. Mühendis ölçümlerinde AB uzunluğunu 12 metre, BC uzunluğunu 18 metre ve DE uzunluğunu 10 metre olarak belirlemiştir. Bu bilgilere göre, EF uzunluğu kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bu durum, Tales Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. Paralel doğruların (duvarların) iki kesen (kirişlerin) üzerinde ayırdığı parçaların oranları birbirine eşittir.
✅ Buna göre, EF uzunluğu 15 metredir. Bu sayede mühendis, diğer kirişin uzunluğunu kolayca hesaplayabilir.
9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası, AC kenarı üzerinde E noktası alınmıştır. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. AD = 3 birim, DB = 6 birim ve AE = 2 birim olduğuna göre, EC kaç birimdir?
Çözüm:
💡 Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
Birbirine paralel olan \( d_1, d_2, d_3 \) doğruları, k ve l gibi iki kesen doğru ile kesişmektedir. k doğrusu, \( d_1, d_2, d_3 \) doğrularını sırasıyla A, B, C noktalarında; l doğrusu ise D, E, F noktalarında kesmektedir. AB = 4 cm, BC = 6 cm ve DE = 5 cm olduğuna göre, EF kaç cm'dir?
Çözüm:
📌 Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların bir kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranı, diğer kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranına eşittir.
Bu durumda, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
\( AB = 4 \) cm
\( BC = 6 \) cm
\( DE = 5 \) cm
\( EF = x \) cm (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]
Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
Bir KLM üçgeninde, KL kenarı üzerinde P noktası, KM kenarı üzerinde R noktası bulunmaktadır. PR doğru parçası LM kenarına paraleldir. KP = \( x+2 \) birim, PL = \( 2x-1 \) birim, KR = 6 birim ve RM = 9 birim olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Yine Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı böler.
Bu durumda, \( \frac{KP}{PL} = \frac{KR}{RM} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları yerine yazalım:
ABCD bir yamuktur. AB kenarı CD kenarına paraleldir. AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişmektedir. AE = 4 cm, EC = 8 cm ve DE = 6 cm olduğuna göre, EB kaç cm'dir?
Çözüm:
📌 AB // CD olduğu için, Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzer üçgenler oluşur.
Burada \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
Neden benzerdir?
\( \angle BAE = \angle DCE \) (İç ters açılar)
\( \angle ABE = \angle CDE \) (İç ters açılar)
\( \angle AEB = \angle CED \) (Ters açılar)
Bu durumda, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 2x = 1 \times 6 \]
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]
✅ Sonuç olarak, EB uzunluğu 3 cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. Ayrıca, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde F noktası alınmıştır. DF doğru parçası BC'ye paralel değildir ancak AD üzerinde bir nokta ve AC üzerinde bir nokta olarak düşünün. Yanlış açıklama. Yeniden düzenlenmiş metin:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. AB kenarı üzerindeki D noktasından AC kenarı üzerindeki F noktasına kadar çizilen DF doğru parçası, BC kenarına paralel değildir. Ancak A noktasından başlayan bir AF doğru parçası, BC kenarına paralel olan DE doğru parçası üzerinde bir G noktasında kesişmektedir.
Düzeltilmiş Soru Metni: Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. Ayrıca, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir F noktası bulunmaktadır. DF doğru parçası BC'ye paralel değildir. A noktasından çıkan bir AF doğru parçası, BC kenarı üzerindeki G noktası ile birleştirilmiştir. Eğer DE // BC ve AF // BG ise, AD = 4 birim, DB = 6 birim ve AG = 15 birim olduğuna göre, GF kaç birimdir?
Çözüm:
💡 Bu soruda iki farklı paralellik durumu var, bu yüzden iki kez Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibini uygulayacağız.
Adım 1: \( AF // BG \) paralelliğini inceleyelim.
A noktasından çıkan iki kesen (AB ve AG), paralel doğrular (AF ve BG) tarafından kesilmiştir. Bu durumda, \( \triangle ADF \) ve \( \triangle ABG \) üçgenleri benzerdir.
Benzerlikten dolayı kenar oranları eşittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AG} \]
Verilen değerleri yazalım:
\( AD = 4 \) birim
\( DB = 6 \) birim
Bu durumda \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) birimdir.
\( AG = 15 \) birim
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{10} = \frac{AF}{15} \]
AF uzunluğunu bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 10 \times AF = 4 \times 15 \]
\[ 10 \times AF = 60 \]
\[ AF = \frac{60}{10} \]
\[ AF = 6 \] birim.
Adım 2: Şimdi bizden istenen GF uzunluğunu bulalım.
F noktası AG doğru parçası üzerindedir. Bu durumda, \( AG = AF + FG \) bağıntısı geçerlidir.
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki bir direğin gölge boyu 2.4 metredir. Aynı anda, direğin yanındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir. Direk ve ağacın yere dik olduğu varsayıldığına göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
👉 Bu tür gölge problemleri, Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibiyle çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, direk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında benzer dik üçgenler oluşur.
Bir duvara dayalı duran bir merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıktadır. Merdivenin orta noktasından duvara dik olarak yere doğru bir destek konulmuştur. Bu desteğin uzunluğu 2.5 metre olduğuna göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
💡 Bu problemi bir dik üçgen ve Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan orta taban kavramı ile çözebiliriz.
Merdivenin duvara dayalı olduğu noktaya A, yerle birleştiği noktaya B, duvarın yere değdiği noktaya C diyelim. Bu durumda \( \triangle ABC \) bir dik üçgen olur ve C açısı 90 derecedir. Merdiven hipotenüs AB kenarıdır.
Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta olduğu için \( BC = 3 \) metredir.
Merdivenin orta noktası M olsun. M noktasından yere dik olarak konulan destek (MK), AC kenarına paraleldir.
M, AB'nin orta noktası olduğu için, \( BM = MA \). Bu durumda, \( \triangle BMK \) ve \( \triangle BCA \) üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{BM}{BA} = \frac{1}{2} \) olur.
Benzerlikten dolayı, kenar oranları eşittir:
\[ \frac{MK}{AC} = \frac{1}{2} \]
Desteğin uzunluğu \( MK = 2.5 \) metre olarak verilmiştir. AC'yi bulmak için bu oranı kullanalım:
\[ \frac{2.5}{AC} = \frac{1}{2} \]
\[ AC = 2.5 \times 2 \]
\[ AC = 5 \] metre.
Şimdi büyük dik üçgenin ( \( \triangle ABC \) ) kenarları belli:
\( BC = 3 \) metre (duvardan uzaklık)
\( AC = 5 \) metre (duvarın merdivenin değdiği yere kadar olan yükseklik)
Merdivenin uzunluğu (AB) hipotenüstür. Pisagor Teoremi'ni kullanarak AB'yi bulalım:
Bir inşaat projesinde, üç katlı bir binanın temelinde, birbirine paralel üç beton duvar (d1, d2, d3) inşa edilmiştir. Bu duvarları desteklemek amacıyla iki farklı açıyla iki çelik kiriş (k ve l) yerleştiriliyor. Kiriş k, duvarları sırasıyla A, B ve C noktalarında; kiriş l ise D, E ve F noktalarında kesmektedir. Mühendis ölçümlerinde AB uzunluğunu 12 metre, BC uzunluğunu 18 metre ve DE uzunluğunu 10 metre olarak belirlemiştir. Bu bilgilere göre, EF uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
💡 Bu durum, Tales Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. Paralel doğruların (duvarların) iki kesen (kirişlerin) üzerinde ayırdığı parçaların oranları birbirine eşittir.