💡 9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Soruları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Soruları Çözümlü Örnekler
💡 Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
Yani, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
- \( AD = 3 \)
- \( DB = 6 \)
- \( AE = 2 \)
- \( EC = x \) (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{3}{6} = \frac{2}{x} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 3x = 6 \times 2 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = \frac{12}{3} \] \[ x = 4 \]✅ Sonuç olarak, EC uzunluğu 4 birimdir.
📌 Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların bir kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranı, diğer kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranına eşittir.
Bu durumda, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
- \( AB = 4 \) cm
- \( BC = 6 \) cm
- \( DE = 5 \) cm
- \( EF = x \) cm (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 2x = 3 \times 5 \] \[ 2x = 15 \] \[ x = \frac{15}{2} \] \[ x = 7.5 \]✅ Buna göre, EF uzunluğu 7.5 cm'dir.
💡 Yine Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı böler.
Bu durumda, \( \frac{KP}{PL} = \frac{KR}{RM} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları yerine yazalım:
- \( KP = x+2 \)
- \( PL = 2x-1 \)
- \( KR = 6 \)
- \( RM = 9 \)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{x+2}{2x-1} = \frac{6}{9} \]Sağ tarafı sadeleştirelim:
\[ \frac{x+2}{2x-1} = \frac{2}{3} \]İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3(x+2) = 2(2x-1) \]Denklemi çözelim:
\[ 3x + 6 = 4x - 2 \] \[ 6 + 2 = 4x - 3x \] \[ 8 = x \]✅ Buna göre, \( x \) değeri 8'dir.
📌 AB // CD olduğu için, Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzer üçgenler oluşur.
Burada \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
Neden benzerdir?
- \( \angle BAE = \angle DCE \) (İç ters açılar)
- \( \angle ABE = \angle CDE \) (İç ters açılar)
- \( \angle AEB = \angle CED \) (Ters açılar)
Bu durumda, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} \]Bize verilen değerler:
- \( AE = 4 \) cm
- \( EC = 8 \) cm
- \( DE = 6 \) cm
- \( EB = x \) cm (bilinmeyen)
Oranları kullanarak denklemi kuralım:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{BE}{DE} \] \[ \frac{4}{8} = \frac{x}{6} \]Denklemi sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{x}{6} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 2x = 1 \times 6 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \]✅ Sonuç olarak, EB uzunluğu 3 cm'dir.
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. AB kenarı üzerindeki D noktasından AC kenarı üzerindeki F noktasına kadar çizilen DF doğru parçası, BC kenarına paralel değildir. Ancak A noktasından başlayan bir AF doğru parçası, BC kenarına paralel olan DE doğru parçası üzerinde bir G noktasında kesişmektedir.
Düzeltilmiş Soru Metni: Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru, AB kenarını D'de, AC kenarını E'de kesmektedir. Ayrıca, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir F noktası bulunmaktadır. DF doğru parçası BC'ye paralel değildir. A noktasından çıkan bir AF doğru parçası, BC kenarı üzerindeki G noktası ile birleştirilmiştir. Eğer DE // BC ve AF // BG ise, AD = 4 birim, DB = 6 birim ve AG = 15 birim olduğuna göre, GF kaç birimdir?
💡 Bu soruda iki farklı paralellik durumu var, bu yüzden iki kez Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibini uygulayacağız.
Adım 1: \( AF // BG \) paralelliğini inceleyelim.
A noktasından çıkan iki kesen (AB ve AG), paralel doğrular (AF ve BG) tarafından kesilmiştir. Bu durumda, \( \triangle ADF \) ve \( \triangle ABG \) üçgenleri benzerdir.
Benzerlikten dolayı kenar oranları eşittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AG} \]Verilen değerleri yazalım:
- \( AD = 4 \) birim
- \( DB = 6 \) birim
- Bu durumda \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) birimdir.
- \( AG = 15 \) birim
Denklemi kuralım:
\[ \frac{4}{10} = \frac{AF}{15} \]AF uzunluğunu bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 10 \times AF = 4 \times 15 \] \[ 10 \times AF = 60 \] \[ AF = \frac{60}{10} \] \[ AF = 6 \] birim.Adım 2: Şimdi bizden istenen GF uzunluğunu bulalım.
F noktası AG doğru parçası üzerindedir. Bu durumda, \( AG = AF + FG \) bağıntısı geçerlidir.
Değerleri yerine yazalım:
\[ 15 = 6 + FG \] \[ FG = 15 - 6 \] \[ FG = 9 \] birim.✅ Sonuç olarak, GF uzunluğu 9 birimdir.
👉 Bu tür gölge problemleri, Tales Teoremi veya benzer üçgenler prensibiyle çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, direk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında benzer dik üçgenler oluşur.
Direğin boyuna \( h_d \), gölge boyuna \( g_d \) diyelim.
Ağacın boyuna \( h_a \), gölge boyuna \( g_a \) diyelim.
Benzerlikten dolayı, boyların gölge boylarına oranı sabittir:
\[ \frac{h_d}{g_d} = \frac{h_a}{g_a} \]Verilen değerleri yerine yazalım:
- Direğin boyu \( h_d = 1.8 \) metre
- Direğin gölge boyu \( g_d = 2.4 \) metre
- Ağacın gölge boyu \( g_a = 8 \) metre
- Ağacın boyu \( h_a = x \) metre (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{8} \]Kesri sadeleştirelim (ondalıklı sayılardan kurtulmak için 10 ile çarpıp sonra 6 ile bölebiliriz):
\[ \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \]Şimdi denklemi yeniden yazalım:
\[ \frac{3}{4} = \frac{x}{8} \]İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 4x = 3 \times 8 \] \[ 4x = 24 \] \[ x = \frac{24}{4} \] \[ x = 6 \]✅ Buna göre, ağacın boyu 6 metredir.
💡 Bu problemi bir dik üçgen ve Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan orta taban kavramı ile çözebiliriz.
Merdivenin duvara dayalı olduğu noktaya A, yerle birleştiği noktaya B, duvarın yere değdiği noktaya C diyelim. Bu durumda \( \triangle ABC \) bir dik üçgen olur ve C açısı 90 derecedir. Merdiven hipotenüs AB kenarıdır.
- Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta olduğu için \( BC = 3 \) metredir.
- Merdivenin orta noktası M olsun. M noktasından yere dik olarak konulan destek (MK), AC kenarına paraleldir.
M, AB'nin orta noktası olduğu için, \( BM = MA \). Bu durumda, \( \triangle BMK \) ve \( \triangle BCA \) üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{BM}{BA} = \frac{1}{2} \) olur.
Benzerlikten dolayı, kenar oranları eşittir:
\[ \frac{MK}{AC} = \frac{1}{2} \]Desteğin uzunluğu \( MK = 2.5 \) metre olarak verilmiştir. AC'yi bulmak için bu oranı kullanalım:
\[ \frac{2.5}{AC} = \frac{1}{2} \] \[ AC = 2.5 \times 2 \] \[ AC = 5 \] metre.Şimdi büyük dik üçgenin ( \( \triangle ABC \) ) kenarları belli:
- \( BC = 3 \) metre (duvardan uzaklık)
- \( AC = 5 \) metre (duvarın merdivenin değdiği yere kadar olan yükseklik)
Merdivenin uzunluğu (AB) hipotenüstür. Pisagor Teoremi'ni kullanarak AB'yi bulalım:
\[ AB^2 = BC^2 + AC^2 \] \[ AB^2 = 3^2 + 5^2 \] \[ AB^2 = 9 + 25 \] \[ AB^2 = 34 \] \[ AB = \sqrt{34} \] metre.✅ Merdivenin uzunluğu \( \sqrt{34} \) metredir.
💡 Bu durum, Tales Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. Paralel doğruların (duvarların) iki kesen (kirişlerin) üzerinde ayırdığı parçaların oranları birbirine eşittir.
Yani, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) bağıntısı geçerlidir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
- \( AB = 12 \) metre
- \( BC = 18 \) metre
- \( DE = 10 \) metre
- \( EF = x \) metre (bilinmeyen)
Denklemi kuralım:
\[ \frac{12}{18} = \frac{10}{x} \]Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 6'ya bölebiliriz):
\[ \frac{2}{3} = \frac{10}{x} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 2x = 3 \times 10 \] \[ 2x = 30 \] \[ x = \frac{30}{2} \] \[ x = 15 \]✅ Buna göre, EF uzunluğu 15 metredir. Bu sayede mühendis, diğer kirişin uzunluğunu kolayca hesaplayabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-teoremi-sorulari/sorular