🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales teoremi, Öklit, Üçgen eşitsizliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales teoremi, Öklit, Üçgen eşitsizliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel üç doğru, iki farklı kesen doğrusu tarafından farklı noktalarda kesiliyor. Paralel doğrular üzerindeki parçaların uzunlukları şu şekildedir: Birinci kesen üzerindeki parçalar 4 cm ve 6 cm, ikinci kesen üzerindeki parçalar ise x cm ve 9 cm'dir. Buna göre x kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soru Tales teoreminin bir uygulamasıdır. Tales teoremine göre, paralel doğruları kesen iki doğrunun oluşturduğu orantı sabittir.
- Paralel doğrularımız d1, d2, d3 olsun.
- Kesen doğrularımız ise k1 ve k2 olsun.
- k1 üzerindeki parçalar A ve B, k2 üzerindeki parçalar C ve D olsun.
- Tales teoremine göre, \( \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \) veya \( \frac{A}{C} = \frac{B}{D} \) şeklinde orantılar kurulabilir.
- Soruda verilen değerlere göre, \( \frac{4}{6} = \frac{x}{9} \) şeklinde bir orantı kurabiliriz.
- Bu orantıyı çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız: \( 4 \times 9 = 6 \times x \)
- \( 36 = 6x \)
- Her iki tarafı 6'ya bölersek: \( x = \frac{36}{6} \)
- \( x = 6 \) cm bulunur.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin bir kenar uzunluğu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? 🤔
Çözüm:
Bu soru üçgen eşitsizliği ile ilgilidir. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Üçgen eşitsizliği genel olarak bir \( a, b, c \) kenarlı üçgen için şu şekildedir: \( |b - c| < a < b + c \)
- Soruda verilen kenarlar: \( a = |BC| = 10 \), \( b = |AC| = 12 \), \( c = |AB| = 8 \)
- Şimdi her kenar için eşitsizlikleri kontrol edelim:
- 1. \( |BC| \) kenarı için: \( |12 - 8| < 10 < 12 + 8 \)
- \( |4| < 10 < 20 \)
- \( 4 < 10 < 20 \) (Bu eşitsizlik doğrudur.)
- 2. \( |AC| \) kenarı için: \( |10 - 8| < 12 < 10 + 8 \)
- \( |2| < 12 < 18 \)
- \( 2 < 12 < 18 \) (Bu eşitsizlik doğrudur.)
- 3. \( |AB| \) kenarı için: \( |12 - 10| < 8 < 12 + 10 \)
- \( |2| < 8 < 22 \)
- \( 2 < 8 < 22 \) (Bu eşitsizlik doğrudur.)
- Soruda "kesinlikle yanlıştır" denildiği için, olası bir kenar uzunluğunun bu eşitsizlikleri sağlamadığını bulmalıyız. Eğer şıklarda örneğin 21 cm gibi bir değer olsaydı, bu \( 8 < 21 \) ve \( 10 < 21 \) doğru olsa da \( 12+10 = 22 \) olduğu için \( 8 < 22 \) ve \( 12+8 = 20 \) olduğu için \( 10 < 20 \) ve \( 10+8 = 18 \) olduğu için \( 12 < 18 \) doğru olsa da, \( 12+10=22 \) olduğu için 21 cm olması mümkündür.
- Eğer şıklarda 23 cm gibi bir değer olsaydı, \( 12 + 10 = 22 \) olduğu için 23 cm olamazdı.
- Eğer şıklarda 1 cm gibi bir değer olsaydı, \( |12 - 10| = 2 \) olduğu için 1 cm olamazdı.
- Şıkları bilmediğimiz için genel bir prensip olarak, bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından büyük veya farkından küçük olamaz.
Örnek 3:
Bir duvara, yerden yüksekliği 1.5 metre olan bir pencereye ulaşmak için bir merdiven dayandırılmıştır. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği 6 metre ve merdivenin yere değdiği noktanın duvara uzaklığı 4.5 metredir. Bu merdiven, pencere seviyesine tam olarak ulaşacak şekilde kaydırılırsa, merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı kaç metre olur? 📏
Çözüm:
Bu problem, dik üçgenlerde Pisagor teoremi ve benzerlik kavramlarını içerir. Ancak 9. sınıf müfredatında Pisagor teoremi işlendiği için bu şekilde çözülebilir.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- İlk durumda:
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \( c \) olsun.
- Duvara değdiği yükseklik (dik kenar) \( a = 6 \) m.
- Yere değdiği uzaklık (dik kenar) \( b = 4.5 \) m.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 6^2 + 4.5^2 = c^2 \)
- \( 36 + 20.25 = c^2 \)
- \( c^2 = 56.25 \)
- \( c = \sqrt{56.25} = 7.5 \) m. Merdivenin uzunluğu 7.5 metredir.
- İkinci durumda:
- Merdiven pencere seviyesine, yani 1.5 metreye ulaşacak şekilde kaydırılıyor.
- Ancak soruda bir hata var gibi görünüyor. Merdiven 6 metreden 1.5 metreye kaydırılırsa, pencereye ulaşmış olmaz, daha aşağı iner. Sorunun "pencere seviyesine tam olarak ulaşacak şekilde kaydırılırsa" ifadesi, merdivenin üst ucunun 1.5 metreye gelmesi anlamına geliyorsa, bu ilk durumdan daha aşağı bir konumdur.
- Eğer soru şu şekilde olsaydı: "Merdiven, pencere seviyesine (1.5 metre yükseğe) ulaşacak şekilde konumlandırılırsa, merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı kaç metre olur?"
- Bu durumda yeni durum:
- Merdivenin uzunluğu hala \( c = 7.5 \) m.
- Duvara değdiği yükseklik (dik kenar) \( a' = 1.5 \) m.
- Yere değdiği yeni uzaklık (dik kenar) \( b' \) olsun.
- Pisagor teoremine göre: \( (a')^2 + (b')^2 = c^2 \)
- \( 1.5^2 + (b')^2 = 7.5^2 \)
- \( 2.25 + (b')^2 = 56.25 \)
- \( (b')^2 = 56.25 - 2.25 \)
- \( (b')^2 = 54 \)
- \( b' = \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \) metre.
- Ancak sorunun orijinal haliyle "pencere seviyesine tam olarak ulaşacak şekilde kaydırılırsa" ifadesi, merdivenin üst ucunun 1.5 metreye gelmesi anlamına geliyorsa, bu durumda merdiven ilk konumundan daha aşağıya iner. Bu durumda merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı artar.
- Eğer "pencere seviyesine tam olarak ulaşacak şekilde" ifadesi, merdivenin üst ucunun 6 metreden daha yukarı bir noktaya (mesela 7.5 metreye kadar) kaydırılması ve bu kaydırma sonucunda pencereye ulaşması kastediliyorsa, bu da mantıksız olur çünkü merdiven zaten 6 metreye ulaşıyor.
- Soruda bir tutarsızlık var. Ancak, eğer soru "Merdiven, pencere seviyesine (1.5 metre yükseğe) ulaşacak şekilde kaydırılırsa, merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı kaç metre olur?" şeklinde olsaydı cevap \( 3\sqrt{6} \) olurdu.
- Eğer soruda "pencere seviyesine" yerine "merdivenin üst ucunun 6 metreden daha yukarı bir noktaya ulaşması" kastediliyorsa ve bu yeni durumda yere değdiği noktanın uzaklığı soruluyorsa, bu da belirsizdir.
- Varsayımımız, merdivenin üst ucunun 1.5 metreye ayarlanmasıdır.
Örnek 4:
Bir inşaat alanında, bir vinç kolunun ucundaki kanca, yerden 20 metre yükseklikteki bir noktaya ulaşmaktadır. Vinç kolu, tabanından 15 metre uzaklıktaki bir noktaya kadar indirilebilmektedir. Vinç kolunun uzunluğu sabit olduğuna göre, vinç kolunun ucundaki kancanın ulaşabileceği en yüksek nokta kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, yine bir dik üçgen ve Pisagor teoremi ile modellenebilir. Vinç kolu, vinç tabanı ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Vinç kolunun uzunluğu (hipotenüs) \( c \) olsun.
- Vinç kolunun ulaşabildiği en yüksek nokta (dik kenar) \( a = 20 \) m.
- Vinç kolunun tabanından en uzak noktası (dik kenar) \( b = 15 \) m.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 20^2 + 15^2 = c^2 \)
- \( 400 + 225 = c^2 \)
- \( c^2 = 625 \)
- \( c = \sqrt{625} = 25 \) m. Vinç kolunun uzunluğu 25 metredir.
- Vinç kolunun ucundaki kancanın ulaşabileceği en yüksek nokta, vinç kolunun tabanından en uzak noktaya indirildiğinde (yani yere paralel olduğunda) elde edilir. Bu durumda, vinç kolunun uzunluğu doğrudan kancanın yerden yüksekliğini verir.
- Yani, \( c = 25 \) m.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm ve \( |AC| = x \) cm'dir. x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği ile ilgilidir. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Üçgen eşitsizliğine göre, \( |BC| - |AB| < |AC| < |BC| + |AB| \) olmalıdır.
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( |9 - 7| < x < 9 + 7 \)
- \( |2| < x < 16 \)
- Yani, \( 2 < x < 16 \)
- x'in alabileceği tam sayılar 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15'tir.
- Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanabiliriz veya tek tek toplayabiliriz.
- Toplam = \( 3 + 4 + ... + 15 \)
- Bu, ilk terimi 3, son terimi 15 ve terim sayısı \( 15 - 3 + 1 = 13 \) olan bir aritmetik dizidir.
- Toplam = \( \frac{\text{terim sayısı}}{2} \times (\text{ilk terim} + \text{son terim}) \)
- Toplam = \( \frac{13}{2} \times (3 + 15) \)
- Toplam = \( \frac{13}{2} \times 18 \)
- Toplam = \( 13 \times 9 \)
- Toplam = 117
Örnek 6:
Birbirine paralel olan \( d_1, d_2, d_3 \) doğruları, \( k_1 \) ve \( k_2 \) kesen doğruları tarafından kesiliyor. \( k_1 \) doğrusu üzerindeki kesim noktalarının oluşturduğu parçaların uzunlukları \( |AB| = 5 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm'dir. \( k_2 \) doğrusu üzerindeki kesim noktalarının oluşturduğu parçaların uzunlukları ise \( |DE| = 7 \) cm ve \( |EF| = y \) cm'dir. Buna göre y'nin değeri kaçtır? 📐
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin temel bir uygulamasıdır. Paralel doğrular ve kesen doğrular arasındaki orantı sabittir.
- Tales teoremine göre, kesen doğrular üzerindeki orantılı parçalar şu şekilde ifade edilebilir:
- \( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
- \( \frac{5}{10} = \frac{7}{y} \)
- Bu orantıyı çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız:
- \( 5 \times y = 10 \times 7 \)
- \( 5y = 70 \)
- Her iki tarafı 5'e bölersek:
- \( y = \frac{70}{5} \)
- \( y = 14 \) cm bulunur.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 15 \) cm ve \( |AC| = 20 \) cm'dir. Bu üçgenin kenarortaylarından biri olan \( |AD| \) (D noktası BC üzerindedir) çiziliyor. D noktasının BC kenarı üzerindeki konumu göz önüne alındığında, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🧐
Çözüm:
Bu soru, kenarortay kavramını ve üçgen eşitsizliğini birleştirir. D noktası, BC kenarının orta noktasıdır.
- Bir kenarortay, kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştirir.
- Bu nedenle, D noktası BC kenarının orta noktasıdır.
- \( |BC| = 15 \) cm olduğuna göre, D noktası BC kenarını iki eşit parçaya böler.
- \( |BD| = |DC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm'dir.
- Soruda "D noktasının BC kenarı üzerindeki konumu göz önüne alındığında, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?" deniyor. Bu ifade biraz kafa karıştırıcı olabilir. Eğer D noktası kesinlikle BC'nin orta noktası ise, \( |BD| \) uzunluğu sabittir (7.5 cm).
- Ancak, eğer soru "bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \), \( |BC| = 15 \), \( |AC| = 20 \) ise, BC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. \( |AD| \) bir kenarortay olmasa da bir doğru parçası ve D noktası BC üzerindeyse, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?" şeklinde olsaydı, o zaman üçgen eşitsizliği devreye girerdi.
- Eğer D noktası BC kenarı üzerindeyse, \( |BD| \) uzunluğu 0 ile 15 cm arasında değişebilir (D noktası B veya C noktası olabilir). Ancak üçgen eşitsizliği, bir üçgenin kenarlarının uzunlukları için geçerlidir.
- Eğer soru, D noktasının BC kenarı üzerinde olduğu ve \( |AD| \) doğru parçasının çizildiği bir durumda, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerini soruyorsa, D noktası BC kenarı üzerinde olduğu için \( |BD| \) uzunluğu 0'dan büyük ve 15'ten küçük olmalıdır (D noktası B veya C'den farklı bir nokta ise).
- Eğer D noktası BC kenarının orta noktası ise, \( |BD| = 7.5 \) cm'dir. Bu durumda alabileceği tam sayı değeri sadece 7'dir.
- Ancak, sorunun "kenarortaylarından biri olan \( |AD| \)" ifadesi, D'nin orta nokta olduğunu kesinleştirir.
- Bu durumda, \( |BD| = 7.5 \) cm'dir.
- Eğer soru "D noktası BC kenarı üzerindeyse ve \( |AD| \) çiziliyorsa, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?" şeklinde olsaydı ve D noktası B ve C arasında herhangi bir yerdeyse, \( |BD| \) 1'den 14'e kadar tam sayı değerleri alabilirdi. Bu durumda toplam \( \frac{14 \times 15}{2} = 105 \) olurdu.
- Sorunun ifadesi "kenarortaylarından biri olan \( |AD| \)" dediği için, D kesinlikle orta noktadır.
- Bu durumda \( |BD| = 7.5 \) cm'dir.
- Eğer soru " \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" diye soruyorsa ve \( |BD| = 7.5 \) ise, bu durumda tam sayı değeri 7'dir.
- Ancak, eğer soru " \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri" derken, D'nin orta nokta olmasından bağımsız olarak, BC kenarı üzerindeki bir D noktası için olası tam sayı değerlerini soruyorsa, bu durumda \( |BD| \) 1'den 14'e kadar tam sayı değerleri alabilir.
- Sorunun "kenarortaylarından biri olan \( |AD| \)" ifadesi, D'nin kesinlikle orta nokta olduğunu belirtir. Bu durumda \( |BD| \) uzunluğu 7.5 cm'dir.
- Eğer soru, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını soruyorsa ve \( |BD| = 7.5 \) ise, bu durumda tam sayı değeri 7'dir.
- Eğer soru, D'nin BC üzerindeki herhangi bir nokta olduğu ve \( |AD| \) çizildiği durumda \( |BD| \) için olası tam sayı değerlerini soruyorsa, bu durumda \( |BD| \) 1'den 14'e kadar değerler alabilir.
- Sorunun "kenarortay" kelimesi D'nin orta nokta olduğunu vurguluyor.
- Bu durumda \( |BD| = 7.5 \) cm'dir.
- Eğer soru, \( |BD| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını soruyorsa ve \( |BD| = 7.5 \) ise, bu durumda tam sayı değeri 7'dir.
Örnek 8:
Bir fotoğraf çerçevesinin kenar uzunlukları 20 cm ve 30 cm'dir. Bu çerçevenin içine, kenarlarından birer santimetre boşluk bırakılarak bir fotoğraf yerleştirilecektir. Yerleştirilecek fotoğrafın kenar uzunlukları kaçar cm olmalıdır? 🖼️
Çözüm:
Bu soru, basit bir çıkarma işlemi ile çözülebilir ve günlük hayatta boyutlandırma problemlerine örnektir.
- Fotoğraf çerçevesinin dış kenar uzunlukları:
- Genişlik: 30 cm
- Yükseklik: 20 cm
- Fotoğrafın çerçeve içine yerleştirileceği ve her kenardan 1 cm boşluk bırakılacağı belirtiliyor.
- Bu, fotoğrafın hem genişlik hem de yükseklik boyutlarından toplamda 2 cm (her iki taraftan 1'er cm) daha kısa olması gerektiği anlamına gelir.
- Fotoğrafın yeni genişliği:
- \( 30 \text{ cm} - (1 \text{ cm} + 1 \text{ cm}) = 30 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 28 \text{ cm} \)
- Fotoğrafın yeni yüksekliği:
- \( 20 \text{ cm} - (1 \text{ cm} + 1 \text{ cm}) = 20 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 18 \text{ cm} \)
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = x \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm'dir. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değeri arasındaki fark kaçtır? ↔️
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği ile ilgilidir. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Üçgen eşitsizliğine göre, \( |AC| - |AB| < |BC| < |AC| + |AB| \) olmalıdır.
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( |12 - 5| < x < 12 + 5 \)
- \( |7| < x < 17 \)
- Yani, \( 7 < x < 17 \)
- x'in alabileceği tam sayılar 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16'dır.
- x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 16'dır.
- x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 8'dir.
- Bu iki değer arasındaki fark: \( 16 - 8 = 8 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-teoremi-oklit-ucgen-esitsizligi/sorular