🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid ve pisagor teoremlerini ispatlayabilme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, öklid ve pisagor teoremlerini ispatlayabilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm olduğuna göre, EC kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Temel Orantı Teoremi (Tales Teoremi'nin bir uygulaması) kullanılır.
- Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
- Bu durumda, AD/DB = AE/EC şeklinde bir orantı kurabiliriz.
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparak EC'yi bulalım: \( 4 \times EC = 6 \times 5 \)
- \( 4 \times EC = 30 \)
- \( EC = \frac{30}{4} \)
- \( EC = 7.5 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir dik üçgende dik kenarlar 8 cm ve 15 cm uzunluğundadır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi kullanılır.
- Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Teorem formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada a ve b dik kenarlar, c ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: a = 8 cm, b = 15 cm.
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( 8^2 + 15^2 = c^2 \)
- \( 64 + 225 = c^2 \)
- \( 289 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak c'yi bulalım: \( c = \sqrt{289} \)
- \( c = 17 \) cm'dir. 💡
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına bir yükseklik çiziliyor ve bu yükseklik H noktasında BC kenarını kesiyor. AH = 6 cm, BH = 8 cm ve HC = 15 cm'dir. Buna göre, AB ve AC kenar uzunluklarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi iki kez kullanılır.
- Öncelikle AB kenarını bulmak için ABH dik üçgenini ele alalım. Dik kenarlar AH ve BH'dir.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
- \( AB^2 = 6^2 + 8^2 \)
- \( AB^2 = 36 + 64 \)
- \( AB^2 = 100 \)
- \( AB = \sqrt{100} = 10 \) cm. ✅
- Şimdi AC kenarını bulmak için AHC dik üçgenini ele alalım. Dik kenarlar AH ve HC'dir.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( AC^2 = AH^2 + HC^2 \)
- \( AC^2 = 6^2 + 15^2 \)
- \( AC^2 = 36 + 225 \)
- \( AC^2 = 261 \)
- \( AC = \sqrt{261} \) cm. (Bu değer yaklaşık olarak 16.16 cm'dir.) 💡
Örnek 4:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Bu ağaçların tam ortasına yerleştirilen bir kamera, her iki ağaca da eşit uzaklıktadır. Kameranın yerden yüksekliği 5 metre olduğuna göre, kameranın bir ağacın tepesine olan uzaklığı kaç metredir? (Ağaçların boyları ihmal edilecektir.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'nin bir uygulaması söz konusudur. Kameranın konumu, iki ağacın ortası ve yer seviyesindedir.
- Ağaçlar arasındaki mesafe 12 metre ise, her bir ağacın kameraya olan yatay uzaklığı \( \frac{12}{2} = 6 \) metredir.
- Kameranın yerden yüksekliği 5 metredir.
- Bir ağacın tepesine olan uzaklığı, kameranın yüksekliği (dikey kenar) ve ağaca olan yatay uzaklık (yatay kenar) ile oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( Uzaklık^2 = Yatay \ Uzaklık^2 + Dikey \ Uzaklık^2 \)
- \( Uzaklık^2 = 6^2 + 5^2 \)
- \( Uzaklık^2 = 36 + 25 \)
- \( Uzaklık^2 = 61 \)
- \( Uzaklık = \sqrt{61} \) metre. 💡
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. AD doğrusu, BC kenarına paralel olan bir EF doğrusunu K noktasında kesiyor. Eğer AB = 10 cm, BD = 4 cm, DC = 6 cm ve AD = 8 cm ise, KE uzunluğunu bulunuz. (EF doğrusu A'dan geçmektedir.) 📐
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin daha gelişmiş bir uygulamasını ve benzerlik kavramlarını içerir.
- Soruda bir hata bulunmaktadır. AD doğrusunun BC kenarına paralel olan bir EF doğrusunu kesmesi ve EF doğrusunun A'dan geçmesi çelişkilidir. Eğer EF doğrusu A'dan geçiyorsa ve BC'ye paralelse, bu durumda AD doğrusu ile EF doğrusu aynı doğru olamaz veya EF doğrusunun BC'ye paralel olması durumu farklı bir geometrik konfigürasyon gerektirir.
- Soruyu, "ABC üçgeninde BC kenarına paralel bir EF doğrusu çizilmiştir. Bu doğru AB kenarını D noktasında, AC kenarını ise G noktasında kesmektedir. Eğer AB = 10 cm, BD = 4 cm, AE = 6 cm ise, EG uzunluğunu bulunuz." şeklinde revize edersek, Tales Teoremi uygulanabilir.
- Revize edilmiş soru için çözüm:
- Tales Teoremi'ne göre, \( \frac{BD}{AB} = \frac{BG}{AC} = \frac{DG}{BC} \)
- Ayrıca, \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) şeklinde de bir orantı kurulabilir.
- Verilenlere göre: \( AB = 10 \), \( BD = 4 \). Bu durumda \( AD = AB - BD = 10 - 4 = 6 \) cm olur.
- \( AE = 6 \) cm.
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) formülünü kullanalım: \( \frac{6}{10} = \frac{6}{AC} \)
- Buradan \( AC = 10 \) cm bulunur.
- Şimdi \( \frac{BD}{AB} = \frac{BG}{AC} \) oranını kullanalım: \( \frac{4}{10} = \frac{BG}{10} \)
- Buradan \( BG = 4 \) cm bulunur.
- \( AC = AE + EG \) olduğundan, \( 10 = 6 + EG \)
- \( EG = 10 - 6 = 4 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Binanın karşısındaki bir noktadan, binanın tepesine bakan bir kişi, göz hizasından tepeye olan açıyı 45 derece olarak ölçüyor. Eğer kişinin göz hizasının yerden yüksekliği 1.5 metre ve kişinin binaya olan uzaklığı 20 metre ise, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi ve trigonometrinin temel mantığı (dik üçgenler) kullanılır.
- Kişinin göz hizasından binanın tepesine kadar olan dikey mesafeye 'h' diyelim.
- Kişinin binaya olan uzaklığı 20 metredir.
- Göz hizasından tepeye olan bakış açısı 45 derecedir.
- Bu durumda, göz hizası ile yer arasındaki 1.5 metrelik yükseklik, binanın tepesi ile göz hizası arasındaki dikey mesafeye (h) ve kişinin binaya olan uzaklığına (20 metre) bir dik üçgen oluşturur.
- Açı 45 derece olduğu için, bu dik üçgen ikizkenar dik üçgendir. Bu da demek oluyor ki, dik kenarlar birbirine eşittir.
- Yani, \( h = 20 \) metredir.
- Binanın toplam yüksekliği, kişinin göz hizası yüksekliği ile 'h' değerinin toplamıdır.
- Binanın Yüksekliği = Göz Hizası Yüksekliği + h
- Binanın Yüksekliği = \( 1.5 \, \text{m} + 20 \, \text{m} \)
- Binanın Yüksekliği = \( 21.5 \) metre. 💡
Örnek 7:
Bir merdiven, duvara yaslanmıştır. Merdivenin duvara değdiği nokta yerden 12 metre yüksekliktedir. Merdivenin duvara olan uzaklığı (tabanı ile duvar arasındaki mesafe) 5 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin en temel uygulamalarından biridir.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Duvarın yüksekliği (12 m) ve zemindeki uzaklık (5 m) dik kenarlardır.
- Merdivenin uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada \( a = 5 \) m ve \( b = 12 \) m'dir.
- \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} \)
- \( c = 13 \) metre. ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer AD = 6 cm, DB = 3 cm ve AE = 8 cm ise, EC kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Temel Orantı Teoremi (Tales Teoremi) uygulanır.
- Teorem gereğince, DE doğrusu BC'ye paralelse, AB ve AC kenarları orantılı olarak bölünür.
- Orantı şu şekildedir: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( AD = 6 \) cm, \( DB = 3 \) cm, \( AE = 8 \) cm.
- \( \frac{6}{3} = \frac{8}{EC} \)
- \( 2 = \frac{8}{EC} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparak EC'yi bulalım: \( 2 \times EC = 8 \)
- \( EC = \frac{8}{2} \)
- \( EC = 4 \) cm'dir. ✅
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, C açısı 90 derecedir. CD, AB kenarına ait yüksekliktir. Eğer AD = 4 cm ve DB = 9 cm ise, AC ve BC kenar uzunluklarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soru, Öklid Teoremleri'nden (Yükseklik ve Kenar Bağıntıları) yararlanılarak çözülür.
- Yükseklik Bağıntısı: Bir dik üçgende, dikten indirilen yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki parçanın geometrik ortalamasıdır. Yani, \( h^2 = AD \times DB \)
- Bu bağıntıyı kullanarak yüksekliği (CD) bulabiliriz: \( CD^2 = 4 \times 9 \)
- \( CD^2 = 36 \)
- \( CD = \sqrt{36} = 6 \) cm.
- Kenar Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarlardan birinin karesi, hipotenüsün tamamı ile o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir.
- AC kenarı için: \( AC^2 = AD \times AB \)
- Öncelikle AB (hipotenüs) uzunluğunu bulalım: \( AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 \) cm.
- Şimdi AC'yi hesaplayalım: \( AC^2 = 4 \times 13 \)
- \( AC^2 = 52 \)
- \( AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \) cm. ✅
- BC kenarı için: \( BC^2 = DB \times AB \)
- \( BC^2 = 9 \times 13 \)
- \( BC^2 = 117 \)
- \( BC = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13} \) cm. ✅
- Alternatif olarak, AC'yi bulduktan sonra Pisagor Teoremi ile de BC'yi bulabilirdik: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow 52 + BC^2 = 13^2 \Rightarrow 52 + BC^2 = 169 \Rightarrow BC^2 = 117 \Rightarrow BC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \) cm. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-teoremlerini-ispatlayabilme/sorular