🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡 Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
- 👉 Adım 1: Pisagor Teoremi'ni Hatırlama
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\). - 👉 Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Soruda dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olarak verilmiştir. Yani \(a = 6\) ve \(b = 8\).
Denklemi kuralım: \(6^2 + 8^2 = c^2\). - 👉 Adım 3: İşlemleri Yapma
\(6^2 = 36\)
\(8^2 = 64\)
\(36 + 64 = c^2\)
\(100 = c^2\) - 👉 Adım 4: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
\(c^2 = 100\) ise, \(c = \sqrt{100}\).
\(c = 10\) cm.
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, B köşesi dik açıdır. AB kenarının uzunluğu 5 cm ve hipotenüs AC kenarının uzunluğu 13 cm'dir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak eksik kenarı bulacağız. Bu sefer hipotenüs biliniyor, bir dik kenarı bulmamız gerekiyor.
- 👉 Adım 1: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise: \(a^2 + b^2 = c^2\). - 👉 Adım 2: Verilenleri Denkleme Yerleştirme
AB kenarı \(a = 5\) cm, AC (hipotenüs) \(c = 13\) cm. BC kenarına \(x\) diyelim.
Denklem: \(5^2 + x^2 = 13^2\). - 👉 Adım 3: Kareleri Hesaplama
\(5^2 = 25\)
\(13^2 = 169\)
Denklem şimdi şöyle oldu: \(25 + x^2 = 169\). - 👉 Adım 4: \(x^2\) Değerini Bulma
\(x^2 = 169 - 25\)
\(x^2 = 144\) - 👉 Adım 5: BC Kenar Uzunluğunu Bulma
\(x = \sqrt{144}\)
\(x = 12\) cm.
Örnek 3:
Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Bu yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soru için Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını kullanacağız. 💡 Öklid Teoremi, bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüsü ayırdığı parçalarla ilgili önemli bağıntılar sunar.
- 👉 Adım 1: Öklid Yükseklik Bağıntısını Hatırlama
Dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğe \(h\), hipotenüsü ayırdığı parçalara \(p\) ve \(k\) dersek, bağıntı şöyledir: \(h^2 = p \cdot k\). - 👉 Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Soruda hipotenüsü ayıran parçalar 4 cm ve 9 cm olarak verilmiştir. Yani \(p = 4\) ve \(k = 9\).
Denklemi kuralım: \(h^2 = 4 \cdot 9\). - 👉 Adım 3: İşlemleri Yapma
\(h^2 = 36\) - 👉 Adım 4: Yüksekliğin Uzunluğunu Bulma
\(h = \sqrt{36}\)
\(h = 6\) cm.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır ve AH, BC kenarına indirilen yüksekliktir. BH = 2 cm ve HC = 8 cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 🚀
Çözüm:
Bu problemde Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanacağız. Bu bağıntı, bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki kendi izdüşümü ile tüm hipotenüsün çarpımına eşit olduğunu belirtir.
- 👉 Adım 1: Öklid Dik Kenar Bağıntısını Tanımlama
Bir dik üçgende, dik kenar \(c\), hipotenüs üzerindeki izdüşümü \(p\) ve hipotenüsün tamamı \(a\) ise: \(c^2 = p \cdot a\). - 👉 Adım 2: Verilenleri ve İhtiyaç Duyulanları Belirleme
BH = \(p = 2\) cm.
HC = 8 cm.
Hipotenüsün tamamı BC = BH + HC = \(2 + 8 = 10\) cm. Yani \(a = 10\).
Bizden AB kenarı isteniyor. AB kenarının izdüşümü BH'dir. AB kenarına \(x\) diyelim. - 👉 Adım 3: Denklemi Kurma ve Çözme
\(x^2 = BH \cdot BC\)
\(x^2 = 2 \cdot 10\)
\(x^2 = 20\) - 👉 Adım 4: AB Kenarının Uzunluğunu Bulma
\(x = \sqrt{20}\)
\(x = \sqrt{4 \cdot 5}\)
\(x = 2\sqrt{5}\) cm.
Örnek 5:
Birbirine paralel üç doğru, iki farklı kesen tarafından kesilmiştir. Birinci kesen üzerinde oluşan parçaların uzunlukları 3 cm ve 6 cm'dir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen ilk parçanın uzunluğu 4 cm ise, ikinci kesen üzerindeki diğer parçanın uzunluğunu bulunuz. ↔️
Çözüm:
Bu soruyu Tales Teoremi'nin temel orantı bağıntısı ile çözeceğiz. Tales Teoremi, paralel doğruların bir kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranının, diğer kesen üzerinde ayırdığı parçaların oranına eşit olduğunu belirtir.
- 👉 Adım 1: Tales Teoremi'ni Tanımlama
Paralel doğrular arasında bir kesen üzerinde oluşan parçalar \(a\) ve \(b\), diğer kesen üzerinde oluşan karşılık gelen parçalar \(x\) ve \(y\) ise: \( \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \). - 👉 Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Birinci kesen üzerindeki parçalar: \(a = 3\) cm, \(b = 6\) cm.
İkinci kesen üzerindeki ilk parça: \(x = 4\) cm.
İkinci kesen üzerindeki diğer parçayı \(y\) ile gösterelim. - 👉 Adım 3: Orantıyı Kurma
\( \frac{3}{6} = \frac{4}{y} \) - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme
Önce sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{y} \).
İçler dışlar çarpımı yaparak \(y\)'yi bulalım:
\(1 \cdot y = 2 \cdot 4\)
\(y = 8\) cm.
Örnek 6:
Bir üçgenin içinde, tabana paralel bir doğru çizilmiştir. Bu doğru, üçgenin kenarlarını A noktasından başlayarak 2 cm ve 4 cm uzunluğunda iki parçaya ayırmıştır. Tabana paralel doğrunun kestiği diğer kenarda ise, A noktasından başlayarak oluşan ilk parça 3 cm'dir. Bu kenarın ikinci parçasının uzunluğunu bulunuz. (Bu durum temel benzerlik teoremi veya Tales'in bir uygulamasıdır.) 🔺
Çözüm:
Bu problem Temel Benzerlik Teoremi (Tales Teoremi'nin bir uzantısı) ile çözülür. Bir üçgende tabana paralel çizilen bir doğru, üçgenin kenarlarını orantılı parçalara ayırır.
- 👉 Adım 1: Temel Benzerlik Teoremi'ni Anlama
Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı kestiği noktalarla orantılı parçalar oluşturur. Eğer A köşesinden başlayan ilk parça \(x_1\) ve ikinci parça \(x_2\), diğer kenarda ise \(y_1\) ve \(y_2\) ise: \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \). - 👉 Adım 2: Verilenleri Belirleme
Bir kenardaki parçalar: \(x_1 = 2\) cm, \(x_2 = 4\) cm.
Diğer kenardaki ilk parça: \(y_1 = 3\) cm.
Diğer kenardaki ikinci parçayı \(y_2\) ile gösterelim. - 👉 Adım 3: Orantıyı Kurma
\( \frac{2}{4} = \frac{3}{y_2} \) - 👉 Adım 4: Denklemi Çözme
Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{3}{y_2} \).
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\(1 \cdot y_2 = 2 \cdot 3\)
\(y_2 = 6\) cm.
Örnek 7:
Bir bahçede, 12 metre yüksekliğinde bir ağaç bulunmaktadır. 🌳 Güneşli bir günde, ağacın gölgesinin boyu 5 metre ölçülmüştür. Bu durumda, ağacın tepesinden gölgenin bittiği noktaya kadar olan mesafeyi (yani hayali hipotenüsü) bulunuz. (Ağacın yere dik durduğu varsayılacaktır.) ☀️
Çözüm:
Bu problem, ağaç, gölge ve ağacın tepesinden gölgenin ucuna uzanan hayali çizginin oluşturduğu bir dik üçgen modelidir. Bu nedenle Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz.
- 👉 Adım 1: Problemi Geometrik Modele Dönüştürme
Ağacın yüksekliği dik kenarlardan biridir (12 m).
Gölgenin boyu diğer dik kenardır (5 m).
Ağacın tepesinden gölgenin bittiği noktaya olan mesafe ise hipotenüstür. Bu mesafeye \(c\) diyelim. - 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
Dik kenarlar \(a = 12\) ve \(b = 5\).
Teorem: \(a^2 + b^2 = c^2\).
Denklem: \(12^2 + 5^2 = c^2\). - 👉 Adım 3: Hesaplamaları Yapma
\(12^2 = 144\)
\(5^2 = 25\)
\(144 + 25 = c^2\)
\(169 = c^2\) - 👉 Adım 4: Mesafeyi Bulma
\(c = \sqrt{169}\)
\(c = 13\) metre.
Örnek 8:
Bir marangoz, şekildeki gibi bir tahta parçası üzerinde çalışmaktadır. Parçanın bir kenarı boyunca 10 cm uzunluğunda AB kısmı, diğer kenarı boyunca ise 15 cm uzunluğunda AC kısmı vardır. Marangoz, B noktasından AC kenarına dik olacak şekilde bir çizgi çekerek D noktasında kesişiyor. AD uzunluğu 6 cm olduğuna göre, BD çizgisinin uzunluğunu bulunuz. (Burada bahsedilen şekil, A köşesi dik açı olan bir ABC üçgenidir ve BD, AC'ye diktir.) 🔨
Çözüm:
Bu problemde, A köşesi dik açı olan bir ABC üçgeni ve BD'nin AC'ye dik olması bize iki farklı dik üçgen (ABD ve BDC) ve Öklid bağıntılarını düşündürmelidir. Ancak, 9. sınıf müfredatında sadece Pisagor ve temel Öklid bağıntıları olduğu için, soruyu Pisagor Teoremi üzerinden çözeceğiz.
- 👉 Adım 1: Şekli Tanımlama ve Verilenleri Yerleştirme
A köşesi dik açı olan bir ABC üçgeni hayal edelim.
AB = 10 cm.
AC = 15 cm.
BD, AC'ye diktir (bu durumda BD, ABC üçgeninin yüksekliği değildir, sadece AC kenarına ait bir yüksekliktir ve ABD üçgeni içinde bir dik kenardır).
AD = 6 cm. - 👉 Adım 2: Dik Üçgeni Belirleme
BD çizgisinin uzunluğunu bulmak için, ABD dik üçgenine odaklanalım. Bu üçgende A açısı dik açıdır. - 👉 Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
ABD dik üçgeninde:
Dik kenarlar: AB ve AD.
Hipotenüs: BD (çünkü A açısı dik).
Hayır, burada dikkat! BD, AC'ye dik ise, oluşan dik açı D köşesindedir. Yani ABD üçgeni D köşesinde dik açıdır. Bu durumda AB hipotenüstür. -
💡 Düzeltme: Sorudaki "B noktasından AC kenarına dik olacak şekilde bir çizgi çekerek D noktasında kesişiyor." ifadesi, BD'nin AC'ye dik olduğunu, yani D noktasında bir dik açı olduğunu belirtir. Bu durumda ABD üçgeni, D köşesinde dik açılı bir üçgendir.
Bu durumda:
- AB = 10 cm (Hipotenüs)
- AD = 6 cm (Dik kenar)
- BD = \(x\) cm (Diğer dik kenar)
- 👉 Adım 4: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
\(AD^2 + BD^2 = AB^2\)
\(6^2 + x^2 = 10^2\) - 👉 Adım 5: Denklemi Çözme
\(36 + x^2 = 100\)
\(x^2 = 100 - 36\)
\(x^2 = 64\)
\(x = \sqrt{64}\)
\(x = 8\) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-teoremleri/sorular