💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

• 👉 Adım 1: Dik kenarların uzunlukları \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun. Hipotenüs uzunluğu da \(c\) olsun.
• 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \(a^2 + b^2 = c^2\).
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
• 👉 Adım 4: Karelerini alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
• 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \[ 100 = c^2 \]
• 👉 Adım 6: Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]

✅ Sonuç: Hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. Bu, aynı zamanda özel bir dik üçgen olan "6-8-10 üçgeni"dir. 💡

Dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki adet dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerin dik kenarları dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır ve köşegen de hipotenüstür. Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

• 👉 Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunlukları \(a = 5\) cm ve \(b = 12\) cm olsun. Köşegen uzunluğu da \(c\) olsun.
• 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \(a^2 + b^2 = c^2\).
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
• 👉 Adım 4: Karelerini alalım: \[ 25 + 144 = c^2 \]
• 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \[ 169 = c^2 \]
• 👉 Adım 6: Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{169} \] \[ c = 13 \]

✅ Sonuç: Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 13 cm'dir. Bu da "5-12-13 üçgeni" olarak bilinen özel bir dik üçgendir. 🤩

Bu problemde Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu belirtir.

• 👉 Adım 1: Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunlukları \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm olsun. Yükseklik \(h\) olsun.
• 👉 Adım 2: Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni uygulayalım: \(h^2 = p \cdot k\).
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
• 👉 Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \[ h^2 = 36 \]
• 👉 Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alarak \(h\) değerini bulalım: \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \]

✅ Sonuç: Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. 💡

Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile o kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşit olduğunu söyler.

• 👉 Adım 1: Hipotenüs üzerindeki parçalar BD = \(p = 3\) cm ve DC = \(k = 9\) cm'dir.
• 👉 Adım 2: Hipotenüsün tamamı BC uzunluğu \(p + k = 3 + 9 = 12\) cm'dir.
• 👉 Adım 3: AB kenarının uzunluğu \(c\) olsun. AB kenarına yakın olan parça BD'dir.
• 👉 Adım 4: Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni uygulayalım: \(c^2 = p \cdot (p+k)\).
• 👉 Adım 5: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ c^2 = 3 \cdot (3 + 9) \] \[ c^2 = 3 \cdot 12 \]
• 👉 Adım 6: Çarpma işlemini yapalım: \[ c^2 = 36 \]
• 👉 Adım 7: Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{36} \] \[ c = 6 \]

✅ Sonuç: AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir. 🤩

Bu problemde Tales Teoremi'ni kullanacağız. Tales Teoremi, paralel doğruların bir doğru üzerinde ayırdığı orantılı parçaların, diğer doğru üzerinde de aynı oranda parçalar ayırdığını belirtir.

• 👉 Adım 1: Verilen uzunlukları belirleyelim: AB = 4 cm, BC = 6 cm, DE = 8 cm. EF uzunluğunu \(x\) ile gösterelim.
• 👉 Adım 2: Tales Teoremi'ne göre, kesilen parçaların oranları eşittir: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{8}{x} \]
• 👉 Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\) değerini bulalım: \[ 4 \cdot x = 6 \cdot 8 \] \[ 4x = 48 \]
• 👉 Adım 5: Her iki tarafı 4'e bölelim: \[ x = \frac{48}{4} \] \[ x = 12 \]

✅ Sonuç: EF uzunluğu 12 cm'dir. 💡

Bu problemde yine Tales Teoremi'nin üçgen içindeki uygulamasını kullanacağız. Paralel bir doğru, bir üçgenin kenarlarını orantılı olarak böler.

• 👉 Adım 1: Verilen uzunlukları belirleyelim: AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm. EC uzunluğunu \(x\) ile gösterelim.
• 👉 Adım 2: DE // BC olduğu için Tales Teoremi'ne göre, AB ve AC kenarları üzerindeki parçaların oranları eşittir: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \]
• 👉 Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\) değerini bulalım: \[ 3 \cdot x = 6 \cdot 4 \] \[ 3x = 24 \]
• 👉 Adım 5: Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ x = \frac{24}{3} \] \[ x = 8 \]

✅ Sonuç: EC uzunluğu 8 cm'dir. 🤩

Bu problemde hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid Teoremleri'nden biri olan alan bağıntısını veya yükseklik teoremini (dolaylı yoldan) kullanacağız.

• 👉 Adım 1: Öncelikle Pisagor Teoremi kullanarak hipotenüs AC'nin uzunluğunu bulalım. AB = 6 cm, BC = 8 cm. AC'ye \(c\) diyelim. \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \] \[ c = 10 \] Yani, AC = 10 cm'dir.
• 👉 Adım 2: Şimdi, B noktasından AC'ye indirilen yüksekliğe \(h\) diyelim. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile yüksekliğin çarpımının yarısı şeklinde bulunabilir.
  Alan = \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \)
  Alan = \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \)
• 👉 Adım 3: Bu iki alan ifadesini birbirine eşitleyelim: \[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \] \[ AB \cdot BC = AC \cdot h \]
• 👉 Adım 4: Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \[ 6 \cdot 8 = 10 \cdot h \] \[ 48 = 10h \]
• 👉 Adım 5: Her iki tarafı 10'a bölelim: \[ h = \frac{48}{10} \] \[ h = 4.8 \]

✅ Sonuç: Hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu 4.8 cm'dir. 🚀

Bu senaryo, direk, yer ve kablo arasında bir dik üçgen oluşturur. Direk yere dik olduğu için, direğin yüksekliği ve direğin dibinden kazığa olan uzaklık dik kenarlar, kablonun uzunluğu ise hipotenüs olur. Bu problemi Pisagor Teoremi ile çözebiliriz.

• 👉 Adım 1: Dik kenarların uzunlukları: Direğin yüksekliği \(a = 12\) metre, direğin dibinden kazığa olan uzaklık \(b = 5\) metre. Kablonun uzunluğu \(c\) olsun.
• 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \(a^2 + b^2 = c^2\).
• 👉 Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ 12^2 + 5^2 = c^2 \]
• 👉 Adım 4: Karelerini alalım: \[ 144 + 25 = c^2 \]
• 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \[ 169 = c^2 \]
• 👉 Adım 6: Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{169} \] \[ c = 13 \]

✅ Sonuç: Kablonun uzunluğu 13 metredir. Gördüğünüz gibi, Pisagor Teoremi günlük hayatta pek çok alanda karşımıza çıkabilir! 👷‍♂️