🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor teoremi konu anlatımı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor teoremi konu anlatımı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılarla ilgili bir soru çözelim.
Şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. Bir d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. d3 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, d3 doğrusunun d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan iç ters açı kaç derecedir? 💡
Şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. Bir d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. d3 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, d3 doğrusunun d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan iç ters açı kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- İç ters açıları hatırlayalım: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu, zıt yönlü ve iç tarafta kalan açılardır.
- İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Verilen açı \( 70^\circ \) ise, onunla iç ters açı olan açı da \( 70^\circ \) olacaktır.
- Dolayısıyla, d3 doğrusunun d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan iç ters açı \( 70^\circ \)'dir. ✅
Örnek 2:
Tales teoreminin temel prensibini anlamak için basit bir örnek yapalım.
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan bir ışın üzerinde D noktası, AB kenarı üzerinde E noktası ve AC kenarı üzerinde F noktası alalım. Eğer DE doğrusu BC kenarına paralel ise ve \( AE = 2 \cdot EB \) ise, \( AF \) uzunluğunun \( FC \) uzunluğuna oranı nedir? 🤔
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan bir ışın üzerinde D noktası, AB kenarı üzerinde E noktası ve AC kenarı üzerinde F noktası alalım. Eğer DE doğrusu BC kenarına paralel ise ve \( AE = 2 \cdot EB \) ise, \( AF \) uzunluğunun \( FC \) uzunluğuna oranı nedir? 🤔
Çözüm:
- Tales teoremi, paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu orantılı doğru parçalarıyla ilgilidir.
- Burada, DE'nin BC'ye paralel olması, ABC üçgeninde benzerlik oluşturur.
- Verilen \( AE = 2 \cdot EB \) bilgisini kullanarak \( \frac{AE}{EB} = 2 \) diyebiliriz.
- Tales teoremine göre, eğer DE || BC ise, kenarlar üzerindeki orantılar aynıdır: \( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \).
- Bu durumda, \( \frac{AF}{FC} = 2 \) olur. Yani, \( AF \) uzunluğu \( FC \) uzunluğunun 2 katıdır. 👉
Örnek 3:
Öklid'in dik üçgenlerdeki yüksekliği kullanarak elde ettiği bağıntıları uygulayalım.
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \)'dir. C köşesinden hipotenüs AB'ye bir dikme indirildiğinde, bu dikme AB'yi D noktasında keser. Eğer \( CD = 6 \) birim ve \( AD = 3 \) birim ise, \( BD \) uzunluğu kaç birimdir? 📐
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \)'dir. C köşesinden hipotenüs AB'ye bir dikme indirildiğinde, bu dikme AB'yi D noktasında keser. Eğer \( CD = 6 \) birim ve \( AD = 3 \) birim ise, \( BD \) uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
- Öklid'in yükseklik bağıntısı şöyledir: Dikten indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \cdot k \).
- Bu problemde \( h = CD = 6 \), \( p = AD = 3 \) ve \( k = BD \) olarak veriliyor.
- Formülü uygulayalım: \( CD^2 = AD \cdot BD \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 = 3 \cdot BD \).
- Bu da \( 36 = 3 \cdot BD \) demektir.
- BD'yi bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim: \( BD = \frac{36}{3} = 12 \).
- Dolayısıyla, \( BD \) uzunluğu 12 birimdir. ✅
Örnek 4:
Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenin kenar uzunluğunu bulalım.
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 8 cm, diğeri ise 15 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 8 cm, diğeri ise 15 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Burada \( a = 8 \) cm ve \( b = 15 \) cm'dir. Hipotenüs \( c \) uzunluğunu arıyoruz.
- Teoremi uygulayalım: \( 8^2 + 15^2 = c^2 \).
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 225 = c^2 \).
- Toplamı bulalım: \( 289 = c^2 \).
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için 289'un karekökünü alalım: \( c = \sqrt{289} \).
- \( c = 17 \) cm'dir.
- Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 17 cm'dir. 🌟
Örnek 5:
Bir parkta bulunan iki bankın konumunu ve aralarındaki mesafeyi Pisagor teoremi ile hesaplayalım.
Bir parkın düz bir zemininde, bir A noktasında bir bank ve B noktasında başka bir bank bulunmaktadır. A bankından kuzeye doğru 12 metre gidildiğinde C noktasına, C noktasından doğuya doğru 5 metre gidildiğinde ise B bankının bulunduğu noktaya ulaşılmaktadır. A ve B bankları arasındaki kuş uçuşu mesafe (doğrudan uzaklık) kaç metredir? 🌳
Bir parkın düz bir zemininde, bir A noktasında bir bank ve B noktasında başka bir bank bulunmaktadır. A bankından kuzeye doğru 12 metre gidildiğinde C noktasına, C noktasından doğuya doğru 5 metre gidildiğinde ise B bankının bulunduğu noktaya ulaşılmaktadır. A ve B bankları arasındaki kuş uçuşu mesafe (doğrudan uzaklık) kaç metredir? 🌳
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. A noktasından çıkan kuzey yönü bir dik kenarı, C noktasından çıkan doğu yönü ise diğer dik kenarı oluşturur.
- A'dan C'ye olan mesafe \( AC = 12 \) metredir.
- C'den B'ye olan mesafe \( CB = 5 \) metredir.
- A ve B arasındaki kuş uçuşu mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
- Pisagor teoremini kullanalım: \( AC^2 + CB^2 = AB^2 \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = AB^2 \).
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = AB^2 \).
- Toplamı bulalım: \( 169 = AB^2 \).
- AB'yi bulmak için 169'un karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{169} \).
- \( AB = 13 \) metredir.
- A ve B bankları arasındaki kuş uçuşu mesafe 13 metredir. 🚶♀️🚶♂️
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisinin bir binanın temelini tasarlarken Tales teoremini nasıl kullanabileceğini görelim.
Mühendis, bir binanın ön cephesine paralel olarak iki dikey kolon yerleştirecektir. Bu kolonların arasındaki mesafeyi, ön cepheye paralel bir ip yardımıyla ölçmek istemektedir. İpin bir ucunu birinci kolonun tepesine, diğer ucunu ise ikinci kolonun tepesine bağlar. İpin orta noktasından (uzunluk olarak) ön cepheye paralel bir çizgi çizdiğinde, bu çizginin kolonlar arasındaki mesafeyi böldüğü noktalar arasındaki uzaklık ne olur? 🏗️
Mühendis, bir binanın ön cephesine paralel olarak iki dikey kolon yerleştirecektir. Bu kolonların arasındaki mesafeyi, ön cepheye paralel bir ip yardımıyla ölçmek istemektedir. İpin bir ucunu birinci kolonun tepesine, diğer ucunu ise ikinci kolonun tepesine bağlar. İpin orta noktasından (uzunluk olarak) ön cepheye paralel bir çizgi çizdiğinde, bu çizginin kolonlar arasındaki mesafeyi böldüğü noktalar arasındaki uzaklık ne olur? 🏗️
Çözüm:
- Bu durumu bir yamuk olarak düşünebiliriz. Kolonlar birbirine paraleldir ve ön cephe de onlara paraleldir.
- İpin orta noktasından çizilen çizgi, yamuğun orta tabanıdır.
- Tales teoreminin bir sonucu olarak, yamuğun orta tabanının uzunluğu, üst ve alt taban uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.
- Eğer kolonların uzunlukları \( a \) ve \( b \) ise, ön cephe uzunluğu \( c \) ise, ipin orta noktasından çizilen çizginin uzunluğu \( \frac{a+b}{2} \) olacaktır.
- Soruda, bu çizginin kolonlar arasındaki mesafeyi böldüğü noktalar arasındaki uzaklık soruluyor. Bu, aslında ipin kendisinin uzunluğunun yarısıdır.
- Eğer ipin uzunluğu \( L \) ise, bu uzaklık \( \frac{L}{2} \) olacaktır.
- Bu, mühendisin, ipin uzunluğunu ölçerek kolonlar arasındaki mesafeyi dolaylı olarak bulabileceği anlamına gelir. 📏
Örnek 7:
Bir dik üçgenin kenarları arasında Öklid'in kenar bağıntılarını uygulayalım.
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \)'dir. C köşesinden hipotenüs AB'ye indirilen dikme D noktasında hipotenüsü keser. Eğer \( AC = 6 \) birim ve \( AB = 10 \) birim ise, \( BC \) kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📏
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \)'dir. C köşesinden hipotenüs AB'ye indirilen dikme D noktasında hipotenüsü keser. Eğer \( AC = 6 \) birim ve \( AB = 10 \) birim ise, \( BC \) kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Önce Pisagor teoremini kullanarak \( BC \) kenarını bulabiliriz. \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + BC^2 = 10^2 \).
- \( 36 + BC^2 = 100 \).
- \( BC^2 = 100 - 36 = 64 \).
- \( BC = \sqrt{64} = 8 \) birimdir.
- Şimdi Öklid'in kenar bağıntısını kullanalım: Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçanın (kenarın hipotenüse olan izdüşümü) hipotenüsün tamamıyla çarpımına eşittir.
- Yani, \( AC^2 = AD \cdot AB \) ve \( BC^2 = BD \cdot AB \).
- \( AC^2 = AD \cdot AB \) bağıntısını kullanarak \( AD \) uzunluğunu bulalım: \( 6^2 = AD \cdot 10 \implies 36 = 10 \cdot AD \implies AD = 3.6 \) birim.
- Hipotenüs üzerindeki parçalardan biri \( AD = 3.6 \) ise, diğeri \( BD = AB - AD = 10 - 3.6 = 6.4 \) birim olur.
- Şimdi \( BC^2 = BD \cdot AB \) bağıntısını kontrol edelim: \( BC^2 = 6.4 \cdot 10 = 64 \).
- \( BC = \sqrt{64} = 8 \) birim. Bu, daha önce bulduğumuz sonuçla uyumludur. ✅
Örnek 8:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki mesafeyi ölçek kullanarak hesaplayalım.
Bir haritanın ölçeği 1:500.000'dir. Harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki mesafe 8 cm olarak ölçülmüştür. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Bir haritanın ölçeği 1:500.000'dir. Harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki mesafe 8 cm olarak ölçülmüştür. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
- Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçek uzunluğa oranını gösterir.
- Ölçek 1:500.000 demek, haritada 1 birim olan bir uzunluğun gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Harita üzerindeki mesafe 8 cm'dir.
- Gerçek mesafeyi bulmak için bu 8 cm'yi ölçekle çarparız: Gerçek Mesafe (cm) = \( 8 \text{ cm} \times 500.000 \).
- Gerçek Mesafe = \( 4.000.000 \) cm.
- Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 kilometre = 1000 metre ve 1 metre = 100 cm'dir. Dolayısıyla, 1 kilometre = \( 1000 \times 100 = 100.000 \) cm'dir.
- Gerçek mesafeyi kilometreye çevirmek için cm cinsinden bulduğumuz değeri 100.000'e böleriz: Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{4.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \).
- Gerçek Mesafe = \( 40 \) km.
- A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe 40 kilometredir. 🚗💨
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-pisagor-teoremi-konu-anlatimi/sorular