💡 9. Sınıf Matematik: Sayılar Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için sayı kümelerinin tanımlarını hatırlayalım: 💡

• Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\)): Negatif doğal sayılar, sıfır ve pozitif doğal sayılardan oluşan kümedir. Örn: \(..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\)
• Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\)): \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Örn: \( \frac{1}{2}, -3, 0.75 \)
• İrrasyonel Sayılar (\(\mathbb{I}\)): Rasyonel olmayan, yani \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamayan sayılardır. Genellikle virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz devam eden sayılardır. Örn: \( \sqrt{2}, \pi \)

Şimdi seçenekleri inceleyelim: 👇

• A) \( \sqrt{3} \): İrrasyonel sayıdır, tam sayı değildir.
• B) \( -5 \): Bir tam sayıdır. Aynı zamanda \( \frac{-5}{1} \) şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayıdır. ✅
• C) \( \pi \): İrrasyonel sayıdır, tam sayı değildir.
• D) \( 0.2345... \) (devirli olmayan): İrrasyonel sayıdır, tam sayı değildir.
• E) \( \frac{2}{7} \): Rasyonel sayıdır fakat tam sayı değildir.

Doğru cevap B seçeneğidir.

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için 📌 sayının rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. Verilen sayı \( 5x41y \) olduğuna göre, rakamları toplamını bulalım:

• Rakamlar toplamı: \( 5 + x + 4 + 1 + y = 10 + x + y \)

Bu toplamın 3'ün katı olması gerekiyor. Yani, \( 10 + x + y = 3k \) olmalıdır (burada \( k \) bir tam sayıdır). Bizden \( x+y \) toplamının en az değeri isteniyor. 💡 \( x \) ve \( y \) birer rakam olduğu için alabilecekleri en küçük değer 0'dır. \( x+y \) toplamının en küçük değerini bulmak için \( 10 + x + y \) ifadesinin 10'dan büyük en küçük 3'ün katı olmasını sağlamalıyız.

• 3'ün katları: \( 3, 6, 9, 12, 15, ... \)
• \( 10 + x + y \) ifadesinin 10'dan büyük en küçük 3'ün katı 12'dir.
• Yani, \( 10 + x + y = 12 \) olmalıdır.
• Buradan \( x + y = 12 - 10 \)
• \( x + y = 2 \) bulunur. ✅

Bu durumda \( x+y \) toplamı en az 2 olabilir. Örneğin \( x=0, y=2 \) veya \( x=1, y=1 \) gibi.

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanırız. 💡 Adım adım \( 120 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 120 \div 2 = 60 \)
• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Buna göre, \( 120 \) sayısının asal çarpanları: \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklindedir. Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için 📌 asal çarpanların üslerini birer artırarak çarparız.

• \( 2^3 \) için üs \( 3 \), bir fazlası \( 3+1=4 \)
• \( 3^1 \) için üs \( 1 \), bir fazlası \( 1+1=2 \)
• \( 5^1 \) için üs \( 1 \), bir fazlası \( 1+1=2 \)

Şimdi bu değerleri çarpalım: \[ \text{Pozitif Bölen Sayısı} = (3+1) \times (1+1) \times (1+1) \] \[ \text{Pozitif Bölen Sayısı} = 4 \times 2 \times 2 \] \[ \text{Pozitif Bölen Sayısı} = 16 \] Yani, \( 120 \) sayısının 16 tane pozitif tam sayı böleni vardır. ✅

Bu tür problemlerde, eşit aralıklarla yerleştirme ve en az fidan/parça sayısı gibi ifadeler genellikle EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kullanmamız gerektiğini gösterir. 🌳 Fidanlar arasındaki mesafenin mümkün olduğunca büyük olması gerekir ki fidan sayısı en az olsun. Bu mesafe, hem \( 36 \) cm'nin hem de \( 48 \) cm'nin ortak böleni olmalıdır. \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının EBOB'unu bulalım: 👇

• Asal çarpanlara ayıralım:
• \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
• \( 48 = 2^4 \times 3^1 \)

EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarının çarpımıdır: \[ \text{EBOB}(36, 48) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \] Demek ki fidanlar arasındaki mesafe \( 12 \) cm olmalıdır. 📌 Şimdi tarlanın çevresini bulup bu mesafeye bölelim. Dikdörtgenin çevresi = \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \) \[ \text{Çevre} = 2 \times (48 + 36) \] \[ \text{Çevre} = 2 \times 84 \] \[ \text{Çevre} = 168 \text{ cm} \] Gerekli fidan sayısı = \( \text{Çevre} \div \text{Fidan Aralığı} \) \[ \text{Fidan Sayısı} = \frac{168}{12} \] \[ \text{Fidan Sayısı} = 14 \] Bu iş için en az 14 fidana ihtiyaç vardır. ✅

Adım adım işlemleri uygulayalım: 🚶‍♀️ Başlangıç sayısı: \( 8 \)
1. Adım:

• Sayı \( 8 \). \( 8 \) çift bir sayıdır.
• Kurala göre yarısını alırız: \( 8 \div 2 = 4 \)
• İlk işlem sonunda sayı \( 4 \) oldu.

2. Adım:

• Sayı \( 4 \). \( 4 \) çift bir sayıdır.
• Kurala göre yarısını alırız: \( 4 \div 2 = 2 \)
• İkinci işlem sonunda sayı \( 2 \) oldu.

3. Adım:

• Sayı \( 2 \). \( 2 \) çift bir sayıdır.
• Kurala göre yarısını alırız: \( 2 \div 2 = 1 \)
• Üçüncü işlem sonunda sayı \( 1 \) oldu. ✅

Bu oyuncu, 3 kez işlem uyguladığında son durumda 1 sayısını elde eder.

İki rasyonel sayı arasındaki sayıyı bulmak için, verilen sayıların paydalarını eşitleyerek karşılaştırma yapmak en kolay yoldur. 💡 Verilen sayılar \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{1}{2} \). Bu iki sayının paydalarını ortak bir katta, örneğin 6'da eşitleyelim:

• \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)

Şimdi \( \frac{2}{6} \) ile \( \frac{3}{6} \) arasında bir sayı arıyoruz. Bu aralık oldukça dar, bu yüzden pay ve paydayı daha büyük bir sayı ile genişletelim. Örneğin 30'da eşitleyelim:

• \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} = \frac{10}{30} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 15} = \frac{15}{30} \)

Şimdi seçenekleri de 30 paydasında yazalım ve \( \frac{10}{30} \) ile \( \frac{15}{30} \) arasına düşen sayıyı bulalım: 👇

• A) \( \frac{1}{4} \): Paydayı 30 yapmak için uygun değil, 60'ta eşitleyelim. \( \frac{15}{60} \). \( \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \), \( \frac{1}{2} = \frac{30}{60} \). \( \frac{15}{60} \) bu aralığın dışında kalır.
• B) \( \frac{2}{5} \): Paydayı 30 yapmak için \( \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30} \)
• C) \( \frac{3}{4} \): Paydayı 30 yapmak için uygun değil, 60'ta eşitleyelim. \( \frac{45}{60} \). Bu aralığın dışında kalır.
• D) \( \frac{1}{6} \): Paydayı 30 yapmak için \( \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30} \). Bu aralığın dışında kalır.
• E) \( \frac{5}{6} \): Paydayı 30 yapmak için \( \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30} \). Bu aralığın dışında kalır.

Görüldüğü üzere, \( \frac{10}{30} < \frac{12}{30} < \frac{15}{30} \) olduğundan, \( \frac{2}{5} \) sayısı \( \frac{1}{3} \) ile \( \frac{1}{2} \) arasındadır. ✅ Doğru cevap B seçeneğidir.

Bu problemde, ürünleri eşit büyüklükteki kasalara ayırmak ve en az sayıda kasa kullanmak istendiği için EBOB (En Büyük Ortak Bölen) bulmamız gerekir. 📦 Kasaların alacağı ürün miktarının mümkün olduğunca büyük olması gerekir ki kasa sayısı en az olsun. Bu miktar, hem \( 240 \) kg'ın hem de \( 180 \) kg'ın ortak böleni olmalıdır. \( 240 \) ve \( 180 \) sayılarının EBOB'unu bulalım: 👇

• Asal çarpanlara ayıralım:
• \( 240 = 24 \times 10 = (2^3 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \)
• \( 180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarının çarpımıdır: \[ \text{EBOB}(240, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \] Çiftçi, kasaların her birine \( 60 \) kg ürün koymalıdır. 📌 Bu durumda:

• Domates için: \( 240 \div 60 = 4 \) kasa
• Biber için: \( 180 \div 60 = 3 \) kasa
• Toplamda \( 4 + 3 = 7 \) kasa kullanmış olur ki bu, en az kasa sayısıdır. ✅

Bu soruyu çözmek için ondalık sayılarla çarpma işlemi yapıp sonucu rasyonel sayıya çevireceğiz. 🍎

• Elmaların kilogram fiyatı: \( 12.50 \) TL
• Alınan elma miktarı: \( 3 \) kg

Ali Bey'in ödediği toplam tutarı bulalım: \[ \text{Toplam Tutar} = 12.50 \times 3 \] \[ \text{Toplam Tutar} = 37.50 \text{ TL} \] Şimdi \( 37.50 \) sayısını rasyonel sayı olarak ifade edelim. 💡 Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken, sayının virgülsüz halini paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren 10'un kuvvetini paydaya yazarız. \( 37.50 \) sayısının virgülden sonra iki basamağı olduğu için paydaya \( 100 \) yazılır: \[ 37.50 = \frac{3750}{100} \] Bu rasyonel sayıyı sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı 10'a bölelim: \[ \frac{3750}{100} = \frac{375}{10} \] Şimdi her iki tarafı 5'e bölelim: \[ \frac{375 \div 5}{10 \div 5} = \frac{75}{2} \] Sonuç olarak, Ali Bey'in ödediği toplam tutar rasyonel sayı olarak \( \frac{75}{2} \) TL'dir. ✅