📄 9. Sınıf Matematik: Sayı Kümelerinin Kapalılık Özelliği Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir kümenin belirli bir işleme göre kapalı olması için, o kümeden alınan herhangi iki elemanla yapılan işlemin sonucunun yine o kümenin bir elemanı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi \(N = \{0, 1, 2, 3, ...\}\) şeklindedir. Çıkarma işlemi için kapalılığı inceleyelim:
Örnek 1: \(5 \in N\) ve \(3 \in N\) için \(5 - 3 = 2\). \(2\) bir doğal sayıdır. Bu örnek kapalılığı bozmaz.
Örnek 2: \(3 \in N\) ve \(5 \in N\) için \(3 - 5 = -2\). \(-2\) bir doğal sayı değildir. \(-2\) tam sayılar kümesinin bir elemanıdır, ancak doğal sayılar kümesinin dışındadır.
Bu tek bir karşı örnek bile doğal sayılar kümesinin çıkarma işlemine göre kapalı olmadığını göstermek için yeterlidir. Dolayısıyla, doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir.

💡 Çözüm Adımları:

Rasyonel sayılar kümesi \(Q\), \(a, b\) tam sayılar ve \(b
eq 0\) olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen tüm sayıların kümesidir. \(Q\) kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu göstermek için, \(Q\) kümesinden alınan herhangi iki rasyonel sayının toplamının yine bir rasyonel sayı olduğunu ispatlamamız gerekir.
İki rasyonel sayı alalım: \(x = \frac{a}{b}\) ve \(y = \frac{c}{d}\), burada \(a, b, c, d \in Z\) ve \(b
eq 0, d
eq 0\) olsun.
Bu iki sayıyı toplayalım:
\[x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d}\]
Paydaları eşitlemek için genişletme yaparız:
\[x + y = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}\]
Sonucun \(\frac{ad + cb}{bd}\) olduğunu görüyoruz. Şimdi bu sonucun rasyonel sayı tanımına uyup uymadığını kontrol edelim:
1. Pay \((ad + cb)\): \(a, b, c, d\) tam sayılar olduğu için, tam sayıların çarpımı ve toplamı daima bir tam sayıdır. Dolayısıyla \((ad + cb)\) bir tam sayıdır.
2. Payda \((bd)\): \(b\) ve \(d\) sıfırdan farklı tam sayılar olduğu için, çarpımları olan \(bd\) de sıfırdan farklı bir tam sayıdır.
Bu durumda, \(\frac{ad + cb}{bd}\) ifadesi, payı tam sayı ve paydası sıfırdan farklı bir tam sayı olan bir kesir olduğu için rasyonel sayı tanımına uyar. Yani \(x+y \in Q\) olur.
Örnek: \(\frac{1}{2} \in Q\) ve \(\frac{1}{3} \in Q\) için \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\). \(\frac{5}{6}\) de bir rasyonel sayıdır.

💡 Çözüm Adımları:

Çarpma işlemi açısından kapalılık özelliği, bir kümenin herhangi iki elemanının çarpımının yine o kümenin bir elemanı olması durumudur.

1. Doğal Sayılar Kümesi \(N\) ve Çarpma İşlemi:
Doğal sayılar kümesi \(N = \{0, 1, 2, 3, ...\}\) şeklindedir. \(N\) kümesinden alınan herhangi iki doğal sayının çarpımı daima bir doğal sayıdır.
Örnek 1: \(5 \in N\) ve \(7 \in N\) için \(5 \times 7 = 35\). \(35\) bir doğal sayıdır.
Örnek 2: \(0 \in N\) ve \(10 \in N\) için \(0 \times 10 = 0\). \(0\) bir doğal sayıdır.
Bu ve benzeri tüm örnekler gösterir ki, doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

2. Tam Sayılar Kümesi \(Z\) ve Çarpma İşlemi:
Tam sayılar kümesi \(Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\) şeklindedir. \(Z\) kümesinden alınan herhangi iki tam sayının çarpımı daima bir tam sayıdır.
Örnek 1: \(5 \in Z\) ve \(7 \in Z\) için \(5 \times 7 = 35\). \(35\) bir tam sayıdır.
Örnek 2: \(-3 \in Z\) ve \(4 \in Z\) için \(-3 \times 4 = -12\). \(-12\) bir tam sayıdır.
Örnek 3: \(-2 \in Z\) ve \(-6 \in Z\) için \(-2 \times (-6) = 12\). \(12\) bir tam sayıdır.
Bu örnekler ve tam sayıların çarpımının tanımı gereği, tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Karşılaştırma:
Hem doğal sayılar kümesi \(N\) hem de tam sayılar kümesi \(Z\) çarpma işlemine göre kapalıdır. Bu özellik her iki küme için de sağlanır. Çünkü doğal sayılar, tam sayıların bir alt kümesi olup, çarpma işlemi her iki küme için de sonuçları kendi içinde tutar. Negatif sayıların çarpımı da tam sayılar kümesinde kalırken, doğal sayılar kümesinde negatif sayı olmadığı için bu durum doğal sayılar için bir sorun teşkil etmez.