🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklid Teoremlerinin Ortaya Çıkışı Ve Uygulamaları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklid Teoremlerinin Ortaya Çıkışı Ve Uygulamaları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Hipotenüsü \( c \), dik kenarları \( a \) ve \( b \) olarak adlandıralım.
Hipotenüsü \( c \), dik kenarları \( a \) ve \( b \) olarak adlandıralım.
- 👉 Verilen dik kenarlar: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Dik kenarların karelerini alalım.
\( 6^2 = 36 \)
\( 8^2 = 64 \) - 2. Adım: Karelerin toplamını bulalım.
\( 36 + 64 = 100 \) - 3. Adım: Hipotenüsün karesini bulduğumuz için, hipotenüsü bulmak için karekök alalım.
\( c^2 = 100 \)
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm - Sonuç: Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. 💡
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlarından biri 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız, ancak bu sefer bilinmeyen bir dik kenar.
Hipotenüs \( c \), dik kenarlar \( a \) ve \( b \) olsun.
Hipotenüs \( c \), dik kenarlar \( a \) ve \( b \) olsun.
- 👉 Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) cm, dik kenarlardan biri \( a = 5 \) cm.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( 5^2 + b^2 = 13^2 \) - 2. Adım: Kareleri hesaplayalım.
\( 25 + b^2 = 169 \) - 3. Adım: \( b^2 \) değerini yalnız bırakmak için 25'i eşitliğin diğer tarafına atalım.
\( b^2 = 169 - 25 \)
\( b^2 = 144 \) - 4. Adım: \( b \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( b = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \) cm - Sonuç: Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. 🚀
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, B köşesinden AC hipotenüsüne indirilen yüksekliğin ayağı H olsun. Eğer BH yüksekliği 6 cm, AH uzunluğu 4 cm ise, HC uzunluğunu bulunuz. (B açısı 90 derecedir.) 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. Öklid Teoremleri, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklikle ilgili bağıntıları ifade eder.
Yüksekliği \( h \), hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaları \( p \) ve \( k \) olarak adlandıralım.
Yüksekliği \( h \), hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaları \( p \) ve \( k \) olarak adlandıralım.
- 👉 Verilenler: Yükseklik \( BH = h = 6 \) cm, hipotenüs üzerindeki bir parça \( AH = p = 4 \) cm.
- ✅ Öklid Yükseklik Teoremi formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( 6^2 = 4 \cdot HC \) - 2. Adım: Kareyi hesaplayalım.
\( 36 = 4 \cdot HC \) - 3. Adım: \( HC \) değerini bulmak için 36'yı 4'e bölelim.
\( HC = \frac{36}{4} \)
\( HC = 9 \) cm - Sonuç: HC uzunluğu 9 cm'dir. 💡
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde (B açısı 90 derece), B köşesinden AC hipotenüsüne indirilen yükseklik ayağı H'dir. AB kenar uzunluğu 10 cm, AH uzunluğu 8 cm olduğuna göre, hipotenüs AC'nin uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Kenar Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik kenarların karesinin, hipotenüsün tamamı ile hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçasının çarpımına eşit olduğunu belirtir.
Dik kenarı \( c \), hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçayı \( p \) ve hipotenüsün tamamını \( a \) olarak adlandıralım.
Dik kenarı \( c \), hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçayı \( p \) ve hipotenüsün tamamını \( a \) olarak adlandıralım.
- 👉 Verilenler: Dik kenar \( AB = c = 10 \) cm, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parça \( AH = p = 8 \) cm.
- ✅ Öklid Kenar Teoremi formülü: \( c^2 = p \cdot a \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( 10^2 = 8 \cdot AC \) - 2. Adım: Kareyi hesaplayalım.
\( 100 = 8 \cdot AC \) - 3. Adım: \( AC \) değerini bulmak için 100'ü 8'e bölelim.
\( AC = \frac{100}{8} \)
\( AC = \frac{25}{2} \)
\( AC = 12.5 \) cm - Sonuç: Hipotenüs AC'nin uzunluğu 12.5 cm'dir. 📌
Örnek 5:
Bir duvara dayalı 15 metre uzunluğundaki bir merdivenin ayağı, duvardan 9 metre uzaklıktadır. Merdivenin üst ucu, duvarda yerden kaç metre yükseklikte bulunmaktadır? 🪜
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.
- 👉 Merdiven, dik üçgenin hipotenüsüdür. (\( c = 15 \) metre)
- 👉 Merdiven ayağının duvara uzaklığı, dik kenarlardan biridir. (\( a = 9 \) metre)
- 👉 Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik, diğer dik kenardır. (\( b = ? \))
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( 9^2 + b^2 = 15^2 \) - 2. Adım: Kareleri hesaplayalım.
\( 81 + b^2 = 225 \) - 3. Adım: \( b^2 \) değerini yalnız bırakalım.
\( b^2 = 225 - 81 \)
\( b^2 = 144 \) - 4. Adım: \( b \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( b = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \) metre - Sonuç: Merdivenin üst ucu, duvarda yerden 12 metre yükseklikte bulunmaktadır. ✅
Örnek 6:
Şekilde verilen iki dik üçgenden oluşan bir yapıda, bir kenarı ortak kullanılmıştır. Birinci dik üçgenin dik kenarları 7 cm ve 24 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü, ikinci dik üçgenin dik kenarlarından biridir. İkinci dik üçgenin diğer dik kenarı 10 cm ise, ikinci dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🏗️
Çözüm:
Bu problemde iki ayrı Pisagor Teoremi uygulaması yapacağız.
- Öncelikle birinci dik üçgenin hipotenüsünü bulmalıyız. Bu hipotenüs, ikinci üçgenin bir dik kenarı olacak.
- Birinci üçgenin dik kenarları \( a_1 = 7 \) cm ve \( b_1 = 24 \) cm olsun. Hipotenüsü \( c_1 \) olsun.
- ✅ Pisagor Teoremi: \( a_1^2 + b_1^2 = c_1^2 \)
- Hesaplama adımları (Birinci üçgen):
- 1. Adım: \( 7^2 + 24^2 = c_1^2 \)
- 2. Adım: \( 49 + 576 = c_1^2 \)
- 3. Adım: \( 625 = c_1^2 \)
\( c_1 = \sqrt{625} \)
\( c_1 = 25 \) cm - Şimdi bu \( c_1 = 25 \) cm değeri, ikinci dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- İkinci üçgenin dik kenarları \( a_2 = 25 \) cm ve \( b_2 = 10 \) cm olsun. Hipotenüsü \( c_2 \) olsun.
- ✅ Pisagor Teoremi: \( a_2^2 + b_2^2 = c_2^2 \)
- Hesaplama adımları (İkinci üçgen):
- 1. Adım: \( 25^2 + 10^2 = c_2^2 \)
- 2. Adım: \( 625 + 100 = c_2^2 \)
- 3. Adım: \( 725 = c_2^2 \)
\( c_2 = \sqrt{725} \) - 4. Adım: Kök dışına çıkarma (725 = 25 * 29).
\( c_2 = \sqrt{25 \cdot 29} \)
\( c_2 = 5\sqrt{29} \) cm - Sonuç: İkinci dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( 5\sqrt{29} \) cm'dir. 💡
Örnek 7:
Bir futbol sahasının boyutları 60 metreye 80 metredir. Bir futbolcu, sahanın bir köşesinden tam karşı köşesine koşarak gitmek istiyor. Bu futbolcunun en kısa mesafeyi katetmesi için kaç metre koşması gerekir? ⚽
Çözüm:
Bu problem, bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulma problemidir ve Pisagor Teoremi ile çözülür. Dikdörtgenin köşegeni, iki dik üçgen oluşturur.
- 👉 Sahanın uzun kenarı ve kısa kenarı, dik üçgenin dik kenarlarıdır.
- 👉 Sahanın köşegeni, dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 60 \) metre ve \( b = 80 \) metre.
- Aranan: Hipotenüs \( c \) (en kısa mesafe).
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( 60^2 + 80^2 = c^2 \) - 2. Adım: Kareleri hesaplayalım.
\( 3600 + 6400 = c^2 \) - 3. Adım: Toplamı bulalım.
\( 10000 = c^2 \) - 4. Adım: \( c \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( c = \sqrt{10000} \)
\( c = 100 \) metre - Sonuç: Futbolcunun en kısa mesafeyi katetmesi için 100 metre koşması gerekir. Bu, sahanın köşegen uzunluğudur. 🏃♂️
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde (B açısı 90 derece), B'den AC'ye indirilen yükseklik BH'dir. Eğer hipotenüsün tamamı AC = 15 cm ve HC = 12 cm ise, AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
- 👉 Verilenler: Hipotenüsün tamamı \( AC = a = 15 \) cm, hipotenüs üzerindeki bir parça \( HC = k = 12 \) cm.
- 👉 Aranan: Dik kenar \( AB = c \).
- Öncelikle, hipotenüsün diğer parçası olan \( AH \) uzunluğunu bulalım:
\( AH = AC - HC \)
\( AH = 15 - 12 \)
\( AH = 3 \) cm. - Şimdi AB kenarı için Öklid Kenar Teoremi'ni kullanalım. AB kenarı, hipotenüs üzerindeki AH parçasıyla ilişkilidir.
- ✅ Öklid Kenar Teoremi formülü: \( c^2 = p \cdot a \) (Burada \( c \) AB kenarı, \( p \) AH parçası ve \( a \) AC hipotenüsüdür.)
- Hesaplama adımları:
- 1. Adım: Bilinen değerleri formülde yerine yazalım.
\( AB^2 = AH \cdot AC \) - 2. Adım: Değerleri yerine koyalım.
\( AB^2 = 3 \cdot 15 \) - 3. Adım: Çarpımı hesaplayalım.
\( AB^2 = 45 \) - 4. Adım: \( AB \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( AB = \sqrt{45} \)
\( AB = \sqrt{9 \cdot 5} \)
\( AB = 3\sqrt{5} \) cm - Sonuç: AB kenarının uzunluğu \( 3\sqrt{5} \) cm'dir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ve-oklid-teoremlerinin-ortaya-cikisi-ve-uygulamalari/sorular