🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklid ve Tales Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklid ve Tales Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Dik kenarlarımız \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun. Hipotenüs uzunluğu ise \(c\) olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
- Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \(c = \sqrt{100}\)
- Sonuç: \(c = 10\) cm
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açının olduğu köşe B'dir. AC kenarı 13 cm ve BC kenarı 5 cm'dir. Buna göre AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklar.
- Dik üçgenimiz ABC ve dik açı B'de.
- Hipotenüs AC kenarıdır, yani \(c = 13\) cm.
- Dik kenarlardan biri BC kenarıdır, yani \(a = 5\) cm.
- Diğer dik kenar AB'dir, yani \(b\) uzunluğunu bulmalıyız.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(25 + b^2 = 169\)
- \(b^2\) yalnız bırakalım: \(b^2 = 169 - 25\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 144\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{144}\)
- Sonuç: \(b = 12\) cm
Örnek 3:
Bir merdiven, yüksekliği 8 metre olan bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara dayanan ucunun duvardan uzaklığı 6 metredir. Merdivenin boyu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin boyu hipotenüs, duvarın yüksekliği ve merdivenin duvara olan uzaklığı ise dik kenarlar olarak düşünülebilir. Pisagor Teoremi ile merdivenin boyunu bulabiliriz.
- Duvarın yüksekliği (bir dik kenar): \(a = 8\) m
- Merdivenin duvara uzaklığı (diğer dik kenar): \(b = 6\) m
- Merdivenin boyu (hipotenüs): \(c\)
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(8^2 + 6^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(64 + 36 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
- Sonuç: \(c = 10\) m
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 4 cm, BC kenarı 6 cm ve A açısı ile C açısının ölçüleri \( \alpha \) ve \( \gamma \) olsun. Eğer bu üçgen bir dik üçgen ise ve B açısı dik açı değilse, bu teoremlerden hangisi kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösterir? 🧐
Çözüm:
Kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi gösteren teorem, Pisagor Teoremi'dir. Ancak, soruda B açısının dik açı olmadığı belirtilmiş.
- Eğer A açısı dik açı olsaydı, BC kenarı hipotenüs olurdu ve \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) ilişkisi geçerli olurdu.
- Eğer C açısı dik açı olsaydı, AB kenarı hipotenüs olurdu ve \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) ilişkisi geçerli olurdu.
- Ancak, soruda B açısının dik açı olmadığı belirtilmiş. Bu durumda, eğer üçgen dik ise, dik açı A veya C köşesindedir.
- Eğer A açısı \(90^\circ\) ise, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) yani \(4^2 + AC^2 = 6^2\) olurdu. Bu durumda \(AC^2 = 36 - 16 = 20\) ve \(AC = \sqrt{20}\) olurdu.
- Eğer C açısı \(90^\circ\) ise, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) yani \(AC^2 + 6^2 = 4^2\) olurdu. Bu durumda \(AC^2 = 16 - 36 = -20\) olurdu ki bu mümkün değildir.
- Bu nedenle, eğer üçgen dik ise, dik açı A köşesindedir ve Pisagor Teoremi geçerlidir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarına ait yükseklik CD'dir. Eğer AD = 4 cm, DB = 9 cm ve CD = 6 cm ise, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda, yükseklik sayesinde oluşan iki dik üçgeni kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız.
- Öncelikle ADC dik üçgenini ele alalım. Dik kenarları AD ve CD'dir.
- AD = 4 cm, CD = 6 cm. AC kenarı bu üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \(AC^2 = AD^2 + CD^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(AC^2 = 4^2 + 6^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(AC^2 = 16 + 36\)
- Toplamı bulalım: \(AC^2 = 52\)
- AC kenarının uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \(AC = \sqrt{52}\) cm
Örnek 6:
Bir parkta bulunan iki bank arasındaki mesafe, bulundukları noktaların koordinatları ile verilmiştir. Birinci bank A(2, 3) noktasında, ikinci bank ise B(7, 15) noktasındadır. İki bank arasındaki kuş uçuşu mesafe kaç birimdir? 🗺️
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayan formülü kullanacağız. Bu formül aslında Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- A noktası \((x_1, y_1) = (2, 3)\)
- B noktası \((x_2, y_2) = (7, 15)\)
- Farkları hesaplayalım: \( x_2 - x_1 = 7 - 2 = 5 \) ve \( y_2 - y_1 = 15 - 3 = 12 \)
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{5^2 + 12^2} \)
- Kareleri hesaplayalım: \( d = \sqrt{25 + 144} \)
- Toplamı bulalım: \( d = \sqrt{169} \)
- Karekökünü alalım: \( d = 13 \) birim
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, A noktasından BC kenarına bir dikme indiriliyor ve bu dikme BC kenarını D noktasında kesiyor. Eğer AB = 10 cm, AC = 17 cm ve BC = 21 cm ise, AD yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? ⛰️
Çözüm:
Bu problemde, hem ABC üçgeninin kenar uzunluklarını hem de oluşan iki dik üçgeni kullanarak Pisagor Teoremi ve denklem çözme becerilerimizi kullanacağız.
- ABC üçgeninde AD dikmesi BC'yi D'de kesiyor. Bu, ADC ve ADB'nin dik üçgenler olduğu anlamına gelir.
- BD uzunluğuna \(x\) diyelim. O zaman DC uzunluğu \(21 - x\) olur.
- ADB dik üçgeninde Pisagor Teoremi: \(AD^2 + BD^2 = AB^2\) yani \(AD^2 + x^2 = 10^2\) --> \(AD^2 = 100 - x^2\)
- ADC dik üçgeninde Pisagor Teoremi: \(AD^2 + DC^2 = AC^2\) yani \(AD^2 + (21-x)^2 = 17^2\) --> \(AD^2 = 289 - (21-x)^2\)
- İki \(AD^2\) ifadesini eşitleyelim: \(100 - x^2 = 289 - (21-x)^2\)
- Parantezi açalım: \(100 - x^2 = 289 - (441 - 42x + x^2)\)
- İşlemleri yapalım: \(100 - x^2 = 289 - 441 + 42x - x^2\)
- \(x^2\) terimleri birbirini götürür: \(100 = -152 + 42x\)
- \(x\) terimini yalnız bırakalım: \(100 + 152 = 42x\) --> \(252 = 42x\)
- \(x\) değerini bulalım: \(x = \frac{252}{42} = 6\) cm. Bu BD uzunluğudur.
- Şimdi \(AD^2 = 100 - x^2\) denkleminde \(x=6\) değerini yerine koyalım: \(AD^2 = 100 - 6^2 = 100 - 36 = 64\)
- AD uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \(AD = \sqrt{64} = 8\) cm
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini planlarken iki duvarın kesiştiği köşenin tam dik açı olup olmadığını kontrol etmek istiyor. Mühendis, köşeden bir duvara 3 metre, diğer duvara 4 metre uzaklıkta iki nokta işaretliyor. Bu iki işaretlenen nokta arasındaki mesafe 5 metre ise, köşe tam dik açı mıdır? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, Pisagor Teoremi'nin tersi ile kontrol edilebilir. Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları \(a, b, c\) ise ve \(a^2 + b^2 = c^2\) eşitliği sağlanıyorsa, bu üçgen bir dik üçgendir ve \(c\) kenarının karşısındaki açı dik açıdır.
- İnşaat mühendisinin işaretlediği noktalar ve köşe bir dik üçgen oluşturur.
- Dik kenarların uzunlukları 3 metre ve 4 metredir.
- Hipotenüs uzunluğu ise 5 metredir.
- Pisagor Teoremi'ni kontrol edelim: \(3^2 + 4^2 = 5^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(9 + 16 = 25\)
- Toplamı kontrol edelim: \(25 = 25\)
- Eşitlik sağlandığı için, bu üçgen bir dik üçgendir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-oklid-ve-tales-teoremleri/sorular