🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklit Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklit Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Eğer bu parçaların uzunlukları \( 4 \) cm ve \( 9 \) cm ise, dikmenin uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( 4 \) cm, HC = \( 9 \) cm. AH = \( x \) cm.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( 4 \) cm, HC = \( 9 \) cm. AH = \( x \) cm.)
Çözüm:
Bu problemde Öklit'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 👉 Yükseklik Teoremi: Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülünü kullanırız.
- ✅ Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( x^2 = 4 \cdot 9 \)
- ✅ Çarpma işlemini yapalım: \( x^2 = 36 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( x \) değerini bulalım: \( x = \sqrt{36} \)
- ✅ Sonuç olarak: \( x = 6 \) cm'dir.
Örnek 2:
ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıdır. AH, BC'ye diktir. BH uzunluğu \( 3 \) cm, hipotenüs BC'nin tamamı ise \( 12 \) cm'dir. Buna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( 3 \) cm, BC = \( 12 \) cm. AB = \( c \) cm.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( 3 \) cm, BC = \( 12 \) cm. AB = \( c \) cm.)
Çözüm:
Bu problemde Öklit'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 👉 Dik Kenar Teoremi: Bir dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Yani, \( c^2 = p \cdot a \) formülünü kullanırız.
- ✅ Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( c^2 = 3 \cdot 12 \)
- ✅ Çarpma işlemini yapalım: \( c^2 = 36 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \( c = \sqrt{36} \)
- ✅ Sonuç olarak: \( c = 6 \) cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıdır. A köşesinden hipotenüse indirilen AH dikmesinin uzunluğu \( 8 \) cm'dir. Bu dikme, hipotenüs üzerindeki BH parçasını \( 4 \) cm olarak ayırmıştır. Buna göre, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AH = \( 8 \) cm, BH = \( 4 \) cm. AC = \( b \) cm.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AH = \( 8 \) cm, BH = \( 4 \) cm. AC = \( b \) cm.)
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Öklit'in Yükseklik Teoremi'ni ve ardından Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 📌
- Adım 1: HC uzunluğunu bulma.
- 👉 Yükseklik Teoremi: \( h^2 = p \cdot k \) formülünü kullanarak HC uzunluğunu (k) bulalım.
- ✅ \( 8^2 = 4 \cdot k \)
- ✅ \( 64 = 4k \)
- ✅ Her iki tarafı \( 4 \)e bölelim: \( k = \frac{64}{4} = 16 \) cm. Yani, HC = \( 16 \) cm'dir.
- Adım 2: AC uzunluğunu bulma.
- 👉 Şimdi AHC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım. AHC üçgeninde dik kenarlar AH = \( 8 \) cm ve HC = \( 16 \) cm'dir. Hipotenüs ise AC'dir.
- ✅ Pisagor Teoremi: \( (\text{dik kenar})^2 + (\text{dik kenar})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- ✅ \( AH^2 + HC^2 = AC^2 \)
- ✅ \( 8^2 + 16^2 = b^2 \)
- ✅ \( 64 + 256 = b^2 \)
- ✅ \( 320 = b^2 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{320} \)
- ✅ \( \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} \) cm.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik açılı köşesinden hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsü \( x \) ve \( x+7 \) birim uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Eğer bu dikmenin uzunluğu \( 6 \) birim ise, \( x \) değeri kaçtır? 🔢
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( x \) birim, HC = \( x+7 \) birim. AH = \( 6 \) birim.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. BH = \( x \) birim, HC = \( x+7 \) birim. AH = \( 6 \) birim.)
Çözüm:
Bu problemde Öklit'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak bir denklem oluşturacağız. 💡
- 👉 Yükseklik Teoremi: \( h^2 = p \cdot k \) formülünü kullanırız.
- ✅ Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 = x \cdot (x+7) \)
- ✅ Denklemi düzenleyelim: \( 36 = x^2 + 7x \)
- ✅ Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayalım ve ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( x^2 + 7x - 36 = 0 \)
- ✅ Bu denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları \( -36 \) ve toplamları \( 7 \) olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar \( 9 \) ve \( -4 \)tür.
- ✅ \( (x+9)(x-4) = 0 \)
- ✅ Buradan iki olası çözüm çıkar: \( x+9=0 \Rightarrow x = -9 \) veya \( x-4=0 \Rightarrow x = 4 \).
- ✅ Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = -9 \) değeri geçersizdir.
- ✅ Sonuç olarak: \( x = 4 \) birimdir.
Örnek 5:
ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıdır. AH, BC'ye diktir. AB kenarının uzunluğu \( 10 \) cm, BH parçasının uzunluğu \( 5 \) cm'dir. Buna göre, AH yüksekliğinin uzunluğunu ve AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AB = \( 10 \) cm, BH = \( 5 \) cm. AH = \( h \) cm, AC = \( b \) cm.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AB = \( 10 \) cm, BH = \( 5 \) cm. AH = \( h \) cm, AC = \( b \) cm.)
Çözüm:
Bu problemde önce Öklit'in Dik Kenar Teoremi'ni, ardından Yükseklik Teoremi'ni veya Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 📌
- Adım 1: Hipotenüs BC'nin tamamını bulma.
- 👉 AB kenarı için Dik Kenar Teoremi: \( AB^2 = BH \cdot BC \)
- ✅ \( 10^2 = 5 \cdot BC \)
- ✅ \( 100 = 5 \cdot BC \)
- ✅ Her iki tarafı \( 5 \)e bölelim: \( BC = \frac{100}{5} = 20 \) cm.
- Adım 2: HC parçasının uzunluğunu bulma.
- 👉 \( HC = BC - BH = 20 - 5 = 15 \) cm.
- Adım 3: AH yüksekliğinin uzunluğunu bulma.
- 👉 Yükseklik Teoremi: \( AH^2 = BH \cdot HC \)
- ✅ \( h^2 = 5 \cdot 15 \)
- ✅ \( h^2 = 75 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) cm.
- Adım 4: AC kenarının uzunluğunu bulma.
- 👉 AC kenarı için Dik Kenar Teoremi: \( AC^2 = HC \cdot BC \)
- ✅ \( b^2 = 15 \cdot 20 \)
- ✅ \( b^2 = 300 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3} \) cm.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde A köşesi dik açıdır. AH, BC'ye diktir. AC kenarının uzunluğu \( 6 \) cm, HC parçasının uzunluğu \( 4 \) cm'dir. Buna göre, AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 🧐
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AC = \( 6 \) cm, HC = \( 4 \) cm. AB = \( c \) cm.)
(ABC bir dik üçgen, A köşesi dik açı. AH dik BC. AC = \( 6 \) cm, HC = \( 4 \) cm. AB = \( c \) cm.)
Çözüm:
Bu problemde önce Öklit'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün tamamını bulacak, ardından diğer dik kenar için aynı teoremi uygulayacağız. 📌
- Adım 1: Hipotenüs BC'nin tamamını bulma.
- 👉 AC kenarı için Dik Kenar Teoremi: \( AC^2 = HC \cdot BC \)
- ✅ \( 6^2 = 4 \cdot BC \)
- ✅ \( 36 = 4 \cdot BC \)
- ✅ Her iki tarafı \( 4 \)e bölelim: \( BC = \frac{36}{4} = 9 \) cm.
- Adım 2: BH parçasının uzunluğunu bulma.
- 👉 \( BH = BC - HC = 9 - 4 = 5 \) cm.
- Adım 3: AB kenarının uzunluğunu bulma.
- 👉 AB kenarı için Dik Kenar Teoremi: \( AB^2 = BH \cdot BC \)
- ✅ \( c^2 = 5 \cdot 9 \)
- ✅ \( c^2 = 45 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \) cm.
Örnek 7:
Bir merdiven, bir duvara yaslanmıştır ve duvarla zemin arasında dik açı oluşmaktadır. Merdivenin üst ucu duvarın tepesindedir ve alt ucu zemindedir. Eğer merdivenin duvara dayanan üst noktasından zemine doğru, merdivenin tam ortasına bir destek çubuğu merdivene dik olacak şekilde yerleştirilirse, bu destek çubuğunun uzunluğu nasıl hesaplanır? Destek çubuğunun merdiveni kestiği nokta ile merdivenin alt ucu arasındaki mesafe \( 2 \) metre ve üst ucu arasındaki mesafe \( 8 \) metre olsun. Destek çubuğunun uzunluğu kaç metredir? 🪜
(Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Destek çubuğu, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik gibi düşünülebilir. Hipotenüs üzerindeki parçalar \( 2 \) m ve \( 8 \) m'dir.)
(Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Destek çubuğu, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik gibi düşünülebilir. Hipotenüs üzerindeki parçalar \( 2 \) m ve \( 8 \) m'dir.)
Çözüm:
Bu senaryo, aslında Öklit'in Yükseklik Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. 💡
- 👉 Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin kendisi bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- 👉 Destek çubuğu, dik üçgenin dik açılı köşesinden (yani merdivenin duvara dayandığı yerden değil, aslında bu problemde merdivenin kendisi hipotenüs, ve destek çubuğu hipotenüse dik inen bir yükseklik gibi düşünülmelidir) hipotenüse indirilen bir dikme gibi davranır. Ancak buradaki kurulumda, merdivenin kendisi hipotenüs değil, bir dik kenardır. Soruyu daha doğru yorumlayalım: Merdiven zemine ve duvara dik basıyorsa, merdivenin kendisi dik kenardır. Eğer merdiven duvara yaslanmış ve zemine değiyorsa, merdivenin kendisi hipotenüstür.
- 📌 Bu tür "yeni nesil" sorularda, şekli zihinde canlandırmak önemlidir. "Merdivenin duvara dayanan üst noktasından zemine doğru, merdivenin tam ortasına bir destek çubuğu merdivene dik olacak şekilde yerleştirilirse" ifadesiyle, aslında merdivenin kendisi bir dik üçgenin hipotenüsü olur. Merdivenin alt ucu (A), duvarın zemine değdiği nokta (B) ve merdivenin üst ucu (C) bir üçgen oluşturur. Ancak burada destek çubuğunun merdivene dik olması önemlidir.
- ✅ Daha net bir ifadeyle: Merdiven hipotenüs olsun (AC). Merdivenin alt ucu A, üst ucu C. Duvarın zemine değdiği nokta B olsun. ABC üçgeni B'de dik açılıdır. Destek çubuğu, B noktasından AC hipotenüsüne indirilen dikmedir (BH).
- ✅ Destek çubuğunun merdiveni kestiği nokta (H) ile merdivenin alt ucu (A) arasındaki mesafe (AH) \( 2 \) metre olarak verilmiş.
- ✅ Destek çubuğunun merdiveni kestiği nokta (H) ile merdivenin üst ucu (C) arasındaki mesafe (HC) \( 8 \) metre olarak verilmiş.
- 👉 Destek çubuğunun uzunluğu (BH), bu durumda Öklit'in Yükseklik Teoremi ile bulunur: \( BH^2 = AH \cdot HC \)
- ✅ Verilen değerleri yerine koyalım: \( BH^2 = 2 \cdot 8 \)
- ✅ Çarpma işlemini yapalım: \( BH^2 = 16 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( BH = \sqrt{16} \)
- ✅ Sonuç olarak: \( BH = 4 \) metre.
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında dik bir destek ayağını tasarlıyor. Destek ayağının zemine dik olarak yerleştirildiği bir üçgen kesit düşünelim. Bu destek ayağının üst noktasından, köprünün ana kirişine doğru bir bağlantı elemanı (dikme) yerleştiriliyor. Bu bağlantı elemanı, ana kirişi \( 5 \) metre ve \( 20 \) metre uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Bu bağlantı elemanının (dikmenin) uzunluğu kaç metredir? 🌉
(Destek ayağı, köprü kirişi ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Bağlantı elemanı, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik gibi düşünülebilir. Hipotenüs üzerindeki parçalar \( 5 \) m ve \( 20 \) m'dir.)
(Destek ayağı, köprü kirişi ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Bağlantı elemanı, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik gibi düşünülebilir. Hipotenüs üzerindeki parçalar \( 5 \) m ve \( 20 \) m'dir.)
Çözüm:
Bu senaryo, Öklit'in Yükseklik Teoremi'nin inşaat mühendisliğindeki bir uygulamasıdır. 🏗️
- 👉 Destek ayağı, köprü kirişi ve zemin arasında bir dik üçgen oluşur. Köprünün ana kirişi bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- 👉 Bağlantı elemanı (dikme), dik üçgenin dik açılı köşesinden (destek ayağının ana kirişle birleştiği nokta) hipotenüse (ana kirişe) indirilen bir yükseklik görevi görür.
- ✅ Bu dikme, hipotenüsü \( p = 5 \) metre ve \( k = 20 \) metre uzunluğunda iki parçaya ayırıyor.
- 👉 Bağlantı elemanının uzunluğunu (h) bulmak için Öklit'in Yükseklik Teoremi'ni kullanırız: \( h^2 = p \cdot k \)
- ✅ Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( h^2 = 5 \cdot 20 \)
- ✅ Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 100 \)
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{100} \)
- ✅ Sonuç olarak: \( h = 10 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklit/sorular