🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Teorimi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Teorimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesindeki açı \( 90^\circ \) dir. A köşesinden hipotenüse (BC kenarına) inen yüksekliğin ayağı H noktasıdır.
BH uzunluğu \( 4 \) cm ve HC uzunluğu \( 9 \) cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
BH uzunluğu \( 4 \) cm ve HC uzunluğu \( 9 \) cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
Öklid'in Yükseklik Teoremi'ne göre, dik açının olduğu köşeden hipotenüse inen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Öklid'in Yükseklik Teoremi'ne göre, dik açının olduğu köşeden hipotenüse inen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
- 👉 Verilenler: \( |BH| = 4 \) cm, \( |HC| = 9 \) cm.
- 👉 İstenen: \( |AH| \) yüksekliği (h).
- ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \) (Burada \( p = |BH| \) ve \( k = |HC| \)).
- Şimdi değerleri yerine yazalım:
\( h^2 = 4 \cdot 9 \)
\( h^2 = 36 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( h = \sqrt{36} \)
\( h = 6 \) cm
Buna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu \( 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir KLM dik üçgeninde, K açısı \( 90^\circ \) dir. K köşesinden LM kenarına inen yüksekliğin ayağı N noktasıdır.
LN uzunluğu \( 3 \) cm ve LM kenarının tamamı \( 12 \) cm olduğuna göre, KL kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
LN uzunluğu \( 3 \) cm ve LM kenarının tamamı \( 12 \) cm olduğuna göre, KL kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ne göre, dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.
Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ne göre, dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.
- 👉 Verilenler: \( |LN| = 3 \) cm, \( |LM| = 12 \) cm.
- 👉 İstenen: \( |KL| \) kenarının uzunluğu (x).
- ✅ Formül: \( |KL|^2 = |LN| \cdot |LM| \).
- Şimdi değerleri yerine yazalım:
\( x^2 = 3 \cdot 12 \)
\( x^2 = 36 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( x = \sqrt{36} \)
\( x = 6 \) cm
Buna göre, KL kenarının uzunluğu \( 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir PRS dik üçgeninde, P açısı \( 90^\circ \) dir. P noktasından RS kenarına çizilen dikmenin ayağı T noktasıdır.
PT uzunluğu \( 6 \) cm ve RT uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, PS kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
PT uzunluğu \( 6 \) cm ve RT uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, PS kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda hem Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni hem de Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
- Öncelikle, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak TS uzunluğunu bulalım.
- 👉 Verilenler: \( |PT| = 6 \) cm, \( |RT| = 4 \) cm.
- ✅ Formül: \( |PT|^2 = |RT| \cdot |TS| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 6^2 = 4 \cdot |TS| \)
\( 36 = 4 \cdot |TS| \)
\( |TS| = \frac{36}{4} \)
\( |TS| = 9 \) cm - Şimdi, Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak PS kenarını bulalım.
- 👉 Verilenler: \( |TS| = 9 \) cm, \( |RS| = |RT| + |TS| = 4 + 9 = 13 \) cm.
- ✅ Formül: \( |PS|^2 = |TS| \cdot |RS| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( |PS|^2 = 9 \cdot 13 \)
\( |PS|^2 = 117 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( |PS| = \sqrt{117} \) - Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \).
\( |PS| = 3\sqrt{13} \) cm
Buna göre, PS kenarının uzunluğu \( 3\sqrt{13} \) cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir XYZ dik üçgeninde, X açısı \( 90^\circ \) dir. X noktasından YZ kenarına inen dikme T noktasıdır.
YT uzunluğu \( 2 \) cm ve XT yüksekliği \( 4 \) cm olduğuna göre, XZ kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
YT uzunluğu \( 2 \) cm ve XT yüksekliği \( 4 \) cm olduğuna göre, XZ kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm:
Bu problemi çözmek için yine iki adımda ilerleyeceğiz.
- Öncelikle, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak TZ uzunluğunu bulalım.
- 👉 Verilenler: \( |YT| = 2 \) cm, \( |XT| = 4 \) cm.
- ✅ Formül: \( |XT|^2 = |YT| \cdot |TZ| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 4^2 = 2 \cdot |TZ| \)
\( 16 = 2 \cdot |TZ| \)
\( |TZ| = \frac{16}{2} \)
\( |TZ| = 8 \) cm - Şimdi, Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak XZ kenarını bulalım.
- 👉 Verilenler: \( |TZ| = 8 \) cm. Hipotenüsün tamamı \( |YZ| = |YT| + |TZ| = 2 + 8 = 10 \) cm.
- ✅ Formül: \( |XZ|^2 = |TZ| \cdot |YZ| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( |XZ|^2 = 8 \cdot 10 \)
\( |XZ|^2 = 80 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( |XZ| = \sqrt{80} \) - Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \).
\( |XZ| = 4\sqrt{5} \) cm
Buna göre, XZ kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{5} \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir dik üçgenin dik kenarları \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm'dir.
Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? Ayrıca, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarını da bulunuz. 💡
Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? Ayrıca, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarını da bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruda önce Pisagor Teoremi'ni, sonra üçgenin alan formülünü ve son olarak Öklid Teoremlerini kullanacağız.
- Öncelikle, Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün uzunluğunu bulalım.
- 👉 Dik kenarlar \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm. Hipotenüs \( c \).
- ✅ Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
\( 36 + 64 = c^2 \)
\( 100 = c^2 \)
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm (Hipotenüsün uzunluğu) - Şimdi, üçgenin alan formülünden hipotenüse ait yüksekliği (h) bulalım.
- Alan = \( \frac{\text{dik kenarlar çarpımı}}{2} = \frac{\text{hipotenüs} \cdot \text{yükseklik}}{2} \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( \frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{10 \cdot h}{2} \)
\( 24 = 5h \)
\( h = \frac{24}{5} \)
\( h = 4.8 \) cm (Hipotenüse ait yükseklik) - Son olarak, Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak hipotenüs üzerindeki parçaları bulalım.
- Bir dik kenar (a) için: \( a^2 = p \cdot c \) (Burada p, a kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü).
\( 6^2 = p \cdot 10 \)
\( 36 = 10p \)
\( p = 3.6 \) cm - Diğer dik kenar (b) için: \( b^2 = k \cdot c \) (Burada k, b kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü).
\( 8^2 = k \cdot 10 \)
\( 64 = 10k \)
\( k = 6.4 \) cm - Kontrol edelim: \( p + k = 3.6 + 6.4 = 10 \) cm, bu da hipotenüsün uzunluğuna eşittir. ✅
Hipotenüse ait yükseklik \( 4.8 \) cm'dir. Hipotenüs üzerindeki parçaların uzunlukları ise \( 3.6 \) cm ve \( 6.4 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir mimar, kare şeklinde bir bahçenin köşesine dik açılı bir rampa tasarlıyor. Rampanın yerden yüksekliği \( 3 \) metre. Rampanın yere değdiği noktadan bahçe duvarına olan uzaklığı \( 4 \) metredir.
Mimar, rampanın en üst noktasından bahçe duvarına kadar olan mesafeyi (rampanın üst kısmının uzunluğunu) bulmak istiyor. Bu durumda, Öklid Teorimi'ni kullanarak rampanın üst kısmının uzunluğunu ve rampanın toplam uzunluğunu bulunuz. 🏗️
Mimar, rampanın en üst noktasından bahçe duvarına kadar olan mesafeyi (rampanın üst kısmının uzunluğunu) bulmak istiyor. Bu durumda, Öklid Teorimi'ni kullanarak rampanın üst kısmının uzunluğunu ve rampanın toplam uzunluğunu bulunuz. 🏗️
Çözüm:
Bu senaryoyu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Rampanın zemine değdiği nokta, yüksekliğin ayağı gibi düşünülebilir.
- Rampanın yerden yüksekliği \( h = 3 \) metre.
- Rampanın yere değdiği noktadan bahçe duvarına olan uzaklık \( p = 4 \) metre.
- Rampanın en üst noktasından bahçe duvarına olan mesafe \( k \) (yani rampanın üst kısmının uzunluğunun hipotenüs üzerindeki izdüşümü).
- Rampanın üst kısmının uzunluğu \( x \) (dik kenar).
- Öncelikle, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak \( k \) değerini bulalım.
- ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 3^2 = 4 \cdot k \)
\( 9 = 4k \)
\( k = \frac{9}{4} \)
\( k = 2.25 \) metre - Şimdi, Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak rampanın üst kısmının uzunluğunu (x) bulalım.
- Hipotenüsün tamamı \( c = p + k = 4 + 2.25 = 6.25 \) metre.
- ✅ Formül: \( x^2 = k \cdot c \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( x^2 = 2.25 \cdot 6.25 \)
\( x^2 = 14.0625 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( x = \sqrt{14.0625} \)
\( x = 3.75 \) metre - Rampanın toplam uzunluğu ise iki dik kenarın toplamı değildir, hipotenüsün tamamıdır. Burada biz rampanın üst kısmının uzunluğunu (dik kenar) ve rampanın yere değdiği noktadan duvara olan uzaklığın hipotenüs üzerindeki izdüşümünü kullandık.
- Eğer rampanın toplam uzunluğu derken, rampanın kendisinin eğik yüzeyinin uzunluğu kastediliyorsa, bu hipotenüsün tamamı değildir. Rampanın kendisi aslında dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- Soruyu daha net yorumlarsak: "Rampanın en üst noktasından bahçe duvarına kadar olan mesafe" rampanın bir dik kenarıdır. "Rampanın toplam uzunluğu" ise rampanın eğimli yüzeyinin uzunluğudur.
- Rampanın üst kısmının uzunluğu \( x = 3.75 \) metre.
- Rampanın eğimli yüzeyinin uzunluğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: Rampanın yüksekliği \( 3 \) m, rampanın üst kısmının hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( 2.25 \) m. Bu bir dik üçgen oluşturur.
- Rampanın eğimli yüzeyinin uzunluğu (R) \( R^2 = h^2 + k^2 \) değildir. Rampanın eğimli yüzeyi, dik üçgenin bir kenarıdır.
- Aslında, rampanın üst kısmının uzunluğu \( x = 3.75 \) metre. Rampanın alt kısmının uzunluğu (diğer dik kenar) ise \( y^2 = p \cdot c \) formülüyle bulunur: \( y^2 = 4 \cdot 6.25 = 25 \Rightarrow y = 5 \) metre.
- Rampanın toplam uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsüdür (eğik kısım). Eğer soru rampanın eğik yüzeyinin uzunluğunu soruyorsa, bu iki dik kenarın uzunluklarıdır: \( 3.75 \) metre ve \( 5 \) metre.
- Ancak, "rampanın en üst noktasından bahçe duvarına kadar olan mesafe" ifadesi, dik üçgenin bir dik kenarını ifade eder. Bu kenar \( 3.75 \) metredir.
- "Rampanın toplam uzunluğu" ifadesi ise genelde rampanın eğimli yüzeyinin uzunluğunu kasteder. Burada iki farklı rampa parçası vardır. Birincisi \( x = 3.75 \) metre, ikincisi \( y = 5 \) metre.
- Soru, rampanın üst kısmının uzunluğunu \( |XZ| \) olarak ve diğer kısmını \( |XY| \) olarak kabul edersek, bunlar dik kenarlardır.
- Rampanın üst kısmının uzunluğu \( 3.75 \) metredir.
- Diğer dik kenar (rampanın alt kısmı): \( y^2 = p \cdot c \Rightarrow y^2 = 4 \cdot 6.25 = 25 \Rightarrow y = 5 \) metre.
Buna göre, rampanın üst kısmının uzunluğu \( 3.75 \) metredir. Rampanın diğer eğimli yüzeyinin uzunluğu ise \( 5 \) metredir. ✅
Örnek 7:
Bir inşaat firması, depremzedeler için geçici barınma evleri inşa ediyor. Bu evlerin çatısı için dik üçgen şeklinde ahşap destekler kullanılıyor.
Bir destekte, çatının en yüksek noktasından tabana dik inen ahşap direğin uzunluğu \( 2.4 \) metre. Bu direğin tabanda ayırdığı parçalardan biri \( 1.8 \) metre olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç metredir? Ayrıca, çatının eğimli kenarlarından birinin uzunluğunu da bulunuz. 🏠
Bir destekte, çatının en yüksek noktasından tabana dik inen ahşap direğin uzunluğu \( 2.4 \) metre. Bu direğin tabanda ayırdığı parçalardan biri \( 1.8 \) metre olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç metredir? Ayrıca, çatının eğimli kenarlarından birinin uzunluğunu da bulunuz. 🏠
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen ve Öklid Teoremi ile çözebiliriz.
- Çatının en yüksek noktasından tabana inen direk, dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. \( h = 2.4 \) metre.
- Bu yüksekliğin tabanda ayırdığı parçalardan biri \( p = 1.8 \) metre.
- Diğer parçanın uzunluğu \( k \) olsun.
- Öncelikle, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak diğer parçanın uzunluğunu (\( k \)) bulalım.
- ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( (2.4)^2 = 1.8 \cdot k \)
\( 5.76 = 1.8k \)
\( k = \frac{5.76}{1.8} \)
\( k = 3.2 \) metre - Şimdi, çatının eğimli kenarlarından birinin uzunluğunu bulalım. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır.
- Hipotenüsün tamamı \( c = p + k = 1.8 + 3.2 = 5 \) metre.
- Eğimli kenarlardan biri \( x \) olsun. Bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( p = 1.8 \) metre.
- ✅ Formül: \( x^2 = p \cdot c \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( x^2 = 1.8 \cdot 5 \)
\( x^2 = 9 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( x = \sqrt{9} \)
\( x = 3 \) metre - İkinci eğimli kenarı da bulabiliriz: \( y^2 = k \cdot c = 3.2 \cdot 5 = 16 \Rightarrow y = 4 \) metre.
Buna göre, direğin tabanda ayırdığı diğer parçanın uzunluğu \( 3.2 \) metredir. Çatının eğimli kenarlarından birinin uzunluğu ise \( 3 \) metredir. ✅
Örnek 8:
Bir oyun parkında kaydırak yapılacaktır. Kaydırağın platformu yerden \( 4 \) metre yükseklikte ve bu platformdan yere inen kaydırak kısmı dik açıyla yere inen bir direkle desteklenmektedir.
Kaydırağın yere değdiği noktadan destek direğinin yere değdiği noktaya kadar olan uzaklık \( 5 \) metredir. Destek direğinin uzunluğu \( x \) metre ve kaydırağın eğimli kısmının uzunluğu \( y \) metre olduğuna göre, \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. (Kaydırağın platformu ile zemin arasındaki açıyı \( 90^\circ \) olarak kabul ediniz.) 🎢
Kaydırağın yere değdiği noktadan destek direğinin yere değdiği noktaya kadar olan uzaklık \( 5 \) metredir. Destek direğinin uzunluğu \( x \) metre ve kaydırağın eğimli kısmının uzunluğu \( y \) metre olduğuna göre, \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. (Kaydırağın platformu ile zemin arasındaki açıyı \( 90^\circ \) olarak kabul ediniz.) 🎢
Çözüm:
Bu senaryoyu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Platformun yerden yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır. Ancak burada "kaydırağın platformu yerden 4 metre yükseklikte" ifadesi, aslında dik üçgenin yüksekliği (h) olarak değil, bir dik kenarı olarak düşünülebilir.
- Fakat "destek direği" dediği şey, genellikle hipotenüse ait yükseklik olarak alınır. Eğer platformdan yere inen direk "destek direği" ise ve bu direk yere dik iniyorsa, bu bir yüksekliktir.
- Şekli zihinde canlandıralım: Kaydırağın platformu (P), yere inen dik destek direğinin ayağı (D), kaydırağın yere değdiği nokta (K).
- PKD üçgeni dik üçgendir. P açısı \( 90^\circ \). D noktası hipotenüs üzerindedir.
- Platformun yerden yüksekliği \( |PD| = 4 \) metre (Bu, dik üçgenin dik kenarı değil, hipotenüse ait yükseklik olabilir, sorunun anlatımına göre).
- "Kaydırağın yere değdiği noktadan destek direğinin yere değdiği noktaya kadar olan uzaklık" \( |DK| = 5 \) metre. Bu, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan biridir.
- Destek direğinin uzunluğu \( x \) metre ise, bu aslında \( |PD| \) yüksekliğidir. Yani \( x = 4 \) metre. (Burada bir çelişki var gibi, "destek direği" genellikle yüksekliği temsil eder. Eğer platformun yüksekliği 4 metre ise, bu yükseklik 4 metredir.)
- Soruyu daha açık hale getirelim: "Platformun yerden yüksekliği 4 metre" ifadesini, dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliği \( h = 4 \) metre olarak kabul edelim.
- "Kaydırağın yere değdiği noktadan destek direğinin yere değdiği noktaya kadar olan uzaklık" \( k = 5 \) metre (yüksekliğin ayırdığı parçalardan biri).
- Diğer parça \( p \) olsun.
- Öncelikle, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak \( p \) değerini bulalım.
- ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 4^2 = p \cdot 5 \)
\( 16 = 5p \)
\( p = \frac{16}{5} \)
\( p = 3.2 \) metre - Kaydırağın eğimli kısmının uzunluğu \( y \) ise, bu bir dik kenardır. Bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( k = 5 \) metredir.
- Hipotenüsün tamamı \( c = p + k = 3.2 + 5 = 8.2 \) metre.
- Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak \( y \) değerini bulalım.
- ✅ Formül: \( y^2 = k \cdot c \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( y^2 = 5 \cdot 8.2 \)
\( y^2 = 41 \) - Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( y = \sqrt{41} \) metre - "Destek direğinin uzunluğu \( x \) metre" ifadesi, eğer \( x \) yüksekliği temsil ediyorsa \( x = 4 \) metredir.
Eğer "destek direğinin uzunluğu" ifadesi yüksekliği temsil ediyorsa \( x = 4 \) metredir. Kaydırağın eğimli kısmının uzunluğu ise \( y = \sqrt{41} \) metredir. ✅
Örnek 9:
Bir ABCD dikdörtgeni verilmiştir. A köşesinden BD köşegenine inen dikmenin ayağı E noktasıdır.
AD uzunluğu \( 6 \) cm ve AE uzunluğu \( 4.8 \) cm olduğuna göre, dikdörtgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \)'dir? 🧩
AD uzunluğu \( 6 \) cm ve AE uzunluğu \( 4.8 \) cm olduğuna göre, dikdörtgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \)'dir? 🧩
Çözüm:
Bu problemde bir dikdörtgenin içinde oluşan dik üçgenleri ve Öklid Teoremi'ni kullanacağız.
- ABCD bir dikdörtgen olduğu için, ABD üçgeni bir dik üçgendir ve A açısı \( 90^\circ \) dir.
- AE, ABD dik üçgeninde hipotenüs BD'ye ait yüksekliktir.
- 👉 Verilenler: \( |AD| = 6 \) cm (dik kenar), \( |AE| = 4.8 \) cm (yükseklik).
- Öncelikle, Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak DE uzunluğunu bulalım.
- ✅ Formül: \( |AD|^2 = |DE| \cdot |BD| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 6^2 = |DE| \cdot |BD| \)
\( 36 = |DE| \cdot |BD| \) (1) - Aynı zamanda, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanabilmek için BE uzunluğunu bulmalıyız.
- AE yüksekliği bilindiği için, \( |AE|^2 = |DE| \cdot |BE| \) formülünü kullanabiliriz.
- Değerleri yerine yazalım:
\( (4.8)^2 = |DE| \cdot |BE| \)
\( 23.04 = |DE| \cdot |BE| \) (2) - Şimdi, \( |BD| = |DE| + |BE| \) olduğunu biliyoruz.
- (1) numaralı denklemden \( |DE| = \frac{36}{|BD|} \) yazabiliriz.
- (2) numaralı denklemden \( |BE| = \frac{23.04}{|DE|} \) yazabiliriz.
- Bu iki ifadeyi \( |BD| = |DE| + |BE| \) denkleminde yerine koyalım:
\( |BD| = \frac{36}{|BD|} + \frac{23.04}{|DE|} \) - Bu denklemle doğrudan çözmek zor olabilir. Farklı bir yaklaşım deneyelim:
- ABD dik üçgeninde, \( |AD| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4.8 \) cm.
- ADE dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayarak DE uzunluğunu bulabiliriz.
- \( |AD|^2 = |AE|^2 + |DE|^2 \)
\( 6^2 = (4.8)^2 + |DE|^2 \)
\( 36 = 23.04 + |DE|^2 \)
\( |DE|^2 = 36 - 23.04 \)
\( |DE|^2 = 12.96 \)
\( |DE| = \sqrt{12.96} \)
\( |DE| = 3.6 \) cm - Şimdi DE uzunluğunu bulduğumuza göre, Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak BE uzunluğunu bulabiliriz.
- ✅ Formül: \( |AE|^2 = |DE| \cdot |BE| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( (4.8)^2 = 3.6 \cdot |BE| \)
\( 23.04 = 3.6 \cdot |BE| \)
\( |BE| = \frac{23.04}{3.6} \)
\( |BE| = 6.4 \) cm - Artık hipotenüs BD'nin uzunluğunu bulabiliriz:
\( |BD| = |DE| + |BE| = 3.6 + 6.4 = 10 \) cm - ABD dik üçgeninde dik kenarlar AB ve AD'dir. Hipotenüs BD'dir.
- AD uzunluğunu biliyoruz (\( 6 \) cm). AB uzunluğunu bulursak dikdörtgenin alanını hesaplayabiliriz.
- ABD dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:
\( |AB|^2 + |AD|^2 = |BD|^2 \)
\( |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \)
\( |AB|^2 + 36 = 100 \)
\( |AB|^2 = 100 - 36 \)
\( |AB|^2 = 64 \)
\( |AB| = \sqrt{64} \)
\( |AB| = 8 \) cm - Dikdörtgenin alanı = uzun kenar \( \times \) kısa kenar.
Alan = \( |AB| \cdot |AD| \)
Alan = \( 8 \cdot 6 \)
Alan = \( 48 \) \( \text{cm}^2 \)
Dikdörtgenin alanı \( 48 \) \( \text{cm}^2 \)'dir. ✅
Örnek 10:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) dir. A köşesinden BC kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır.
\( |AB|^2 = 24 \) ve \( |AC|^2 = 40 \) olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç birimdir? 🤯
\( |AB|^2 = 24 \) ve \( |AC|^2 = 40 \) olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç birimdir? 🤯
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi ve Öklid Teoremlerini birleştirerek çözüm yapacağız.
- Verilenler: \( |AB|^2 = 24 \), \( |AC|^2 = 40 \).
- İstenen: \( |AH| \) yüksekliği (h).
- ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs BC'nin karesini bulalım.
- ✅ Formül: \( |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( 24 + 40 = |BC|^2 \)
\( |BC|^2 = 64 \)
\( |BC| = \sqrt{64} \)
\( |BC| = 8 \) birim - Şimdi, dik üçgenin alan formülünü kullanarak yüksekliği bulabiliriz.
- Alan = \( \frac{\text{dik kenarlar çarpımı}}{2} = \frac{\text{hipotenüs} \cdot \text{yükseklik}}{2} \).
- Dik kenarların uzunlukları: \( |AB| = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \) ve \( |AC| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( \frac{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{10}}{2} = \frac{8 \cdot |AH|}{2} \)
\( \frac{4\sqrt{60}}{2} = 4 \cdot |AH| \)
\( 2\sqrt{60} = 4 \cdot |AH| \) - Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \).
\( 2 \cdot 2\sqrt{15} = 4 \cdot |AH| \)
\( 4\sqrt{15} = 4 \cdot |AH| \)
\( |AH| = \sqrt{15} \) birim - Alternatif olarak, Öklid'in Dik Kenar Teoremlerini ve yükseklik teoremini kullanabiliriz:
- \( |AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow 24 = |BH| \cdot 8 \Rightarrow |BH| = 3 \) birim.
- \( |AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \Rightarrow 40 = |HC| \cdot 8 \Rightarrow |HC| = 5 \) birim.
- Kontrol: \( |BH| + |HC| = 3 + 5 = 8 = |BC| \). Doğru.
- Şimdi Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanalım:
- ✅ Formül: \( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \).
- Değerleri yerine yazalım:
\( |AH|^2 = 3 \cdot 5 \)
\( |AH|^2 = 15 \)
\( |AH| = \sqrt{15} \) birim
Her iki yöntemle de AH yüksekliğinin uzunluğu \( \sqrt{15} \) birimdir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teorimi/sorular