🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 birim ve dik kenarlarından biri 5 birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğunu hesaplayınız. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu soruyu çözeceğiz.
- Teoremimiz: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) birim ve bir dik kenar \( a = 5 \) birim. Diğer dik kenarı \( b \) bulmamız gerekiyor.
- Formülde verilen değerleri yerine yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) birim.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde A açısı 90 derecedir. AB kenarı 7 cm ve AC kenarı 24 cm ise, BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu bir dik üçgen sorusu olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Üçgenin dik açısı A olduğundan, BC kenarı hipotenüstür.
- Dik kenarlar AB ve AC'dir.
- Pisagor Teoremi: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Verilen uzunluklar: \( AB = 7 \) cm ve \( AC = 24 \) cm.
- Değerleri yerine koyalım: \( 7^2 + 24^2 = BC^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 49 + 576 = BC^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 625 = BC^2 \)
- BC'yi bulmak için karekök alalım: \( BC = \sqrt{625} \)
- Sonuç: \( BC = 25 \) cm.
Örnek 4:
Bir bahçenin köşesine yerleştirilen bir merdiven, bahçenin 8 metre yüksekliğindeki duvarına dayanmaktadır. Merdivenin duvara olan uzaklığı 6 metre ise, merdivenin boyu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdiven, duvar ve yer arasındaki mesafe bir dik üçgenin kenarlarını temsil eder.
- Duvarın yüksekliği (dik kenar): \( a = 8 \) metre
- Merdivenin duvara olan uzaklığı (diğer dik kenar): \( b = 6 \) metre
- Merdivenin boyu (hipotenüs): \( c \)
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 64 + 36 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) metre.
Örnek 5:
Bir parkta, bir direğin tepesinden yere doğru çekilmiş bir ip, direğin dibinden 15 metre uzakta yere sabitlenmiştir. İpin uzunluğu 17 metre olduğuna göre, direğin yüksekliği kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problemde de bir dik üçgen modeli söz konusudur.
- İpin uzunluğu (hipotenüs): \( c = 17 \) metre
- İpin yere sabitlendiği nokta ile direğin dibi arasındaki mesafe (dik kenar): \( b = 15 \) metre
- Direğin yüksekliği (diğer dik kenar): \( a \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Formülde verilenleri yerine yazalım: \( a^2 + 15^2 = 17^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( a^2 + 225 = 289 \)
- \( a^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( a^2 = 289 - 225 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 64 \)
- \( a \)'yı bulmak için karekök alalım: \( a = \sqrt{64} \)
- Sonuç: \( a = 8 \) metre.
Örnek 6:
Bir dik üçgenin çevresi 30 cm'dir. Dik kenarlarından biri 5 cm ise, hipotenüs uzunluğunu bulunuz. ➕
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem Pisagor Teoremi'ni hem de çevre bilgisini kullanacağız.
- Çevre = Dik Kenar 1 + Dik Kenar 2 + Hipotenüs
- Verilenler: Çevre = 30 cm, Dik Kenar 1 = 5 cm. Diğer dik kenara \( b \), hipotenüse \( c \) diyelim.
- Çevre formülünü kullanalım: \( 5 + b + c = 30 \)
- Buradan \( b + c = 30 - 5 \) yani \( b + c = 25 \) elde ederiz.
- Ayrıca Pisagor Teoremi'ni biliyoruz: \( 5^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 25 + b^2 = c^2 \)
- Şimdi \( b + c = 25 \) denkleminden \( b = 25 - c \) yazıp bunu Pisagor denkleminde yerine koyabiliriz.
- \( 25 + (25 - c)^2 = c^2 \)
- \( (25 - c)^2 \) ifadesini açalım: \( 625 - 50c + c^2 \)
- Denklemimiz şöyle olur: \( 25 + 625 - 50c + c^2 = c^2 \)
- \( c^2 \) terimleri birbirini götürür: \( 650 - 50c = 0 \)
- \( 50c = 650 \)
- \( c = \frac{650}{50} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) cm.
Örnek 7:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları ardışık tam sayılardır. Bu üçgenin hipotenüsü \( \sqrt{169} \) cm olduğuna göre, dik kenarların uzunlukları toplamını bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi ve ardışık sayılar kavramını birleştireceğiz.
- Dik kenarlar ardışık tam sayılar olduğundan, birine \( x \) dersek, diğeri \( x+1 \) olur.
- Hipotenüs \( \sqrt{169} \) cm olarak verilmiş. Önce hipotenüsün değerini hesaplayalım: \( \sqrt{169} = 13 \) cm.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( x^2 + (x+1)^2 = 13^2 \)
- Denklemi açalım: \( x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 169 \)
- Terimleri birleştirelim: \( 2x^2 + 2x + 1 = 169 \)
- Denklemi sıfıra eşitleyelim: \( 2x^2 + 2x + 1 - 169 = 0 \)
- \( 2x^2 + 2x - 168 = 0 \)
- Denklemi sadeleştirmek için her terimi 2'ye bölelim: \( x^2 + x - 84 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -84, toplamları +1 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar 12 ve -7'dir.
- \( (x + 12)(x - 7) = 0 \)
- Buradan iki olası \( x \) değeri buluruz: \( x = -12 \) veya \( x = 7 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 7 \) değerini alırız.
- Dik kenarlar \( x = 7 \) cm ve \( x+1 = 7+1 = 8 \) cm'dir.
- Dik kenarların uzunlukları toplamı: \( 7 + 8 = 15 \) cm.
Örnek 8:
Bir televizyon ekranının boyutu, köşeden köşeye ölçülen çapı ile belirtilir. 50 inçlik bir televizyonun ekran genişliği 43.3 inç ise, yüksekliğini yaklaşık olarak hesaplayınız. (Ekranın dik üçgen olduğunu varsayınız.) 📺
Çözüm:
Bu bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır. Televizyon ekranının genişliği, yüksekliği ve köşegen uzunluğu bir dik üçgen oluşturur.
- Köşegen uzunluğu (hipotenüs): \( c = 50 \) inç
- Ekran genişliği (dik kenar): \( a = 43.3 \) inç
- Ekran yüksekliği (diğer dik kenar): \( b \)
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( (43.3)^2 + b^2 = 50^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 1874.89 + b^2 = 2500 \)
- \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 2500 - 1874.89 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 625.11 \)
- \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{625.11} \)
- Yaklaşık olarak: \( b \approx 25.002 \) inç.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-pisagor/sorular