💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor ve Talep Teoremleri Çözümlü Örnekler

Teorem şu şekildedir:

Burada:

• \( a \) ve \( b \) dik kenarların uzunluklarıdır.
• \( c \) hipotenüsün uzunluğudur.

Verilen bilgilere göre:

• \( a = 6 \) cm
• \( b = 8 \) cm

Şimdi bu değerleri Pisagor teoreminde yerine koyalım:

1. \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
2. \( 36 + 64 = c^2 \)
3. \( 100 = c^2 \)
4. \( c = \sqrt{100} \)
5. \( c = 10 \) cm

Sonuç olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅

ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,

• \( |BD| = x \) birim
• \( |DC| = 21 - x \) birim

İki dik üçgen oluşur: ABD ve ADC.

ABD üçgeni için Pisagor teoremi:

1. \( |AB|^2 = |BD|^2 + |AD|^2 \)
2. \( 10^2 = x^2 + h^2 \)
3. \( 100 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)

ADC üçgeni için Pisagor teoremi:

1. \( |AC|^2 = |DC|^2 + |AD|^2 \)
2. \( 17^2 = (21-x)^2 + h^2 \)
3. \( 289 = (21-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)

Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:

1. \( h^2 = 100 - x^2 \)
2. \( 289 = (21-x)^2 + (100 - x^2) \)
3. \( 289 = (441 - 42x + x^2) + 100 - x^2 \)
4. \( 289 = 441 - 42x + 100 \)
5. \( 289 = 541 - 42x \)
6. \( 42x = 541 - 289 \)
7. \( 42x = 252 \)
8. \( x = \frac{252}{42} \)
9. \( x = 6 \)

Şimdi \( x = 6 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:

1. \( h^2 = 100 - x^2 \)
2. \( h^2 = 100 - 6^2 \)
3. \( h^2 = 100 - 36 \)
4. \( h^2 = 64 \)
5. \( h = \sqrt{64} \)
6. \( h = 8 \)

Sonuç olarak, A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 8 birimdir. 👉

Verilenler:

• Merdiven uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 12 metre
• Duvar yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 5 metre
• Merdivenin duvara olan uzaklığı (dik kenar, \( b \)) = ?

Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Değerleri yerine koyalım:

1. \( 5^2 + b^2 = 12^2 \)
2. \( 25 + b^2 = 144 \)
3. \( b^2 = 144 - 25 \)
4. \( b^2 = 119 \)
5. \( b = \sqrt{119} \)

Yaklaşık olarak \( \sqrt{119} \approx 10.91 \) metre'dir.

Merdivenin duvara olan uzaklığı yaklaşık olarak 10.91 metre olmalıdır. 💡

Verilenler:

• Saha uzun kenarı (dik kenar, \( a \)) = 100 metre
• Saha kısa kenarı (dik kenar, \( b \)) = 50 metre
• Oyuncunun koştuğu mesafe (hipotenüs, \( c \)) = ?

Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Hesaplama:

1. \( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
2. \( 10000 + 2500 = c^2 \)
3. \( 12500 = c^2 \)
4. \( c = \sqrt{12500} \)
5. \( c = \sqrt{2500 \times 5} \)
6. \( c = 50\sqrt{5} \)

Yaklaşık değer hesaplaması:

\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)

\( c \approx 50 \times 2.236 \)

\( c \approx 111.8 \) metre

Oyuncunun koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre olup, bu da yaklaşık olarak 111.8 metre'dir. 🏃

Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Burada:

• \( c = 13 \) cm (hipotenüs)
• \( a = 5 \) cm (bir dik kenar)
• \( b = ? \) (diğer dik kenar)

Değerleri yerine koyalım:

1. \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
2. \( 25 + b^2 = 169 \)
3. \( b^2 = 169 - 25 \)
4. \( b^2 = 144 \)
5. \( b = \sqrt{144} \)
6. \( b = 12 \) cm

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. ✅

ABC üçgeninde B noktasından AC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik AC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,

• \( |AD| = x \) birim
• \( |DC| = 14 - x \) birim

İki dik üçgen oluşur: ABD ve BDC.

ABD üçgeni için Pisagor teoremi:

1. \( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
2. \( 15^2 = x^2 + h^2 \)
3. \( 225 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)

BDC üçgeni için Pisagor teoremi:

1. \( |BC|^2 = |DC|^2 + |BD|^2 \)
2. \( 13^2 = (14-x)^2 + h^2 \)
3. \( 169 = (14-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)

Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:

1. \( h^2 = 225 - x^2 \)
2. \( 169 = (14-x)^2 + (225 - x^2) \)
3. \( 169 = (196 - 28x + x^2) + 225 - x^2 \)
4. \( 169 = 196 - 28x + 225 \)
5. \( 169 = 421 - 28x \)
6. \( 28x = 421 - 169 \)
7. \( 28x = 252 \)
8. \( x = \frac{252}{28} \)
9. \( x = 9 \)

Şimdi \( x = 9 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:

1. \( h^2 = 225 - x^2 \)
2. \( h^2 = 225 - 9^2 \)
3. \( h^2 = 225 - 81 \)
4. \( h^2 = 144 \)
5. \( h = \sqrt{144} \)
6. \( h = 12 \)

Sonuç olarak, B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 birimdir. 👉

Verilenler:

• Direğin yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 10 metre
• Tarlanın uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe (dik kenar, \( b \)) = 6 metre
• İpin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?

Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Hesaplama:

1. \( 10^2 + 6^2 = c^2 \)
2. \( 100 + 36 = c^2 \)
3. \( 136 = c^2 \)
4. \( c = \sqrt{136} \)

İpin uzunluğu \( \sqrt{136} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 11.66 metreye denk gelir. 💡

Verilenler:

• Yatay uzunluk (dik kenar, \( a \)) = 8 metre
• Dikey yükseklik (dik kenar, \( b \)) = 3 metre
• Eğimli yüzeyin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?

Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Hesaplama:

1. \( 8^2 + 3^2 = c^2 \)
2. \( 64 + 9 = c^2 \)
3. \( 73 = c^2 \)
4. \( c = \sqrt{73} \)

Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğu \( \sqrt{73} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 8.54 metreye denk gelir. 📐