💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor ve Talep Teoremleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Teorem şu şekildedir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Burada:
\( a \) ve \( b \) dik kenarların uzunluklarıdır.
\( c \) hipotenüsün uzunluğudur.
Verilen bilgilere göre:
\( a = 6 \) cm
\( b = 8 \) cm
Şimdi bu değerleri Pisagor teoreminde yerine koyalım:
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
\( 36 + 64 = c^2 \)
\( 100 = c^2 \)
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm
Sonuç olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) birim, \( |AC| = 17 \) birim ve \( |BC| = 21 \) birimdir. Bu üçgenin A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremi veya Pisagor teoremini art arda kullanabiliriz. Yüksekliği çizelim ve oluşan dik üçgenleri inceleyelim.
ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,
\( |BD| = x \) birim
\( |DC| = 21 - x \) birim
İki dik üçgen oluşur: ABD ve ADC.
ABD üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AB|^2 = |BD|^2 + |AD|^2 \)
\( 10^2 = x^2 + h^2 \)
\( 100 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)
ADC üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AC|^2 = |DC|^2 + |AD|^2 \)
\( 17^2 = (21-x)^2 + h^2 \)
\( 289 = (21-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)
Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:
\( h^2 = 100 - x^2 \)
\( 289 = (21-x)^2 + (100 - x^2) \)
\( 289 = (441 - 42x + x^2) + 100 - x^2 \)
\( 289 = 441 - 42x + 100 \)
\( 289 = 541 - 42x \)
\( 42x = 541 - 289 \)
\( 42x = 252 \)
\( x = \frac{252}{42} \)
\( x = 6 \)
Şimdi \( x = 6 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:
\( h^2 = 100 - x^2 \)
\( h^2 = 100 - 6^2 \)
\( h^2 = 100 - 36 \)
\( h^2 = 64 \)
\( h = \sqrt{64} \)
\( h = 8 \)
Sonuç olarak, A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 8 birimdir. 👉
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir inşaat işçisi, 12 metre uzunluğundaki bir merdiveni, 5 metre yüksekliğindeki bir duvara dayayacaktır. Merdivenin duvara olan uzaklığı kaç metre olmalıdır ki merdiven sağlam bir şekilde dursun? 🪜
Çözüm ve Açıklama
Bu durum, dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenarlardan biri ve duvara olan uzaklık diğer dik kenardır. Pisagor teoremi ile bu mesafeyi hesaplayabiliriz.
Verilenler:
Merdiven uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 12 metre
Duvar yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 5 metre
Merdivenin duvara olan uzaklığı (dik kenar, \( b \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Değerleri yerine koyalım:
\( 5^2 + b^2 = 12^2 \)
\( 25 + b^2 = 144 \)
\( b^2 = 144 - 25 \)
\( b^2 = 119 \)
\( b = \sqrt{119} \)
Yaklaşık olarak \( \sqrt{119} \approx 10.91 \) metre'dir.
Merdivenin duvara olan uzaklığı yaklaşık olarak 10.91 metre olmalıdır. 💡
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir oyuncu, sahanın bir köşesinden karşı çapraz köşesine doğru düz bir çizgide koşacaktır. Oyuncunun koştuğu mesafenin tam olarak kaç metre olduğunu hesaplamak için hangi teoremi kullanırız ve bu mesafe yaklaşık olarak kaç metredir? ⚽
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, futbol sahasının kenar uzunlukları ve oyuncunun koştuğu çapraz mesafe bir dik üçgen oluşturur. Oyuncunun koştuğu mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu nedenle Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Saha uzun kenarı (dik kenar, \( a \)) = 100 metre
Saha kısa kenarı (dik kenar, \( b \)) = 50 metre
Oyuncunun koştuğu mesafe (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
\( 10000 + 2500 = c^2 \)
\( 12500 = c^2 \)
\( c = \sqrt{12500} \)
\( c = \sqrt{2500 \times 5} \)
\( c = 50\sqrt{5} \)
Yaklaşık değer hesaplaması:
\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( c \approx 50 \times 2.236 \)
\( c \approx 111.8 \) metre
Oyuncunun koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre olup, bu da yaklaşık olarak 111.8 metre'dir. 🏃
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada:
\( c = 13 \) cm (hipotenüs)
\( a = 5 \) cm (bir dik kenar)
\( b = ? \) (diğer dik kenar)
Değerleri yerine koyalım:
\( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
\( 25 + b^2 = 169 \)
\( b^2 = 169 - 25 \)
\( b^2 = 144 \)
\( b = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \) cm
Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 15 \) birim, \( |BC| = 13 \) birim ve \( |AC| = 14 \) birimdir. Bu üçgenin B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremi veya Pisagor teoremini art arda kullanabiliriz. Yüksekliği çizelim ve oluşan dik üçgenleri inceleyelim.
ABC üçgeninde B noktasından AC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik AC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,
\( |AD| = x \) birim
\( |DC| = 14 - x \) birim
İki dik üçgen oluşur: ABD ve BDC.
ABD üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
\( 15^2 = x^2 + h^2 \)
\( 225 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)
BDC üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |BC|^2 = |DC|^2 + |BD|^2 \)
\( 13^2 = (14-x)^2 + h^2 \)
\( 169 = (14-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)
Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:
\( h^2 = 225 - x^2 \)
\( 169 = (14-x)^2 + (225 - x^2) \)
\( 169 = (196 - 28x + x^2) + 225 - x^2 \)
\( 169 = 196 - 28x + 225 \)
\( 169 = 421 - 28x \)
\( 28x = 421 - 169 \)
\( 28x = 252 \)
\( x = \frac{252}{28} \)
\( x = 9 \)
Şimdi \( x = 9 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:
\( h^2 = 225 - x^2 \)
\( h^2 = 225 - 9^2 \)
\( h^2 = 225 - 81 \)
\( h^2 = 144 \)
\( h = \sqrt{144} \)
\( h = 12 \)
Sonuç olarak, B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 birimdir. 👉
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir çiftçi, tarlasına dik bir şekilde yerleştirilmiş 10 metrelik bir direğin tepesinden, tarlanın 6 metre uzağındaki bir noktaya gergin bir ip bağlamak istiyor. İpin uzunluğu kaç metre olmalıdır? 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur. Direğin yüksekliği bir dik kenar, tarlanın uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe diğer dik kenar ve ipin uzunluğu ise hipotenüstür. Bu problemi çözmek için Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Direğin yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 10 metre
Tarlanın uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe (dik kenar, \( b \)) = 6 metre
İpin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 10^2 + 6^2 = c^2 \)
\( 100 + 36 = c^2 \)
\( 136 = c^2 \)
\( c = \sqrt{136} \)
İpin uzunluğu \( \sqrt{136} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 11.66 metreye denk gelir. 💡
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir evin çatısının eğimi hesaplanırken, çatıdan çıkan bir dik üçgenin yataydaki uzunluğu 8 metre ve dikeydeki yüksekliği 3 metredir. Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğu (yani, eğimli kısmın kendisi) kaç metredir? 🏠
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, çatının eğimli yüzeyi bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülebilir. Yataydaki uzunluk ve dikeydeki yükseklik ise dik kenarlardır. Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğunu hesaplamak için Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Yatay uzunluk (dik kenar, \( a \)) = 8 metre
Dikey yükseklik (dik kenar, \( b \)) = 3 metre
Eğimli yüzeyin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 8^2 + 3^2 = c^2 \)
\( 64 + 9 = c^2 \)
\( 73 = c^2 \)
\( c = \sqrt{73} \)
Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğu \( \sqrt{73} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 8.54 metreye denk gelir. 📐
9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor ve Talep Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Teorem şu şekildedir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Burada:
\( a \) ve \( b \) dik kenarların uzunluklarıdır.
\( c \) hipotenüsün uzunluğudur.
Verilen bilgilere göre:
\( a = 6 \) cm
\( b = 8 \) cm
Şimdi bu değerleri Pisagor teoreminde yerine koyalım:
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
\( 36 + 64 = c^2 \)
\( 100 = c^2 \)
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm
Sonuç olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) birim, \( |AC| = 17 \) birim ve \( |BC| = 21 \) birimdir. Bu üçgenin A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremi veya Pisagor teoremini art arda kullanabiliriz. Yüksekliği çizelim ve oluşan dik üçgenleri inceleyelim.
ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,
\( |BD| = x \) birim
\( |DC| = 21 - x \) birim
İki dik üçgen oluşur: ABD ve ADC.
ABD üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AB|^2 = |BD|^2 + |AD|^2 \)
\( 10^2 = x^2 + h^2 \)
\( 100 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)
ADC üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AC|^2 = |DC|^2 + |AD|^2 \)
\( 17^2 = (21-x)^2 + h^2 \)
\( 289 = (21-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)
Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:
\( h^2 = 100 - x^2 \)
\( 289 = (21-x)^2 + (100 - x^2) \)
\( 289 = (441 - 42x + x^2) + 100 - x^2 \)
\( 289 = 441 - 42x + 100 \)
\( 289 = 541 - 42x \)
\( 42x = 541 - 289 \)
\( 42x = 252 \)
\( x = \frac{252}{42} \)
\( x = 6 \)
Şimdi \( x = 6 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:
\( h^2 = 100 - x^2 \)
\( h^2 = 100 - 6^2 \)
\( h^2 = 100 - 36 \)
\( h^2 = 64 \)
\( h = \sqrt{64} \)
\( h = 8 \)
Sonuç olarak, A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 8 birimdir. 👉
Örnek 3:
Bir inşaat işçisi, 12 metre uzunluğundaki bir merdiveni, 5 metre yüksekliğindeki bir duvara dayayacaktır. Merdivenin duvara olan uzaklığı kaç metre olmalıdır ki merdiven sağlam bir şekilde dursun? 🪜
Çözüm:
Bu durum, dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenarlardan biri ve duvara olan uzaklık diğer dik kenardır. Pisagor teoremi ile bu mesafeyi hesaplayabiliriz.
Verilenler:
Merdiven uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 12 metre
Duvar yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 5 metre
Merdivenin duvara olan uzaklığı (dik kenar, \( b \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Değerleri yerine koyalım:
\( 5^2 + b^2 = 12^2 \)
\( 25 + b^2 = 144 \)
\( b^2 = 144 - 25 \)
\( b^2 = 119 \)
\( b = \sqrt{119} \)
Yaklaşık olarak \( \sqrt{119} \approx 10.91 \) metre'dir.
Merdivenin duvara olan uzaklığı yaklaşık olarak 10.91 metre olmalıdır. 💡
Örnek 4:
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir oyuncu, sahanın bir köşesinden karşı çapraz köşesine doğru düz bir çizgide koşacaktır. Oyuncunun koştuğu mesafenin tam olarak kaç metre olduğunu hesaplamak için hangi teoremi kullanırız ve bu mesafe yaklaşık olarak kaç metredir? ⚽
Çözüm:
Bu problemde, futbol sahasının kenar uzunlukları ve oyuncunun koştuğu çapraz mesafe bir dik üçgen oluşturur. Oyuncunun koştuğu mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu nedenle Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Saha uzun kenarı (dik kenar, \( a \)) = 100 metre
Saha kısa kenarı (dik kenar, \( b \)) = 50 metre
Oyuncunun koştuğu mesafe (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
\( 10000 + 2500 = c^2 \)
\( 12500 = c^2 \)
\( c = \sqrt{12500} \)
\( c = \sqrt{2500 \times 5} \)
\( c = 50\sqrt{5} \)
Yaklaşık değer hesaplaması:
\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( c \approx 50 \times 2.236 \)
\( c \approx 111.8 \) metre
Oyuncunun koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre olup, bu da yaklaşık olarak 111.8 metre'dir. 🏃
Örnek 5:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada:
\( c = 13 \) cm (hipotenüs)
\( a = 5 \) cm (bir dik kenar)
\( b = ? \) (diğer dik kenar)
Değerleri yerine koyalım:
\( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
\( 25 + b^2 = 169 \)
\( b^2 = 169 - 25 \)
\( b^2 = 144 \)
\( b = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \) cm
Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 15 \) birim, \( |BC| = 13 \) birim ve \( |AC| = 14 \) birimdir. Bu üçgenin B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremi veya Pisagor teoremini art arda kullanabiliriz. Yüksekliği çizelim ve oluşan dik üçgenleri inceleyelim.
ABC üçgeninde B noktasından AC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. Bu yükseklik AC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda,
\( |AD| = x \) birim
\( |DC| = 14 - x \) birim
İki dik üçgen oluşur: ABD ve BDC.
ABD üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
\( 15^2 = x^2 + h^2 \)
\( 225 = x^2 + h^2 \) (Denklem 1)
BDC üçgeni için Pisagor teoremi:
\( |BC|^2 = |DC|^2 + |BD|^2 \)
\( 13^2 = (14-x)^2 + h^2 \)
\( 169 = (14-x)^2 + h^2 \) (Denklem 2)
Şimdi Denklem 1'den \( h^2 \)'yi çekip Denklem 2'de yerine koyalım:
\( h^2 = 225 - x^2 \)
\( 169 = (14-x)^2 + (225 - x^2) \)
\( 169 = (196 - 28x + x^2) + 225 - x^2 \)
\( 169 = 196 - 28x + 225 \)
\( 169 = 421 - 28x \)
\( 28x = 421 - 169 \)
\( 28x = 252 \)
\( x = \frac{252}{28} \)
\( x = 9 \)
Şimdi \( x = 9 \) değerini Denklem 1'de \( h^2 \)'yi bulmak için kullanalım:
\( h^2 = 225 - x^2 \)
\( h^2 = 225 - 9^2 \)
\( h^2 = 225 - 81 \)
\( h^2 = 144 \)
\( h = \sqrt{144} \)
\( h = 12 \)
Sonuç olarak, B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 birimdir. 👉
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasına dik bir şekilde yerleştirilmiş 10 metrelik bir direğin tepesinden, tarlanın 6 metre uzağındaki bir noktaya gergin bir ip bağlamak istiyor. İpin uzunluğu kaç metre olmalıdır? 📏
Çözüm:
Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur. Direğin yüksekliği bir dik kenar, tarlanın uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe diğer dik kenar ve ipin uzunluğu ise hipotenüstür. Bu problemi çözmek için Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Direğin yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 10 metre
Tarlanın uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe (dik kenar, \( b \)) = 6 metre
İpin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 10^2 + 6^2 = c^2 \)
\( 100 + 36 = c^2 \)
\( 136 = c^2 \)
\( c = \sqrt{136} \)
İpin uzunluğu \( \sqrt{136} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 11.66 metreye denk gelir. 💡
Örnek 8:
Bir evin çatısının eğimi hesaplanırken, çatıdan çıkan bir dik üçgenin yataydaki uzunluğu 8 metre ve dikeydeki yüksekliği 3 metredir. Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğu (yani, eğimli kısmın kendisi) kaç metredir? 🏠
Çözüm:
Bu problemde, çatının eğimli yüzeyi bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülebilir. Yataydaki uzunluk ve dikeydeki yükseklik ise dik kenarlardır. Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğunu hesaplamak için Pisagor teoremi kullanılır.
Verilenler:
Yatay uzunluk (dik kenar, \( a \)) = 8 metre
Dikey yükseklik (dik kenar, \( b \)) = 3 metre
Eğimli yüzeyin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = ?
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hesaplama:
\( 8^2 + 3^2 = c^2 \)
\( 64 + 9 = c^2 \)
\( 73 = c^2 \)
\( c = \sqrt{73} \)
Çatının eğimli yüzeyinin uzunluğu \( \sqrt{73} \) metre'dir. Bu da yaklaşık olarak 8.54 metreye denk gelir. 📐