🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Tales teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Tales teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olduğuna göre, hipotenüs kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Teorem formülü şöyledir: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlarımız \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm'dir.
- Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüsü bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 12 cm, BC kenarı 18 cm ve bu iki kenar arasındaki açı 60 derecedir. AC kenarının uzunluğunu yaklaşık olarak bulunuz. (Bu soru için kosinüs teoremi gereklidir ancak 9. sınıf müfredatında olmadığı için, bu tür bir soru sorulmayacaktır. Aşağıdaki örnek Tales teoremi ile ilgilidir.)
[TEXT] Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm olduğuna göre, EC kaç cm'dir? (Şekil hayal edilecektir: A tepede, DE tabana paralel, B ve C tabanda.) 📏
Çözüm:
- Bu problem, Tales Teoremi'nin (Benzer Üçgenler) bir uygulamasıdır.
- DE // BC olduğunda, oluşan ABE ve ABC üçgenleri benzerdir.
- Benzerlik oranına göre, kenarların oranları eşittir: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( AD = 4 \) cm, \( DB = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm.
- AB uzunluğu \( AD + DB = 4 + 6 = 10 \) cm'dir.
- Oranı kuralım: \( \frac{4}{10} = \frac{5}{AC} \)
- AC'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times AC = 10 \times 5 \)
- \( 4 \times AC = 50 \)
- AC'yi hesaplayalım: \( AC = \frac{50}{4} = 12.5 \) cm.
- EC uzunluğu \( AC - AE \) olduğundan: \( EC = 12.5 - 5 = 7.5 \) cm.
Örnek 3:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenar kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c = 13 \) cm ve bir dik kenar \( a = 5 \) cm olarak verilmiş. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Karelerini hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) değerini bulmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- \( b^2 = 144 \)
- \( b \) değerini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 4:
Bir inşaat işçisi, 4 metre yüksekliğindeki bir duvarın tepesine ulaşmak için 5 metre uzunluğunda bir merdiven kullanıyor. Merdivenin duvara olan uzaklığı kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
- Bu durum, bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüs (en uzun kenar) olur, yani \( c = 5 \) m.
- Duvarın yüksekliği bir dik kenardır, yani \( a = 4 \) m.
- Merdivenin duvara olan uzaklığı ise diğer dik kenardır, yani \( b \)'yi bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Teoremi'ni kullanırız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 4^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 16 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) değerini bulalım: \( b^2 = 25 - 16 \)
- \( b^2 = 9 \)
- \( b \) değerini bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{9} \)
- Sonuç: \( b = 3 \) m.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 8 cm, AC kenarı 12 cm ve BC kenarı 16 cm'dir. Bu üçgenin benzeri olan bir DEF üçgeninde DE kenarı 6 cm ise, DF ve EF kenarlarının uzunluklarını bulunuz. (Bu soru için benzerlik oranları kullanılacaktır.) 📐
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olması, kenar uzunluklarının orantılı olduğu anlamına gelir.
- ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.
- Benzerlik oranını, bilinen kenarlar üzerinden hesaplayabiliriz. AB kenarı 8 cm ve karşılık gelen DE kenarı 6 cm'dir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) 'tür.
- Bu oran, DEF üçgenindeki her kenarın ABC üçgenindeki karşılık gelen kenarın \( \frac{3}{4} \) katı olduğu anlamına gelir.
- DF kenarını bulalım: \( DF = k \times AC = \frac{3}{4} \times 12 \)
- \( DF = 3 \times 3 = 9 \) cm.
- EF kenarını bulalım: \( EF = k \times BC = \frac{3}{4} \times 16 \)
- \( EF = 3 \times 4 = 12 \) cm.
Örnek 6:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( x \) cm, diğeri \( x+7 \) cm'dir. Hipotenüsü ise \( x+8 \) cm'dir. Bu üçgenin çevresini bulunuz. 📏
Çözüm:
- Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanarak \( x \) değerini bulacağız.
- Dik kenarlar \( a = x \) ve \( b = x+7 \), hipotenüs \( c = x+8 \)
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2 \)
- Parantez karelerini açalım:
- \( (x+7)^2 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49 \)
- \( (x+8)^2 = x^2 + 2 \times x \times 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64 \)
- Denklemi yeniden yazalım: \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = x^2 + 16x + 64 \)
- İfadeyi sadeleştirelim: \( 2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2x^2 - x^2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \)
- \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-5)(x+3) = 0 \)
- Buradan \( x = 5 \) veya \( x = -3 \) elde ederiz.
- Kenar uzunlukları pozitif olmak zorunda olduğundan, \( x = 5 \) değerini alırız.
- Kenar uzunlukları şimdi şunlardır:
- Dik kenar 1: \( x = 5 \) cm
- Dik kenar 2: \( x+7 = 5+7 = 12 \) cm
- Hipotenüs: \( x+8 = 5+8 = 13 \) cm
- Çevresi: \( 5 + 12 + 13 = 30 \) cm.
Örnek 7:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere dik olarak inen bir ip vardır. İpin uzunluğu 15 metredir. Parkın bir köşesinde duran Ali, ipin ucundan 9 metre uzakta bulunmaktadır. Ali'nin ağacın tepesine olan en kısa mesafesi kaç metredir? (Bu soruyu bir dik üçgen çizerek çözebilirsiniz.) 🌳
Çözüm:
- Bu senaryoyu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Ağacın boyu, yere dik olduğu için bir dik kenardır.
- Ali'nin bulunduğu mesafe, ağacın dibinden yere dik inen ipin ucuna olan uzaklık olarak düşünülebilir, bu da diğer dik kenardır.
- Ancak soruda "ip, ağacın tepesinden yere dik olarak inen" denmiş ve ipin uzunluğu 15 metre. Bu, ağacın boyudur.
- Ali'nin ipin ucundan 9 metre uzakta olması, Ali'nin ağacın dibinden 9 metre uzakta olduğunu gösterir.
- Yani, dik kenarlarımız 15 m (ağacın boyu) ve 9 m'dir (Ali'nin ağacın dibine uzaklığı).
- Ali'nin ağacın tepesine olan en kısa mesafesi ise hipotenüs olacaktır.
- Pisagor Teoremi'ni kullanırız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 15^2 + 9^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 225 + 81 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 306 = c^2 \)
- \( c \) değerini bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{306} \)
- \( \sqrt{306} \) yaklaşık olarak 17.5 metredir.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 120 km'dir. C şehri, A şehrinden 50 km doğuda ve B şehrinden 70 km kuzeydedir. A, B ve C şehirlerinin birbirine göre konumlarını ve aralarındaki mesafeleri (yaklaşık olarak) düşünelim. (Bu soru, Pisagor teoreminin farklı uygulamalarını göstermek için bir başlangıç noktasıdır.)
[TEXT] Bir teknisyen, 8 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine yerleştirilmiş bir antenin tepesinden, duvarın dibinden 6 metre uzaktaki bir noktaya kablo çekmek istiyor. Kablonun uzunluğu kaç metre olmalıdır? 📡
Çözüm:
- Bu problemde de bir dik üçgen söz konusudur.
- Duvarın yüksekliği bir dik kenardır: \( a = 8 \) m.
- Teknisyenin kablo çekeceği nokta, duvarın dibinden 6 metre uzaktadır, bu da diğer dik kenardır: \( b = 6 \) m.
- Çekilecek kablonun uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
- Pisagor Teoremi'ni uygularız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 36 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- \( c \) değerini bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) m.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-pisagor-tales-teoremleri/sorular