📄 9. Sınıf Matematik: Niceleyiciler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

a) \(p: \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \ge x\) önermesinin doğruluk değerini inceleyelim.

Bu önerme, her tam sayı \(x\) için \(x^2 \ge x\) eşitsizliğinin doğru olduğunu iddia etmektedir.

Eşitsizliği \(x^2 - x \ge 0\) veya \(x(x-1) \ge 0\) şeklinde yazabiliriz.

Bu eşitsizlik, \(x \le 0\) veya \(x \ge 1\) olduğunda doğrudur.

Tam sayılar için: Eğer \(x=0\) ise, \(0^2 \ge 0 \Rightarrow 0 \ge 0\) (Doğru).

Eğer \(x=1\) ise, \(1^2 \ge 1 \Rightarrow 1 \ge 1\) (Doğru).

Eğer \(x=-1\) ise, \((-1)^2 \ge -1 \Rightarrow 1 \ge -1\) (Doğru).

Eğer \(x=2\) ise, \(2^2 \ge 2 \Rightarrow 4 \ge 2\) (Doğru).

Bu önerme, \(x\) tam sayı olduğu sürece daima doğrudur. Dolayısıyla, \(p\) önermesinin doğruluk değeri Doğru'dur.



b) \(q: \exists x \in \mathbb{N}, x^2 - 5x + 6 = 0\) önermesinin doğruluk değerini inceleyelim.

Bu önerme, en az bir doğal sayı \(x\) için \(x^2 - 5x + 6 = 0\) denkleminin doğru olduğunu iddia etmektedir.

Denklemi çarpanlarına ayıralım: \((x-2)(x-3) = 0\).

Bu denklemi sağlayan \(x\) değerleri \(x=2\) veya \(x=3\)'tür.

Hem \(2\) hem de \(3\) birer doğal sayıdır (\(2 \in \mathbb{N}\) ve \(3 \in \mathbb{N}\)).

En az bir tane doğal sayı bu denklemi sağladığı için (hatta iki tane), \(q\) önermesinin doğruluk değeri Doğru'dur.

💡 Çözüm Adımları:

a) \(p: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0\) önermesinin değili \(p'\) aşağıdaki gibi bulunur:

Evrensel niceleyici (\(\forall\)) varlıksal niceleyiciye (\(\exists\)) dönüşür ve önermenin yükleminin değili alınır.

\(p': \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0\)



b) \(q: \exists x \in \mathbb{Z}, 3x - 2 = 7\) önermesinin değili \(q'\) aşağıdaki gibi bulunur:

Varlıksal niceleyici (\(\exists\)) evrensel niceleyiciye (\(\forall\)) dönüşür ve önermenin yükleminin değili alınır.

\(q': \forall x \in \mathbb{Z}, 3x - 2
e 7\)

💡 Çözüm Adımları:

a) "Her tam sayının karesi pozitiftir." ifadesini sembollerle yazalım.

"Her" kelimesi evrensel niceleyici (\(\forall\)) olduğunu gösterir. Tam sayılar kümesi \(\mathbb{Z}\) ile gösterilir. Bir sayının karesinin pozitif olması \(x^2 > 0\) şeklinde yazılır.

\(\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 > 0\)



b) "Bazı doğal sayıların 2 katının 1 fazlası 5'e eşittir." ifadesini sembollerle yazalım.

"Bazı" kelimesi varlıksal niceleyici (\(\exists\)) olduğunu gösterir. Doğal sayılar kümesi \(\mathbb{N}\) ile gösterilir. Bir sayının 2 katının 1 fazlası \(2x+1\) şeklinde yazılır ve bunun 5'e eşit olması \(2x+1 = 5\) şeklinde ifade edilir.

\(\exists x \in \mathbb{N}, 2x+1 = 5\)