🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Matematik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Matematik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası 23'e eşittir. Bu sayı kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu problemi çözmek için adım adım ilerleyelim:
- Problemi Anlama: Sayımız bilinmiyor, bu sayıyı bir değişkenle (örneğin \(x\)) temsil edelim.
- Denklem Kurma: Soruda verilen ifadeleri matematiksel bir denkleme dökelim:
- "Bir sayının 3 katı": \(3x\)
- "3 katının 5 fazlası": \(3x + 5\)
- "23'e eşittir": \(3x + 5 = 23\)
- Denklemi Çözme:
- Önce her iki taraftan 5 çıkaralım: \(3x + 5 - 5 = 23 - 5 \Rightarrow 3x = 18\)
- Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \Rightarrow x = 6 \)
- Sonuç: Bulduğumuz sayı 6'dır. ✅
Örnek 2:
İki sayının toplamı 45'tir. Sayılardan biri diğerinin 2 katından 3 eksiktir. Bu iki sayı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yine denklem kurma yöntemini kullanacağız:
- Değişken Tanımlama: Küçük sayıya \(x\) diyelim.
- Diğer Sayıyı İfade Etme: Soruda "Sayılardan biri diğerinin 2 katından 3 eksiktir" deniyor. O zaman diğer sayı \(2x - 3\) olur.
- Denklem Kurma: "İki sayının toplamı 45'tir" ifadesini kullanarak denklemimizi oluşturalım: \( x + (2x - 3) = 45 \)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri birleştirelim: \(3x - 3 = 45\)
- Her iki tarafa 3 ekleyelim: \(3x - 3 + 3 = 45 + 3 \Rightarrow 3x = 48\)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{48}{3} \Rightarrow x = 16 \)
- Sayıları Bulma:
- Küçük sayı \(x = 16\)
- Diğer sayı \(2x - 3 = 2(16) - 3 = 32 - 3 = 29\)
- Sonuç: Bu iki sayı 16 ve 29'dur. 💯
Örnek 3:
Bir manav, elindeki limonların önce çeyreğini, sonra kalan limonların yarısını satıyor. Manavın elinde başlangıçtaki limonların kaçta kaçı kalmıştır? 🍋
Çözüm:
Bu problemi kesirlerle çözebiliriz:
- Başlangıç Durumu: Manavın elinde bütün limonlar var, bunu 1 tam kesri ile gösterebiliriz.
- İlk Satış: Limonların çeyreğini satıyor. Yani \( \frac{1}{4} \) 'ünü satmış.
- Kalan Limonlar: Başlangıçtan satılanı çıkaralım: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
- İkinci Satış: Kalan limonların yarısını satıyor. Kalan limonlar \( \frac{3}{4} \) idi. Yarısı demek \( \frac{1}{2} \) ile çarpmak demektir: \( \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \)
- Son Kalan Limonlar: İlk kalan miktardan ikinci satışı çıkaralım: \( \frac{3}{4} - \frac{3}{8} \)
- Bu çıkarma işlemini yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. \( \frac{3}{4} \) 'ü \( \frac{6}{8} \) şeklinde yazabiliriz. \( \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8} \)
- Sonuç: Manavın elinde başlangıçtaki limonların \( \frac{3}{8} \) 'i kalmıştır. 🥳
Örnek 4:
Bir kitapçı, bir kitabın etiket fiyatı üzerinden önce %20 indirim yapıyor, ardından indirimli fiyat üzerinden %10 zam yapıyor. Kitabın son fiyatı, etiket fiyatının yüzde kaçı olur? 🏷️
Çözüm:
Bu tür yüzdelik işlemler, başlangıç fiyatını bilmesek bile oran olarak hesaplanabilir. Başlangıç etiket fiyatına 100 TL diyelim.
- İlk İndirim: Etiket fiyatı 100 TL. %20 indirim demek, 100 TL'nin %20'si kadar düşüş demektir.
- İndirim miktarı: \( 100 \times \frac{20}{100} = 20 \) TL
- İndirimli fiyat: \( 100 - 20 = 80 \) TL
- Zam: Şimdi indirimli fiyat olan 80 TL üzerinden %10 zam yapılıyor.
- Zam miktarı: \( 80 \times \frac{10}{100} = 8 \) TL
- Son fiyat: \( 80 + 8 = 88 \) TL
- Sonuç: Kitabın son fiyatı 88 TL'dir. Başlangıç fiyatı 100 TL idi. O halde son fiyat, etiket fiyatının %88'idir. ✨
Örnek 5:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı \(x\) cm, uzun kenarı ise \(y\) cm'dir. Eğer kısa kenar 2 cm artırılır ve uzun kenar 3 cm azaltılırsa, alan nasıl değişir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu cebirsel ifadelerle çözebiliriz:
- Başlangıç Alanı: Dikdörtgenin başlangıçtaki alanı \( A_1 = x \times y \) olur.
- Yeni Kenarlar:
- Kısa kenar 2 cm artırılırsa yeni kısa kenar: \( x + 2 \) cm
- Uzun kenar 3 cm azaltılırsa yeni uzun kenar: \( y - 3 \) cm
- Yeni Alan: Yeni kenarlarla oluşan alan \( A_2 = (x + 2) \times (y - 3) \) olur.
- Yeni Alanı Açma: Bu ifadeyi dağılma özelliğini kullanarak açalım: \( A_2 = x(y - 3) + 2(y - 3) \) \( A_2 = xy - 3x + 2y - 6 \)
- Alan Değişimini Bulma: Alanın ne kadar değiştiğini bulmak için yeni alandan eski alanı çıkarırız: \( \Delta A = A_2 - A_1 \) \( \Delta A = (xy - 3x + 2y - 6) - (xy) \) \( \Delta A = xy - 3x + 2y - 6 - xy \) \( \Delta A = -3x + 2y - 6 \)
- Sonuç: Dikdörtgenin alanı \( 2y - 3x - 6 \) cm² kadar değişir. Bu ifade pozitif çıkarsa alan artmış, negatif çıkarsa azalmış demektir. 📈📉
Örnek 6:
Bir sepetteki elmaların sayısı, armutların sayısının 4 katıdır. Sepette toplam 20 meyve olduğuna göre, kaç elma vardır? 🍎🍐
Çözüm:
Bu problemi denklem kurarak kolayca çözebiliriz:
- Değişken Tanımlama: Armutların sayısına \(x\) diyelim.
- Elmaların Sayısını İfade Etme: Soruda "elmaların sayısı, armutların sayısının 4 katıdır" deniyor. O halde elmaların sayısı \(4x\) olur.
- Denklem Kurma: "Sepette toplam 20 meyve var" ifadesini kullanarak denklemimizi oluşturalım: \( x + 4x = 20 \)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri birleştirelim: \(5x = 20\)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{5x}{5} = \frac{20}{5} \Rightarrow x = 4 \)
- Elma Sayısını Bulma: Armut sayısı \(x=4\) ise, elma sayısı \(4x = 4 \times 4 = 16\) olur.
- Sonuç: Sepette 16 elma vardır. 🥳
Örnek 7:
Bir otobüs, başlangıçta boş olarak hareket ediyor. İlk durakta yolcuların %40'ı biniyor. İkinci durakta ise otobüsteki yolcuların yarısı iniyor ve 15 yolcu biniyor. Otobüs ikinci duraktan ayrılırken kaç yolcu taşımaktadır? 🚌
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözerek otobüsteki yolcu sayısını bulalım:
- Başlangıç: Otobüs boş, yani 0 yolcu var.
- İlk Durak: Yolcuların %40'ı biniyor. Başlangıçta 0 yolcu olduğu için bu ifade biraz kafa karıştırıcı olabilir. Ancak, genellikle bu tür sorularda "ilk durakta binen yolcu sayısı, toplam kapasitenin %40'ı kadardır" gibi bir anlam çıkarılır veya "ilk durakta binen yolcular, otobüsün o anki doluluk oranını belirler" denir. Soruda net bir başlangıç yolcu sayısı verilmediği için, ilk durakta binen yolcu sayısını bir değişkenle temsil edelim. Diyelim ki ilk durakta \(y\) yolcu bindi.
- İkinci Durak (İnen Yolcular): Otobüsteki yolcuların yarısı iniyor. Yani \( \frac{y}{2} \) yolcu indi.
- Kalan Yolcular: İnenlerden sonra otobüste \( y - \frac{y}{2} = \frac{y}{2} \) yolcu kalır.
- İkinci Durak (Binen Yolcular): Sonra 15 yolcu daha biniyor.
- Son Durum: İkinci duraktan ayrılırken otobüsteki yolcu sayısı \( \frac{y}{2} + 15 \) olur.
- Sorudaki Bilgiyi Kullanma: Soruda "ikinci duraktan ayrılırken kaç yolcu taşımaktadır?" diye soruluyor ve bu sayının bir değeri verilmemiş. Ancak, "ikinci durakta ise otobüsteki yolcuların yarısı iniyor ve 15 yolcu biniyor" ifadesi, bu 15 yolcunun binmesinden sonraki durumu ima ediyor. Eğer sorunun asıl amacı, ilk durakta binen yolcu sayısını buldurmak olsaydı, ikinci duraktan ayrılırkenki yolcu sayısını bilmemiz gerekirdi. Sorunun bu haliyle, ilk durakta binen yolcu sayısı \(y\) bilinmediği için kesin bir sayıya ulaşamayız.
- Varsayım ve Çözüm: Genellikle bu tür sorularda "ilk durakta binen yolcuların sayısı, sonraki durumu etkileyen temel miktardır" denir. Eğer ilk durakta binen yolcu sayısını \(y\) olarak alırsak ve bu \(y\) sayısının ne olduğunu bilmeden ilerlersek, ikinci duraktan ayrılırkenki yolcu sayısı \( \frac{y}{2} + 15 \) olur.
- Alternatif Yorum ve Çözüm: Eğer soruyu "İlk durakta binen yolcuların sayısı \(X\) olsun. İkinci durakta bu yolcuların yarısı indi (\(X/2\)). Sonra 15 kişi bindi. İkinci duraktan ayrılırkenki yolcu sayısı \(X/2 + 15\) olur." şeklinde anlarsak, \(X\) bilinmediği için kesin bir sayı bulamayız.
- Yaygın Soru Formatı Varsayımı: Bu tür sorularda genellikle ilk durakta binen yolcu sayısının bir değeri verilir veya son durumda yolcu sayısının ne olduğu belirtilir. Eğer soruyu şöyle anlarsak: "Bir otobüs hareket ediyor. İlk durakta binen yolcular \(Y\) olsun. İkinci durakta bu \(Y\) yolcunun yarısı iniyor ve 15 yolcu biniyor. Otobüs ikinci duraktan ayrılırken toplam 30 yolcu taşıyor." Bu durumda \( \frac{Y}{2} + 15 = 30 \Rightarrow \frac{Y}{2} = 15 \Rightarrow Y = 30 \) olurdu.
- Sorunun Mevcut Haliyle Cevabı: Soruda ikinci duraktan ayrılırkenki yolcu sayısı hakkında ek bir bilgi olmadığı için, ilk durakta binen yolcu sayısını \(y\) kabul edersek, ikinci duraktan ayrılırken otobüs \( \frac{y}{2} + 15 \) yolcu taşımaktadır. 🚌
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasının önce \( \frac{1}{3} \) 'ünü domates, kalan kısmın ise \( \frac{1}{2} \) 'sini biber ekmek için kullanıyor. Çiftçinin tarlasının ekilmeyen kısmı, tarlanın tamamının kaçta kaçıdır? 🌾
Çözüm:
Bu soruyu kesirlerle adım adım çözebiliriz:
- Tarlanın Tamamı: Tarlanın tamamını 1 bütün olarak kabul edelim.
- Domates Ekilen Kısım: Tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'üne domates ekiliyor.
- Kalan Kısım: Domates ekildikten sonra kalan kısım: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
- Biber Ekilen Kısım: Kalan kısmın (yani \( \frac{2}{3} \)'ün) \( \frac{1}{2} \) 'sine biber ekiliyor. \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Toplam Ekilen Kısım: Domates ve biber ekilen kısımları toplayalım: \( \frac{1}{3} \) (domates) + \( \frac{1}{3} \) (biber) = \( \frac{2}{3} \)
- Ekilmeyen Kısım: Tarlanın tamamından ekilen kısmı çıkaralım: \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
- Sonuç: Çiftçinin tarlasının ekilmeyen kısmı, tarlanın tamamının \( \frac{1}{3} \)'üdür. 🌱
Örnek 9:
Ardışık üç tek sayının toplamı 111'dir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu problemi çözmek için ardışık tek sayıların özelliklerini kullanacağız:
- Ardışık Tek Sayılar: Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir.
- Değişken Tanımlama: Ortadaki tek sayıya \(x\) diyelim.
- Diğer Sayıları İfade Etme:
- Ortadaki sayı \(x\) ise, ondan önceki tek sayı \(x - 2\) olur.
- Ortadaki sayı \(x\) ise, ondan sonraki tek sayı \(x + 2\) olur.
- Denklem Kurma: "Ardışık üç tek sayının toplamı 111'dir" ifadesini kullanarak denklemimizi oluşturalım: \( (x - 2) + x + (x + 2) = 111 \)
- Denklemi Çözme:
- Benzer terimleri birleştirelim: \(x - 2 + x + x + 2 = 111 \Rightarrow 3x = 111\)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{111}{3} \Rightarrow x = 37 \)
- Sayıları Bulma:
- Ortadaki sayı \(x = 37\)
- Önceki tek sayı \(x - 2 = 37 - 2 = 35\)
- Sonraki tek sayı \(x + 2 = 37 + 2 = 39\)
- Sonuç: Bu üç ardışık tek sayı 35, 37 ve 39'dur. En büyüğü ise 39'dur. 🏆
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-matematik/sorular