💡 9. Sınıf Matematik: Mantık bağlaçları, niteleyiciler, Pisagor, Öklid, Tales ispatı Çözümlü Örnekler

Adım adım çözümleyelim:

• 1. Adım: Öncelikle \( p' \) (p'nin değili) değerini bulalım. \( p \equiv 1 \) ise \( p' \equiv 0 \) olur.
• 2. Adım: Parantez içindeki \( (p \vee q) \) işlemini yapalım. \( (1 \vee 0) \equiv 1 \) (Veya bağlacında en az bir tane 1 olması sonucu 1 yapar).
• 3. Adım: Bulduğumuz sonuçları ana önermede yerine koyalım: \( 1 \wedge 0 \).
• 4. Adım: Ve (\( \wedge \)) bağlacında, bileşenlerden biri 0 ise sonuç 0 olur.

✅ Sonuç: \( (p \vee q) \wedge p' \equiv 0 \) olarak bulunur.

Bu ifadeyi sembolik mantığa dökerken niteleyicileri kullanalım:

• 1. Adım: "Bazı" kelimesi varlıksal niteleyici olan \( \exists \) sembolü ile gösterilir.
• 2. Adım: "Tam sayılar" kümesi \( \mathbb{Z} \) ile gösterilir.
• 3. Adım: "Karesi 10'dan küçüktür" ifadesi \( x^2 < 10 \) şeklinde yazılır.
• 4. Adım: Sembolik yazım: \( \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 < 10 \) şeklindedir.
• 5. Adım: Doğruluk değerini kontrol edelim. Örneğin \( x = 2 \) bir tam sayıdır ve \( 2^2 = 4 < 10 \) şartını sağlar.

✅ Sonuç: En az bir tane örnek bulabildiğimiz için bu önermenin doğruluk değeri \( 1 \) olur.

Pisagor teoremini uygulayalım:

• 1. Adım: Teorem formülü şöyledir: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• 2. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım: \( 5^2 + 12^2 = BC^2 \)
• 3. Adım: Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 144 = BC^2 \)
• 4. Adım: Toplamı bulalım: \( 169 = BC^2 \)
• 5. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( BC = \sqrt{169} \)

✅ Sonuç: \( BC = 13 \) birim olarak bulunur. Bu üçgen meşhur 5-12-13 özel dik üçgenidir.

Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanalım:

• 1. Adım: Öklid teoremine göre, dik açıdan indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
• 2. Adım: Formül: \( h^2 = p \times k \)
• 3. Adım: Değerleri yerleştirelim: \( h^2 = 4 \times 9 \)
• 4. Adım: İşlemi yapalım: \( h^2 = 36 \)
• 5. Adım: Karekök alalım: \( h = \sqrt{36} \)

✅ Sonuç: \( AH = 6 \) birim bulunur.

Tales teoremi (Temel Orantı Teoremi) gereği karşılıklı parçalar orantılıdır:

• 1. Adım: Orantıyı kuralım: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \)
• 2. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \times x = 6 \times 4 \)
• 3. Adım: Denklemi düzenleyelim: \( 3x = 24 \)
• 4. Adım: Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = \frac{24}{3} \)

✅ Sonuç: \( x = 8 \) birim olarak bulunur.

Mantıksal modelleme yapalım:

• 1. Adım: İfadeyi sembolleştirelim: \( (p \wedge q) \Rightarrow r \)
• 2. Adım: Verilen durumu inceleyelim: Öğrenci kartını okutmuş (\( p \equiv 1 \)), maske takmamış (\( q \equiv 0 \)).
• 3. Adım: Bileşik önermeyi hesaplayalım: \( (1 \wedge 0) \equiv 0 \).
• 4. Adım: Kapının açılması (\( r \)) durumu bu koşula bağlıdır. Koşul sağlanmadığı için (\( 0 \)), kapı açılmaz.

✅ Sonuç: Kapının açılması için her iki şartın da sağlanması gerekir. Maske takılmadığı için sonuç olumsuzdur.

Bu soru hem Pisagor hem de Öklid bilgilerini içerir:

• 1. Adım: Önce hipotenüsü (yolun uzun kenarını) bulalım. \( 60-80-100 \) üçgeni (3-4-5'in 20 katı). Hipotenüs \( = 100 \) metre.
• 2. Adım: "En kısa yol" ifadesi dik uzaklığı, yani dik açıdan indirilen yüksekliği (\( h \)) temsil eder.
• 3. Adım: Üçgenin alan formülünden gidelim: \( \frac{60 \times 80}{2} = \frac{100 \times h}{2} \).
• 4. Adım: Sadeleştirelim: \( 4800 = 100 \times h \).
• 5. Adım: Yüksekliği bulalım: \( h = 48 \).

✅ Sonuç: Bu kişi en kısa yoldan gitmek için 48 metre yürümelidir.

Verilenleri analiz edelim ve uygulayalım:

• 1. Adım: Önce hipotenüsün tamamını (\( a \)) bulalım. \( a = BH + HC = 2 + 6 = 8 \) cm.
• 2. Adım: Öklid'in yan kenar bağıntısını yazalım: \( AB^2 = BH \times BC \)
• 3. Adım: Değerleri yerine koyalım: \( AB^2 = 2 \times 8 \)
• 4. Adım: Çarpımı yapalım: \( AB^2 = 16 \)
• 5. Adım: Karekök alalım: \( AB = \sqrt{16} \)

✅ Sonuç: \( AB = 4 \) cm olarak bulunur. Bu bağıntı, ABC üçgeni ile HBA üçgeni arasındaki benzerlikten ispatlanmaktadır.