🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Kelebek Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Kelebek Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki üçgenin benzer olması için gereken koşullar nelerdir? 💡
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan en az biri sağlanmalıdır:
- Aç-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Örnek 2:
Şekildeki ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir. \( AB = 6 \) cm, \( AD = 2 \) cm ve \( BC = 9 \) cm ise, \( DE \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
(Not: Şekil, A köşesinden çıkan bir ışın üzerinde B ve D noktalarının, aynı ışın üzerinde C ve E noktalarının yer aldığı ve DE'nin BC'ye paralel olduğu bir kesiti temsil etmektedir.)
(Not: Şekil, A köşesinden çıkan bir ışın üzerinde B ve D noktalarının, aynı ışın üzerinde C ve E noktalarının yer aldığı ve DE'nin BC'ye paralel olduğu bir kesiti temsil etmektedir.)
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız.
- DE // BC olduğundan, A açısı her iki üçgende de ortaktır.
- Ayrıca, DE // BC nedeniyle \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur (temel açı - ters açı eşliğinden veya yöndeş açılar).
- Bu durumda, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{2}{6} = \frac{DE}{9} \)
- Buradan \( DE \)'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yaparız: \( 6 \times DE = 2 \times 9 \)
- \( 6 \times DE = 18 \)
- \( DE = \frac{18}{6} \)
- \( DE = 3 \) cm bulunur. ✅
Örnek 3:
Bir fotoğrafın boyutları 10 cm x 15 cm'dir. Bu fotoğraf, kenar oranları korunarak daha büyük bir çerçeveye yerleştirilecektir. Eğer çerçevenin kısa kenarı 20 cm olursa, çerçevenin uzun kenarı kaç cm olur? 🖼️
Çözüm:
Bu durumda fotoğraf ve çerçeve kenar oranları birbirine eşit olacağından, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'nın bir uygulaması söz konusudur.
- Fotoğrafın kenar oranı: \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
- Çerçevenin kısa kenarı 20 cm olarak verilmiş. Uzun kenarı \( x \) olsun.
- Çerçevenin kenar oranı: \( \frac{20}{x} \)
- Bu oranlar birbirine eşit olmalıdır: \( \frac{2}{3} = \frac{20}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times x = 3 \times 20 \)
- \( 2x = 60 \)
- \( x = \frac{60}{2} \)
- \( x = 30 \) cm bulunur.
Örnek 4:
Bir dijital harita uygulamasında, A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 400 km'dir. Haritada bu iki şehir arasındaki uzaklık 8 cm olarak gösterilmiştir. Haritada 5 cm ile gösterilen C ve D şehirleri arasındaki gerçek uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
Bu problem, harita ölçeği üzerinden benzerlik prensibine dayanır.
- Harita üzerindeki uzaklık ile gerçek uzaklık arasında sabit bir oran vardır (ölçek).
- Haritada 8 cm, gerçekte 400 km'ye karşılık gelmektedir.
- Ölçek oranını bulalım: \( \frac{Gerçek \ Mesafe}{Harita \ Mesafesi} = \frac{400 \text{ km}}{8 \text{ cm}} = 50 \text{ km/cm} \)
- Şimdi C ve D şehirleri arasındaki gerçek uzaklığı hesaplayalım. Haritada bu uzaklık 5 cm'dir.
- Gerçek Uzaklık = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Oranı
- Gerçek Uzaklık = \( 5 \text{ cm} \times 50 \text{ km/cm} \)
- Gerçek Uzaklık = 250 km bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 12 \) cm, \( AC = 18 \) cm ve \( \angle BAC = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer bir PQR üçgeninin \( PQ = 8 \) cm ve \( \angle QPR = 50^\circ \) olduğu biliniyor. PQR üçgeninin PR kenarının uzunluğunu bulunuz. (Kenar-Açı-Kenar Benzerlik Kuralı kullanılacaktır.) 📐
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız.
- Verilenlere göre iki üçgende de \( 50^\circ \) olan bir açı var (\( \angle BAC \) ve \( \angle QPR \)).
- ABC üçgeninde bu açıya komşu kenarlar 12 cm ve 18 cm'dir.
- PQR üçgeninde bu açıya komşu kenarlardan biri 8 cm'dir (\( PQ \)). Diğer kenar olan \( PR \) uzunluğunu arıyoruz.
- Üçgenlerin benzer olması için kenarların orantılı olması gerekir. \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) olduğunu varsayalım.
- Orantısal kenarlar şunlar olabilir: \( \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} \) veya \( \frac{AB}{PR} = \frac{AC}{PQ} \). Açıların yerlerini göz önüne alırsak ilk oran daha olasıdır.
- \( \frac{AB}{PQ} = \frac{12 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = \frac{3}{2} \)
- Şimdi \( \frac{AC}{PR} \) oranını bu orana eşitleyelim: \( \frac{18 \text{ cm}}{PR} = \frac{3}{2} \)
- İçler dışlar çarpımı ile \( PR \) değerini bulalım: \( 3 \times PR = 18 \text{ cm} \times 2 \)
- \( 3 \times PR = 36 \text{ cm} \)
- \( PR = \frac{36 \text{ cm}}{3} \)
- \( PR = 12 \) cm bulunur. ✅
Örnek 6:
Bir mimar, çizdiği binanın maketini yapmaktadır. Binanın gerçek yüksekliği 30 metre, maketin yüksekliği ise 60 cm'dir. Eğer maketin taban uzunluğu 40 cm ise, binanın gerçek taban uzunluğu kaç metredir? 🏠
Çözüm:
Bu, ölçeklendirme ve benzerlik prensiplerinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
- Öncelikle birimleri eşitleyelim. 1 metre = 100 cm'dir.
- Gerçek yükseklik = 30 metre = \( 30 \times 100 = 3000 \) cm.
- Maket yüksekliği = 60 cm.
- Maket taban uzunluğu = 40 cm.
- Maket ile gerçek yapı arasındaki ölçek oranını bulalım (yükseklik üzerinden): \( \frac{Gerçek \ Yükseklik}{Maket \ Yüksekliği} = \frac{3000 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = 50 \)
- Bu ölçek oranı, maketin her 1 cm'sinin gerçekte 50 cm'ye karşılık geldiğini gösterir.
- Şimdi binanın gerçek taban uzunluğunu hesaplayalım:
- Gerçek Taban Uzunluğu = Maket Taban Uzunluğu \( \times \) Ölçek Oranı
- Gerçek Taban Uzunluğu = \( 40 \text{ cm} \times 50 \)
- Gerçek Taban Uzunluğu = 2000 cm bulunur.
- Bu değeri metreye çevirelim: \( \frac{2000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 20 \) metre. ✅
Örnek 7:
İki eşkenar üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 5 cm ve 10 cm'dir. Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulunuz. Eşkenar üçgenlerin alanları oranı hakkında ne söylenebilir? 🔺
Çözüm:
Eşkenar üçgenlerin tüm açıları \( 60^\circ \) olduğu için, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre her zaman benzerdirler.
- Kenar uzunlukları 5 cm ve 10 cm olan iki eşkenar üçgenin benzerlik oranı, kenarların birbirine oranı ile bulunur.
- Benzerlik Oranı \( k = \frac{Büyük \ Kenar}{Küçük \ Kenar} = \frac{10 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = 2 \)
- Veya \( k = \frac{Küçük \ Kenar}{Büyük \ Kenar} = \frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2} \)
- Genellikle benzerlik oranı 1'den büyük olarak ifade edilir, bu durumda oran 2'dir.
- Benzer üçgenlerin alanları oranı, kenar uzunlukları oranının karesine eşittir.
- Alanlar Oranı \( = k^2 = 2^2 = 4 \)
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 9 \) cm, \( BC = 12 \) cm ve \( AC = 15 \) cm'dir. Bu üçgene benzer bir DEF üçgeninin çevresi 36 cm'dir. DEF üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı ve çevre ilişkisi kullanılacaktır.
- Öncelikle ABC üçgeninin çevresini hesaplayalım:
- Çevre\(_{ABC}\) = \( AB + BC + AC = 9 + 12 + 15 = 36 \) cm.
- Verilenlere göre DEF üçgeninin çevresi de 36 cm'dir.
- İki üçgen benzer ve çevreleri de eşitse, bu üçgenler eş üçgenlerdir. Eş üçgenler, benzerlik oranı 1 olan özel üçgenlerdir.
- Bu durumda, DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin kenar uzunluklarına eşittir.
- \( DE = AB = 9 \) cm
- \( EF = BC = 12 \) cm
- \( DF = AC = 15 \) cm ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-kelebek/sorular