✅ 9. Sınıf Matematik: İspat Test Çöz
✅ 9. Sınıf Matematik: İspat Testi
Matematikte kullanılan terimler ve önermeler ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Doğruluğu ispatlanamayan ama doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.B) Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir.
C) Bir teoremin verilen kısmına hipotez, ulaşılan kısmına hüküm denir.
D) Matematikteki tüm terimler tanımlı olmak zorundadır.
E) Bir teoremin ispatında aksiyomlar ve daha önce ispatlanmış teoremler kullanılabilir.
"İki çift tam sayının çarpımı bir çift tam sayıdır."
Yukarıda verilen teoremin hipotezi ve hükmü sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
B) Hipotez: Seçilen iki tam sayı çifttir. / Hüküm: Bu iki sayının çarpımı çifttir.
C) Hipotez: İki sayı çarpılmıştır. / Hüküm: Çarpım sonucu çifttir.
D) Hipotez: Sayıların çarpımı çifttir. / Hüküm: Sayılar tektir.
E) Hipotez: Seçilen iki tam sayı tektir. / Hüküm: Bu iki sayının çarpımı tektir.
Matematikte bir teoremi ispatlamak için doğrudan veya dolaylı ispat yöntemleri kullanılır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi dolaylı ispat yöntemlerinden biri değildir?
B) Aksine örnek verme yöntemi
C) Karşıt ters yöntemi (Olmayana ergi)
D) Doğrudan ispat yöntemi
E) Deneme yöntemi
"Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 > x$ tir."
önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlamak isteyen bir öğrenci, $x$ yerine aşağıdaki sayılardan hangisini seçebilir?
B) $-1$
C) $0$
D) $2$
E) $3$
"$x$ bir tam sayı olmak üzere, $x^2$ çift sayı ise $x$ çift sayıdır."
teoremini karşıt ters (olmayana ergi) yöntemi ile ispatlamak isteyen bir kişinin yapması gereken ilk varsayım aşağıdakilerden hangisidir?
B) $x^2$ çift sayıdır.
C) $x$ tek sayıdır.
D) $x^2$ tek sayıdır.
E) $x$ ve $x^2$ çift sayılardır.
"İki tek tam sayının toplamı bir çift tam sayıdır." teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlamak isteyen bir öğrenci aşağıdaki adımları takip etmektedir:
I. $a$ ve $b$ birer tek tam sayı olsun. Bu durumda $k, m \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $a = 2k+1$ ve $b = 2m+1$ yazılabilir.
II. $a + b = (2k+1) + (2m+1)$
III. $a + b = 2k + 2m + 2$
IV. $a + b = 2(k + m + 1)$
V. $k + m + 1 = n$ ($n \in \mathbb{Z}$) olsun. Buradan $a + b = 2n$ elde edilir.
Buna göre, öğrencinin ispatı başarıyla tamamlamak için V. adımdan sonra sunması gereken gerekçe aşağıdakilerden hangisidir?
B) $n$ bir tam sayı ve $2n$ sayısı 2 ile tam bölünebildiğinden çift sayı tanımı gereği $a+b$ çifttir.
C) $k$ ve $m$ tam sayı olduğundan $2n$ her zaman asal sayıdır.
D) $a$ ve $b$ sayılarının çarpımı da çift olmak zorundadır.
E) Tek sayıların toplamı her zaman sıfırdan büyüktür.
"Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir."
Yukarıdaki teoremi çelişki yöntemi kullanarak ispatlamak isteyen bir kişi, ispata başlarken aşağıdaki varsayımlardan hangisini doğru kabul etmelidir?
B) İki irrasyonel sayının toplamı rasyonel bir sayıdır.
C) İki rasyonel sayının toplamı irrasyonel bir sayıdır.
D) Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.
E) Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi eşittir.
"Bir üçgen eşkenar ise tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşittir."
Yukarıda verilen teoremin hipotezi (p) ve hükmü (q) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak belirtilmiştir?
B) p: Üçgenin üç kenar uzunluğu birbirine eşittir. / q: Üçgenin iç açılarının toplamı $360^{\circ}$ dir.
C) p: Üçgen eşkenardır. / q: Üçgenin tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
D) p: Üçgenin tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşittir. / q: Üçgen eşkenardır.
E) p: Üçgenin iki kenarı eşittir. / q: Üçgen ikizkenardır.
"Her $n$ pozitif tam sayısı için $n^2 + n + 11$ bir asal sayıdır."
önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlamak isteyen bir öğrencinin seçmesi gereken en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
"$n$ bir tam sayı olmak üzere, $n$ çift sayı ise $n^2$ sayısı 4 ile tam bölünür."
teoreminin doğrudan ispatını yapan bir öğrenci, $n$ çift sayı olduğundan $k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $n = 2k$ eşitliğini yazmıştır.
Buna göre, ispatın bir sonraki adımında $n^2$ ifadesinin 4 ile tam bölündüğünü göstermek için aşağıdaki eşitliklerden hangisi kullanılmalıdır?
B) $n^2 = 4k$
C) $n^2 = 4k^2$
D) $n^2 = 2k + 2$
E) $n^2 = (2k + 1)^2$
Matematikte bir teoremin karşıt ters yöntemi ile ispatlanması, mantık konusundaki bir denkliğe dayanmaktadır.
Buna göre, bir $p \Rightarrow q$ teoremini karşıt ters yöntemi ile ispatlamak için aşağıdaki mantıksal denkliklerden hangisi kullanılır?
B) $p \Rightarrow q \equiv q \Rightarrow p$
C) $p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p'$
D) $p \Rightarrow q \equiv p' \Rightarrow q'$
E) $p \Rightarrow q \equiv p' \vee q'$
Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki adımları yazarak bir "ispat" yapıyor:
Kabul edelim ki $a$ ve $b$ sıfırdan farklı iki gerçek sayı ve $a = b$ olsun.
I. Adım: Eşitliğin her iki tarafını $a$ ile çarpalım:
$a^2 = ab$
II. Adım: Eşitliğin her iki tarafından $b^2$ çıkaralım:
$a^2 - b^2 = ab - b^2$
III. Adım: Her iki tarafı çarpanlarına ayıralım:
$(a - b)(a + b) = b(a - b)$
IV. Adım: Her iki tarafı $(a - b)$ ifadesine bölelim:
$a + b = b$
V. Adım: $a = b$ olduğundan $a$ yerine $b$ yazalım:
$b + b = b \Rightarrow 2b = b$
VI. Adım: $b \neq 0$ olduğundan her iki tarafı $b$ ile bölelim:
$2 = 1$
Bu "ispatta" elde edilen $2 = 1$ sonucu matematiksel olarak imkansız olduğuna göre, ilk hata kaçıncı adımda yapılmıştır?
B) III
C) IV
D) V
E) VI
Matematikte ispat yöntemleri ve mantıksal çıkarımlar ile ilgili;
I. Bir $p \Rightarrow q$ teoreminin karşıtı olan $q \Rightarrow p$ önermesi doğru ise $p \Rightarrow q$ teoremi de her zaman doğrudur.
II. "$\exists x \in \mathbb{R}, P(x)$" (En az bir $x$ gerçek sayısı için $P(x)$ doğrudur) ifadesinin doğruluğunu ispatlamak için, bu koşulu sağlayan tek bir $x$ değeri bulup göstermek yeterlidir.
III. "$\forall x \in \mathbb{R}, P(x)$" (Her $x$ gerçek sayısı için $P(x)$ doğrudur) ifadesinin doğruluğunu ispatlamak için, sadece birkaç pozitif sayı seçip doğruluğunu göstermek yeterli değildir; genel bir $x$ değişkeni kullanılarak ispat yapılmalıdır.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
"$\sqrt{2}$ sayısı bir irrasyonel sayıdır."
teoremini çelişki yöntemi ile ispatlamak isteyen bir matematikçi aşağıdaki adımları uygulamaktadır:
I. Varsayalım ki $\sqrt{2}$ rasyonel bir sayı olsun.
II. Bu durumda aralarında asal $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilir.
III. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında $2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$ elde edilir. Buradan $a^2$ sayısının çift, dolayısıyla $a$ sayısının da çift olduğu anlaşılır.
IV. $a$ çift sayı olduğundan $a = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$) yazılıp III. adımdaki eşitlikte yerine konursa $4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$ elde edilir. Buradan $b$ sayısının da çift olduğu anlaşılır.
V. Hem $a$ hem de $b$ çift sayılar olduğundan her ikisi de 2 ile tam bölünür.
Bu ispatın sonunda ulaşılan çelişki ve ispatın tamamlanmasını sağlayan gerekçe aşağıdakilerden hangisidir?
B) Hem $a$ hem de $b$ sayılarının çift bulunmasının, bu sayıların başlangıçta "aralarında asal" kabul edilmesiyle çelişmesi
C) $\sqrt{2}$ sayısının karesinin bir tam sayı olamayacağı gerçeğiyle çelişilmesi
D) $a$ ve $b$ sayılarının pozitif tam sayı olamayacağı durumuyla çelişilmesi
E) $k$ sayısının bir tam sayı olamayacağı gerçeğiyle çelişilmesi
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ispat/testler