🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Gerçek Sayılarda Toplama İşleminin Değişme Özelliği
Aşağıdaki eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol ediniz. Bu hangi işlem özelliğini göstermektedir? 💡
\( 7 + (-3) = (-3) + 7 \)
Aşağıdaki eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol ediniz. Bu hangi işlem özelliğini göstermektedir? 💡
\( 7 + (-3) = (-3) + 7 \)
Çözüm:
Bu örnek, gerçek sayılarda toplama işleminin değişme özelliğini göstermektedir. Yani, iki sayının yeri değiştirildiğinde toplam sonucu değişmez.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 Eşitliğin sol tarafını hesaplayalım:
\( 7 + (-3) = 7 - 3 = 4 \) - 👉 Eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım:
\( (-3) + 7 = 4 \) - ✅ Her iki tarafın da sonucu 4 olduğu için eşitlik doğrudur.
Bu, gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu kanıtlar. 📌
Örnek 2:
Gerçek Sayılarda Çarpma İşleminin Değişme Özelliği
Aşağıdaki eşitliği inceleyerek çarpma işleminin değişme özelliğini açıklayınız.
\( 5 \times (-2) = (-2) \times 5 \)
Aşağıdaki eşitliği inceleyerek çarpma işleminin değişme özelliğini açıklayınız.
\( 5 \times (-2) = (-2) \times 5 \)
Çözüm:
Bu örnek, gerçek sayılarda çarpma işleminin değişme özelliğini göstermektedir. Çarpılan sayıların sırası değişse de sonuç aynı kalır.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 Eşitliğin sol tarafını hesaplayalım:
\( 5 \times (-2) = -10 \) - 👉 Eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım:
\( (-2) \times 5 = -10 \) - ✅ Her iki tarafın da sonucu -10 olduğu için eşitlik doğrudur.
Bu durum, çarpma işleminin gerçek sayılar kümesinde değişme özelliğine sahip olduğunu gösterir. 📌
Örnek 3:
Gerçek Sayılarda Toplama İşleminin Birleşme Özelliği
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını karşılaştırarak toplama işleminin birleşme özelliğini gösteriniz.
\( (4 + (-5)) + 8 \) ve \( 4 + ((-5) + 8) \)
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını karşılaştırarak toplama işleminin birleşme özelliğini gösteriniz.
\( (4 + (-5)) + 8 \) ve \( 4 + ((-5) + 8) \)
Çözüm:
Bu örnek, gerçek sayılarda toplama işleminin birleşme özelliğini göstermektedir. Üç veya daha fazla sayı toplanırken, hangi ikisinin önce toplandığı önemli değildir; sonuç değişmez.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 İlk ifadeyi hesaplayalım:
\( (4 + (-5)) + 8 = (-1) + 8 = 7 \) - 👉 İkinci ifadeyi hesaplayalım:
\( 4 + ((-5) + 8) = 4 + 3 = 7 \) - ✅ Her iki ifadenin de sonucu 7 olduğu için eşitlik doğrudur.
Bu, gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu kanıtlar. 💡
Örnek 4:
Gerçek Sayılarda Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını karşılaştırınız ve çarpma işleminin birleşme özelliğini açıklayınız.
\( (2 \times (-3)) \times 4 \) ve \( 2 \times ((-3) \times 4) \)
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını karşılaştırınız ve çarpma işleminin birleşme özelliğini açıklayınız.
\( (2 \times (-3)) \times 4 \) ve \( 2 \times ((-3) \times 4) \)
Çözüm:
Bu örnek, gerçek sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliğini göstermektedir. Üç veya daha fazla sayı çarpılırken, hangi ikisinin önce çarpıldığı önemli değildir; sonuç değişmez.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 İlk ifadeyi hesaplayalım:
\( (2 \times (-3)) \times 4 = (-6) \times 4 = -24 \) - 👉 İkinci ifadeyi hesaplayalım:
\( 2 \times ((-3) \times 4) = 2 \times (-12) = -24 \) - ✅ Her iki ifadenin de sonucu -24 olduğu için eşitlik doğrudur.
Bu, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu gösterir. 📌
Örnek 5:
Çarpma İşleminin Toplama Üzerine Dağılma Özelliği
Aşağıdaki işlemin sonucunu iki farklı yolla bularak çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini gösteriniz.
\( 6 \times (5 + (-2)) \)
Aşağıdaki işlemin sonucunu iki farklı yolla bularak çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini gösteriniz.
\( 6 \times (5 + (-2)) \)
Çözüm:
Bu örnek, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini göstermektedir. Yani, bir sayıyı iki sayının toplamıyla çarpmak yerine, o sayıyı ayrı ayrı her bir toplananla çarpıp sonuçları toplayabiliriz.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Parantez İçini Önce Yaparak:
- 👉 Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
\( 5 + (-2) = 3 \) - 👉 Sonucu 6 ile çarpalım:
\( 6 \times 3 = 18 \)
- 👉 Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
- Dağılma Özelliğini Kullanarak:
- 👉 6'yı hem 5 ile hem de -2 ile çarpalım:
\( (6 \times 5) + (6 \times (-2)) \) - 👉 Çarpma işlemlerini yapalım:
\( 30 + (-12) \) - 👉 Sonuçları toplayalım:
\( 30 - 12 = 18 \)
- 👉 6'yı hem 5 ile hem de -2 ile çarpalım:
✅ Her iki yolla da aynı sonuca (18) ulaştık. Bu, çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini doğrular. 💡
Örnek 6:
Gerçek Sayılarda Etkisiz Eleman Özelliği
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bularak toplama ve çarpma işlemlerinin etkisiz elemanlarını belirleyiniz.
\( 12 + x = 12 \) ve \( (-5) \times y = -5 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bularak toplama ve çarpma işlemlerinin etkisiz elemanlarını belirleyiniz.
\( 12 + x = 12 \) ve \( (-5) \times y = -5 \)
Çözüm:
Bu örnek, toplama ve çarpma işlemlerinin etkisiz elemanlarını bulmamızı sağlar. Etkisiz eleman, bir işlemde kullanıldığında diğer sayının değerini değiştirmeyen elemandır.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 İlk eşitlik için:
\( 12 + x = 12 \)
Bir sayıyı hangi sayıyla toplarsak yine kendisini elde ederiz? Bu sayı 0'dır.
Demek ki \( x = 0 \). - 👉 İkinci eşitlik için:
\( (-5) \times y = -5 \)
Bir sayıyı hangi sayıyla çarparsak yine kendisini elde ederiz? Bu sayı 1'dir.
Demek ki \( y = 1 \).
✅ Gerçek sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0 (sıfır), çarpma işleminin etkisiz elemanı ise 1 (bir)'dir. 📌
Örnek 7:
Gerçek Sayılarda Ters Eleman Özelliği
Aşağıdaki eşitliklerde \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. Bu değerler hangi işlem özelliğini temsil eder?
\( 9 + a = 0 \) ve \( (-4) \times b = 1 \)
Aşağıdaki eşitliklerde \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. Bu değerler hangi işlem özelliğini temsil eder?
\( 9 + a = 0 \) ve \( (-4) \times b = 1 \)
Çözüm:
Bu örnek, toplama ve çarpma işlemlerinin ters elemanlarını bulmamızı sağlar. Ters eleman, bir sayıyla işleme girdiğinde sonucun etkisiz elemanı vermesini sağlayan sayıdır.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- 👉 İlk eşitlik için (Toplama işlemine göre ters eleman):
\( 9 + a = 0 \)
Hangi sayıyı 9 ile toplarsak 0 (toplama işleminin etkisiz elemanı) elde ederiz? Bu sayı -9'dur.
Demek ki \( a = -9 \).
Sayının işaretini değiştirmek, toplama işlemine göre tersini verir. - 👉 İkinci eşitlik için (Çarpma işlemine göre ters eleman):
\( (-4) \times b = 1 \)
Hangi sayıyı -4 ile çarparsak 1 (çarpma işleminin etkisiz elemanı) elde ederiz? Bu sayı \( \frac{1}{-4} \) veya \( -\frac{1}{4} \)'tür.
Demek ki \( b = -\frac{1}{4} \).
Bir sayının çarpmaya göre tersi, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. (Sıfır hariç tüm gerçek sayılar için geçerlidir.)
✅ \( 9 \) sayısının toplama işlemine göre tersi \( -9 \)'dur. \( -4 \) sayısının çarpma işlemine göre tersi \( -\frac{1}{4} \)'tür. 💡
Örnek 8:
Günlük Hayattan Problem: Alışverişte Dağılma Özelliği 🛒
Bir kırtasiyeden tanesi 8 TL olan 3 adet kalem ve tanesi 5 TL olan 3 adet silgi alıyorsunuz. Toplamda kaç TL ödeme yaparsınız?
Bu durumu iki farklı yolla hesaplayarak gerçek sayılardaki işlem özelliklerinden hangisini kullandığınızı açıklayınız.
Bir kırtasiyeden tanesi 8 TL olan 3 adet kalem ve tanesi 5 TL olan 3 adet silgi alıyorsunuz. Toplamda kaç TL ödeme yaparsınız?
Bu durumu iki farklı yolla hesaplayarak gerçek sayılardaki işlem özelliklerinden hangisini kullandığınızı açıklayınız.
Çözüm:
Bu problem, günlük hayatta karşılaşılan bir alışveriş durumunu modelleyerek çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini anlamamızı sağlar.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Her ürünü ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak:
- 👉 Kalemlere ödenen toplam tutar:
\( 3 \times 8 = 24 \) TL - 👉 Silgilere ödenen toplam tutar:
\( 3 \times 5 = 15 \) TL - 👉 Toplam ödenen tutar:
\( 24 + 15 = 39 \) TL
- 👉 Kalemlere ödenen toplam tutar:
- Ortak çarpanı kullanarak (Dağılma özelliği):
- 👉 Hem kalemden hem de silgiden 3'er adet alındığı için, aslında 3'er adet "ürün" alınmıştır. Ürünlerin birim fiyatları (8 TL ve 5 TL) toplanarak toplam birim fiyat bulunur, sonra adet sayısı ile çarpılır.
\( 3 \times (8 + 5) \) - 👉 Parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
\( 8 + 5 = 13 \) - 👉 Sonucu 3 ile çarpalım:
\( 3 \times 13 = 39 \) TL
- 👉 Hem kalemden hem de silgiden 3'er adet alındığı için, aslında 3'er adet "ürün" alınmıştır. Ürünlerin birim fiyatları (8 TL ve 5 TL) toplanarak toplam birim fiyat bulunur, sonra adet sayısı ile çarpılır.
✅ Her iki yolla da aynı sonuca (39 TL) ulaştık. Bu hesaplama biçimi, çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğinin günlük hayattaki pratik bir uygulamasını gösterir. Yani, \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \) kuralını kullandık. 💰
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-i-slem-ozellikleri/sorular