💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Çözümlü Örnekler

• 👉 Eşitliğin sol tarafını hesaplayalım:
  \( 7 + (-3) = 7 - 3 = 4 \)
• 👉 Eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım:
  \( (-3) + 7 = 4 \)
• ✅ Her iki tarafın da sonucu 4 olduğu için eşitlik doğrudur.

Bu, gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu kanıtlar. 📌

• 👉 Eşitliğin sol tarafını hesaplayalım:
  \( 5 \times (-2) = -10 \)
• 👉 Eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım:
  \( (-2) \times 5 = -10 \)
• ✅ Her iki tarafın da sonucu -10 olduğu için eşitlik doğrudur.

Bu durum, çarpma işleminin gerçek sayılar kümesinde değişme özelliğine sahip olduğunu gösterir. 📌

• 👉 İlk ifadeyi hesaplayalım:
  \( (4 + (-5)) + 8 = (-1) + 8 = 7 \)
• 👉 İkinci ifadeyi hesaplayalım:
  \( 4 + ((-5) + 8) = 4 + 3 = 7 \)
• ✅ Her iki ifadenin de sonucu 7 olduğu için eşitlik doğrudur.

Bu, gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu kanıtlar. 💡

• 👉 İlk ifadeyi hesaplayalım:
  \( (2 \times (-3)) \times 4 = (-6) \times 4 = -24 \)
• 👉 İkinci ifadeyi hesaplayalım:
  \( 2 \times ((-3) \times 4) = 2 \times (-12) = -24 \)
• ✅ Her iki ifadenin de sonucu -24 olduğu için eşitlik doğrudur.

Bu, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu gösterir. 📌

1. Parantez İçini Önce Yaparak:
   • 👉 Önce parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
     \( 5 + (-2) = 3 \)
   • 👉 Sonucu 6 ile çarpalım:
     \( 6 \times 3 = 18 \)
2. Dağılma Özelliğini Kullanarak:
   • 👉 6'yı hem 5 ile hem de -2 ile çarpalım:
     \( (6 \times 5) + (6 \times (-2)) \)
   • 👉 Çarpma işlemlerini yapalım:
     \( 30 + (-12) \)
   • 👉 Sonuçları toplayalım:
     \( 30 - 12 = 18 \)

✅ Her iki yolla da aynı sonuca (18) ulaştık. Bu, çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini doğrular. 💡

• 👉 İlk eşitlik için:
  \( 12 + x = 12 \)
  Bir sayıyı hangi sayıyla toplarsak yine kendisini elde ederiz? Bu sayı 0'dır.
  Demek ki \( x = 0 \).
• 👉 İkinci eşitlik için:
  \( (-5) \times y = -5 \)
  Bir sayıyı hangi sayıyla çarparsak yine kendisini elde ederiz? Bu sayı 1'dir.
  Demek ki \( y = 1 \).

✅ Gerçek sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0 (sıfır), çarpma işleminin etkisiz elemanı ise 1 (bir)'dir. 📌

• 👉 İlk eşitlik için (Toplama işlemine göre ters eleman):
  \( 9 + a = 0 \)
  Hangi sayıyı 9 ile toplarsak 0 (toplama işleminin etkisiz elemanı) elde ederiz? Bu sayı -9'dur.
  Demek ki \( a = -9 \).
  Sayının işaretini değiştirmek, toplama işlemine göre tersini verir.
• 👉 İkinci eşitlik için (Çarpma işlemine göre ters eleman):
  \( (-4) \times b = 1 \)
  Hangi sayıyı -4 ile çarparsak 1 (çarpma işleminin etkisiz elemanı) elde ederiz? Bu sayı \( \frac{1}{-4} \) veya \( -\frac{1}{4} \)'tür.
  Demek ki \( b = -\frac{1}{4} \).
  Bir sayının çarpmaya göre tersi, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. (Sıfır hariç tüm gerçek sayılar için geçerlidir.)

✅ \( 9 \) sayısının toplama işlemine göre tersi \( -9 \)'dur. \( -4 \) sayısının çarpma işlemine göre tersi \( -\frac{1}{4} \)'tür. 💡

1. Her ürünü ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak:
   • 👉 Kalemlere ödenen toplam tutar:
     \( 3 \times 8 = 24 \) TL
   • 👉 Silgilere ödenen toplam tutar:
     \( 3 \times 5 = 15 \) TL
   • 👉 Toplam ödenen tutar:
     \( 24 + 15 = 39 \) TL
2. Ortak çarpanı kullanarak (Dağılma özelliği):
   • 👉 Hem kalemden hem de silgiden 3'er adet alındığı için, aslında 3'er adet "ürün" alınmıştır. Ürünlerin birim fiyatları (8 TL ve 5 TL) toplanarak toplam birim fiyat bulunur, sonra adet sayısı ile çarpılır.
     \( 3 \times (8 + 5) \)
   • 👉 Parantez içindeki toplama işlemini yapalım:
     \( 8 + 5 = 13 \)
   • 👉 Sonucu 3 ile çarpalım:
     \( 3 \times 13 = 39 \) TL

✅ Her iki yolla da aynı sonuca (39 TL) ulaştık. Bu hesaplama biçimi, çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğinin günlük hayattaki pratik bir uygulamasını gösterir. Yani, \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \) kuralını kullandık. 💰