💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda üslü gösterim Çözümlü Örnekler

Üslü ifadelerde, tabanın üs kadar kendisiyle çarpılması anlamına gelir.

• a) \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \)
• b) \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)
• c) \( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

✅ Unutmayın, negatif tabanın tek kuvvetleri negatiftir.

Bu tür denklemlerde, tabanları eşitlemeye çalışırız.

• \( 125 \) sayısını \( 5 \) tabanında yazalım: \( 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \)
• Denklemimiz \( 5^x = 5^3 \) haline geldi.
• Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmalıdır.
• Bu durumda, \( x = 3 \) olur.

👉 Tabanlar aynıysa üsler eşittir.

Üslü ifadelerde üssün üssü alındığında, üsler çarpılır.

• Kural: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• Bu kurala göre, \( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \)
• Şimdi \( 2^{12} \) değerini hesaplayalım: \( 2^{12} = 4096 \)

✅ Bu kural, işlem kolaylığı sağlar.

Negatif üsler, sayının tersini alıp pozitif üs olarak yazmak anlamına gelir.

• Kural: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• Bu durumda, \( 10^{-3} = \frac{1}{10^3} \)
• \( 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \)
• Yani, \( 10^{-3} = \frac{1}{1000} \)
• Kesri ondalık olarak yazarsak: \( 0.001 \) olur.

💡 Negatif üsler, sayının 1'den küçük olduğunu gösterir.

Bu problem, üslü ifadelerle kolayca çözülebilir.

• Başlangıç sayısı: \( 10 \)
• Her saat \( 2 \) katına çıkıyor, yani tabanımız \( 2 \).
• Geçen süre: \( 5 \) saat, yani üssümüz \( 5 \).
• \( 5 \) saat sonraki bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) (Büyüme oranı)^{Saat sayısı}
• Bakteri sayısı = \( 10 \times 2^5 \)
• \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
• Bakteri sayısı = \( 10 \times 32 = 320 \)

✅ Büyüme veya azalış problemlerinde üslü ifadeler sıkça kullanılır.

Bu soruda, verilen birimi başka bir birime dönüştürmek için üslü ifadelerden yararlanacağız.

• \( 1 \) GB = \( 10^3 \) MB
• Öğrencinin boş alanı = \( 2 \) GB
• Megabayt cinsinden boş alan = \( 2 \times 1 \) GB
• Megabayt cinsinden boş alan = \( 2 \times 10^3 \) MB
• \( 10^3 = 1000 \)
• Megabayt cinsinden boş alan = \( 2 \times 1000 = 2000 \) MB

👉 Bilgi teknolojilerinde büyük sayıları ifade etmek için üslü gösterimler çok pratiktir.

Bu tür işlemleri yaparken, tüm tabanları aynı asal sayıya dönüştürmek işimizi kolaylaştırır.

• \( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \) olduğunu biliyoruz.
• İfadeyi yeniden yazalım: \( \frac{2^5 \times (2^2)^3}{(2^3)^2} \)
• Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( \frac{2^5 \times 2^{2 \times 3}}{2^{3 \times 2}} = \frac{2^5 \times 2^6}{2^6} \)
• Çarpma işleminde üsler toplanır: \( \frac{2^{5+6}}{2^6} = \frac{2^{11}}{2^6} \)
• Bölme işleminde üsler çıkarılır: \( 2^{11-6} = 2^5 \)
• \( 2^5 = 32 \)

✅ Tabanları aynı yapmak, karmaşık görünen işlemleri basitleştirir.

Bu problem, azalan miktarları modellemek için üslü ifadeler kullanır.

• Yarı ömür süresi: 100 yıl
• Toplam süre: 400 yıl
• Kaç yarı ömür geçtiğini bulalım: \( \frac{400 \text{ yıl}}{100 \text{ yıl/yarı ömür}} = 4 \) yarı ömür
• Başlangıç miktarı: 1000 gram
• Her yarı ömürde miktar \( \frac{1}{2} \) katına iner.
• 4 yarı ömür sonunda kalan madde miktarı = Başlangıç miktarı \( \times (\frac{1}{2})^{\text{geçen yarı ömür sayısı}} \)
• Kalan madde = \( 1000 \times (\frac{1}{2})^4 \)
• \( (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} \)
• Kalan madde = \( 1000 \times \frac{1}{16} = \frac{1000}{16} \)
• \( \frac{1000}{16} = 62.5 \) gram

💡 Yarı ömür, bilimde ve mühendislikte önemli bir kavramdır.