🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = 4x - 12 \) doğrusal fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğrusal fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulmak için değişkenlere sırasıyla sıfır değeri veririz:
- y-eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) için fonksiyonun değerini buluruz.
\( f(0) = 4 \times 0 - 12 \)
\( f(0) = -12 \)
Bu durumda grafik y-eksenini \( (0, -12) \) noktasında keser. - x-eksenini kestiği nokta: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz.
\( 4x - 12 = 0 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
Bu durumda grafik x-eksenini \( (3, 0) \) noktasında keser.
Örnek 2:
\( f(x) = (m - 3)x + 7 \) fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, \( m \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için \( x \)'li terimin katsayısının sıfır olması gerekir.
- Fonksiyonun genel formu \( f(x) = ax + b \) şeklindedir.
- Sabit fonksiyon olması için \( a = 0 \) olmalıdır.
- Verilen fonksiyonda \( x \)'in katsayısı \( m - 3 \) ifadesidir.
- \( m - 3 = 0 \) denklemini kurarız.
- Buradan \( m = 3 \) bulunur.
Örnek 3:
Aşağıda verilen doğrusal fonksiyonların artan veya azalan olma durumlarını inceleyiniz: 📈📉
I. \( f(x) = 5x + 2 \)
II. \( g(x) = -3x + 10 \)
III. \( h(x) = \frac{1}{2}x - 4 \)
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlarda \( f(x) = ax + b \) formunda, \( x \)'in katsayısı olan \( a \) (eğim), fonksiyonun artan veya azalan olduğunu belirler:
- I. \( f(x) = 5x + 2 \): Katsayı \( a = 5 \)'tir. \( 5 > 0 \) olduğu için bu fonksiyon artandır.
- II. \( g(x) = -3x + 10 \): Katsayı \( a = -3 \)'tür. \( -3 < 0 \) olduğu için bu fonksiyon azalandır.
- III. \( h(x) = \frac{1}{2}x - 4 \): Katsayı \( a = \frac{1}{2} \)'dir. \( \frac{1}{2} > 0 \) olduğu için bu fonksiyon artandır.
Örnek 4:
Grafiği \( A(1, 5) \) ve \( B(3, 11) \) noktalarından geçen \( f(x) \) doğrusal fonksiyonunun kuralını bulunuz. ✍️
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Verilen noktaları denklemde yerine koyalım:
- 1. Adım: \( A(1, 5) \) noktası için; \( f(1) = a \times 1 + b = 5 \Rightarrow a + b = 5 \)
- 2. Adım: \( B(3, 11) \) noktası için; \( f(3) = a \times 3 + b = 11 \Rightarrow 3a + b = 11 \)
- 3. Adım: Bu iki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
\( (3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \)
\( 2a = 6 \)
\( a = 3 \) - 4. Adım: Bulduğumuz \( a \) değerini ilk denklemde yerine yazalım:
\( 3 + b = 5 \)
\( b = 2 \)
Örnek 5:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her \( x \) gerçek sayısı için \( f(x+1) - f(x) = 4 \) ve \( f(0) = 2 \) olduğu biliniyor. Buna göre \( f(5) \) değerini hesaplayınız. 🧠
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonlarda \( f(x) = ax + b \) kuralı geçerlidir.
- Eğimi Bulma: \( f(x+1) - f(x) \) ifadesi, fonksiyonun değişim oranını yani eğimini (\( a \)) verir.
\( a(x+1) + b - (ax + b) = 4 \)
\( ax + a + b - ax - b = 4 \)
\( a = 4 \) bulunur. - Sabit Terimi Bulma: \( f(0) = 2 \) bilgisi verilmiş.
\( f(0) = 4 \times 0 + b = 2 \)
\( b = 2 \) bulunur. - Fonksiyonu Yazma: \( f(x) = 4x + 2 \)
- Sonucu Hesaplama: \( f(5) \) için \( x = 5 \) yazalım:
\( f(5) = 4 \times 5 + 2 \)
\( f(5) = 20 + 2 = 22 \)
Örnek 6:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her bir kilometre için ise 15 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yol \( x \) (km) ve ödenecek toplam tutar \( f(x) \) (TL) olmak üzere, bu durumu ifade eden fonksiyonu yazınız ve 10 km giden birinin kaç TL ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu durum doğrusal bir değişim gösterir:
- Sabit Ücret (Başlangıç): 20 TL (Bu fonksiyonun \( b \) değeridir).
- Değişim Oranı (Eğim): Her km için 15 TL (Bu fonksiyonun \( a \) değeridir).
- Fonksiyonun Kuralı: \( f(x) = 15x + 20 \)
- 10 km için hesaplama:
\( f(10) = 15 \times 10 + 20 \)
\( f(10) = 150 + 20 \)
\( f(10) = 170 \)
Örnek 7:
İçinde 600 litre su bulunan bir deponun altındaki musluk açıldığında su miktarı her saatte 40 litre azalmaktadır. Depodaki su miktarının zamana bağlı değişimini gösteren fonksiyonu yazınız ve deponun kaç saat sonra tamamen boşalacağını hesaplayınız. 💧
Çözüm:
Zamanı \( t \) (saat), depodaki su miktarını \( f(t) \) (litre) ile gösterelim:
- Başlangıç miktarı: 600 litre.
- Azalma miktarı: Saatte 40 litre (Azalma olduğu için eğim negatiftir).
- Fonksiyon: \( f(t) = 600 - 40t \)
- Boşalma Durumu: Deponun boşalması için su miktarının sıfır olması gerekir.
\( 600 - 40t = 0 \)
\( 600 = 40t \)
\( t = \frac{600}{40} \)
\( t = 15 \)
Örnek 8:
İki farklı fidanın boyları dikildikleri anda şöyledir:
A fidanı: 20 cm (Haftada 3 cm uzuyor)
B fidanı: 40 cm (Haftada 1 cm uzuyor)
Kaçıncı haftanın sonunda bu iki fidanın boyları birbirine eşit olur? 🌱
Çözüm:
Her iki fidanın boyunu zamana (\( x \) hafta) bağlı fonksiyon olarak yazalım:
- A fidanı boyu: \( f(x) = 3x + 20 \)
- B fidanı boyu: \( g(x) = 1x + 40 \)
- Eşitlik Durumu: Boyların eşit olması için \( f(x) = g(x) \) denklemini kurmalıyız.
\( 3x + 20 = x + 40 \)
\( 3x - x = 40 - 20 \)
\( 2x = 20 \)
\( x = 10 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-dogrusal-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri/sorular