💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılar Çözümlü Örnekler

• 👉 Öncelikle verilen sayıları inceleyelim:
• A) \( -5 \): Bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır ( \( \frac{-5}{1} \) olarak yazılabilir).
• B) \( 0 \): Bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır ( \( \frac{0}{1} \) olarak yazılabilir).
• C) \( \frac{3}{4} \): Bir rasyonel sayıdır ancak tam sayı değildir.
• D) \( \sqrt{9} \): Bu sayı \( 3 \) demektir. \( 3 \) bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır ( \( \frac{3}{1} \) olarak yazılabilir).
• E) \( \sqrt{2} \): Bu sayı bir tam sayı değildir, aynı zamanda rasyonel sayı da değildir. Çünkü \( \sqrt{2} \) yaklaşık olarak \( 1.4142135... \) şeklinde, ondalık kısmı tekrar etmeyen ve sonu gelmeyen bir sayıdır. Bu da onu irrasyonel sayı yapar.
• ✅ Soruda hem rasyonel sayı hem de tam sayı olmayan sayı sorulduğu için doğru cevap \( \sqrt{2} \) olacaktır.

Doğru Cevap: E

• 💡 Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydaları eşitlememiz gerekir.
• Verilen kesirlerin paydaları \( 2, 3 \) ve \( 6 \)'dır. Bu paydaları ortak bir katta eşitleyelim. En küçük ortak katları \( 6 \)'dır.
• İlk kesri \( 3 \) ile, ikinci kesri \( 2 \) ile genişletelim ve üçüncü kesri olduğu gibi bırakalım:
\[ \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} - \frac{1}{6} \] \[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} \]
• Şimdi paydalar eşit olduğu için payları toplayıp çıkarabiliriz:
\[ \frac{3 + 2 - 1}{6} \] \[ \frac{5 - 1}{6} \] \[ \frac{4}{6} \]
• Son olarak, kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı \( 2 \) ile bölebiliriz:
\[ \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \]
• ✅ İşlemin sonucu \( \frac{2}{3} \) olarak bulunur.

• 📌 Sayıları karşılaştırabilmek için hepsini aynı formata, genellikle ondalık gösterime çevirmek en kolay yoldur.
• Önce \( a \) sayısını ondalık olarak ifade edelim:
\[ a = \frac{7}{3} \approx 2.333... \]
• \( b \) sayısı zaten ondalık olarak verilmiş:
\[ b = 2.3 \]
• Şimdi \( c \) sayısını ondalık olarak tahmin edelim. \( \sqrt{4} = 2 \) ve \( \sqrt{9} = 3 \) olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla \( \sqrt{5} \) sayısı \( 2 \) ile \( 3 \) arasında bir sayıdır.
• Daha hassas bir değer için: \( 2.2^2 = 4.84 \) ve \( 2.3^2 = 5.29 \). Bu durumda \( \sqrt{5} \) sayısı yaklaşık olarak \( 2.236... \) değerindedir.
\[ c = \sqrt{5} \approx 2.236... \]
• Şimdi üç sayının ondalık yaklaşık değerlerini yan yana yazalım:
• \( a \approx 2.333... \)
• \( b = 2.300... \)
• \( c \approx 2.236... \)
• Bu değerlere baktığımızda en küçük sayının \( c \), sonra \( b \), en büyük sayının ise \( a \) olduğunu görebiliriz.
• ✅ Küçükten büyüğe sıralama şu şekildedir: \( c < b < a \).

• 💡 Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Öncelikle kök içlerini sadeleştirelim.
• \( \sqrt{12} \) ifadesini sadeleştirelim:
  \( 12 = 4 \times 3 \), bu yüzden \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).
• İlk terimi yeniden yazalım: \( 3\sqrt{12} = 3 \times (2\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \).
• \( \sqrt{27} \) ifadesini sadeleştirelim:
  \( 27 = 9 \times 3 \), bu yüzden \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \).
• Şimdi tüm ifadeyi yeniden yazalım:
\[ 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \]
• Kök içleri artık aynı (\( \sqrt{3} \)). Bu durumda katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\[ (6 - 3 + 5)\sqrt{3} \] \[ (3 + 5)\sqrt{3} \] \[ 8\sqrt{3} \]
• ✅ İşlemin sonucu \( 8\sqrt{3} \) olarak bulunur.

• 📌 Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve daima pozitif veya sıfırdır.
  \( |a| = a \) eğer \( a \geq 0 \) ise
  \( |a| = -a \) eğer \( a < 0 \) ise
• Öncelikle \( x \) ve \( y \) değerlerini yerine koyalım:
\[ |(-7) - 3| + |3| \]
• Mutlak değerin içindeki işlemleri yapalım:
\[ |-10| + |3| \]
• Şimdi mutlak değerleri hesaplayalım:
• \( |-10| \): \( -10 \) sayısı negatif olduğu için mutlak değeri \( -(-10) = 10 \)'dur.
• \( |3| \): \( 3 \) sayısı pozitif olduğu için mutlak değeri \( 3 \)'tür.
• Sonuçları toplayalım:
\[ 10 + 3 \] \[ 13 \]
• ✅ İşlemin sonucu \( 13 \) olarak bulunur.

• 💡 Üç farklı markanın fiyatlarını karşılaştırabilmek için hepsini aynı sayı formatına, yani ondalık gösterime çevirelim.
• A Marka: Fiyat zaten ondalık olarak verilmiş: \( 32.5 \) TL.
• B Marka: Kesirli ifadeyi ondalık sayıya çevirelim:
\[ \frac{67}{2} = 33.5 \] TL.
• C Marka: Karekök içindeki sayının değerini bulalım. \( 1089 \) sayısının karekökünü almalıyız.
• \( 30^2 = 900 \) ve \( 35^2 = 1225 \) olduğunu biliyoruz. Sayı \( 30 \) ile \( 35 \) arasında olmalı. Birler basamağı \( 9 \) olduğu için sayının birler basamağı \( 3 \) veya \( 7 \) olabilir.
• \( 33^2 = 33 \times 33 = 1089 \).
• Yani, \( \sqrt{1089} = 33 \) TL.
• Şimdi üç markanın fiyatlarını karşılaştıralım:
• A Marka: \( 32.5 \) TL
• B Marka: \( 33.5 \) TL
• C Marka: \( 33 \) TL
• Fiyatları küçükten büyüğe sıralarsak: \( 32.5 < 33 < 33.5 \).
• ✅ Bu durumda en pahalı zeytinyağı B Marka'dır.

• 💡 Bu problemde verilen farklı formattaki gerçek sayıları (ondalık, tam sayılı kesir, basit kesir) toplayarak toplam miktarı bulacağız.
• Öncelikle tüm miktarları aynı formata, yani basit kesre veya ondalık sayıya çevirelim. Ondalık sayıya çevirmek daha pratik olabilir.
• Un miktarı: Zaten ondalık olarak verilmiş: \( 2.5 \) su bardağı.
• Şeker miktarı: Tam sayılı kesri ondalık sayıya çevirelim. \( 1 \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1 + 0.25 = 1.25 \) su bardağı.
• Sıvı yağ miktarı: Basit kesri ondalık sayıya çevirelim. \( \frac{3}{4} = 0.75 \) su bardağı.
• Şimdi tüm miktarları toplayalım:
\[ 2.5 + 1.25 + 0.75 \]
• Toplama işlemini yapalım:

    \( 2.50 \)
    \( 1.25 \)
    \( + 0.75 \)
    \( -------- \)
    \( 4.50 \)
    

• ✅ Ayşe'nin kullandığı toplam malzeme miktarı \( 4.5 \) su bardağıdır.

• 📌 Verilen değerleri yerine koyarak işlemi adım adım takip edelim. İşlem önceliğine dikkat etmek önemlidir: önce çarpma/bölme, sonra toplama/çıkarma ve mutlak değer içindeki işlemler.
• Öncelikle verilen \( a, b, c \) değerlerini ifadeye yerleştirelim:
\[ |(-3) \cdot (5) - (-2)| + \frac{5}{(-2)} \]
• Şimdi mutlak değerin içindeki çarpma işlemini yapalım:
\[ |(-15) - (-2)| + \frac{5}{(-2)} \]
• Mutlak değerin içindeki çıkarma işlemini yapalım. İki eksinin yan yana gelmesi artıya dönüşür:
  \( -15 - (-2) = -15 + 2 = -13 \).
\[ |-13| + \frac{5}{(-2)} \]
• Şimdi mutlak değeri hesaplayalım: \( |-13| = 13 \).
• Kesirli ifadeyi hesaplayalım: \( \frac{5}{(-2)} = -2.5 \).
• Son olarak, iki terimi toplayalım:
\[ 13 + (-2.5) \] \[ 13 - 2.5 \] \[ 10.5 \]
• ✅ İşlemin sonucu \( 10.5 \) olarak bulunur.