🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol Ve İşlemler Sayı Kümelerinin Özellikleri Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol Ve İşlemler Sayı Kümelerinin Özellikleri Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki sayı doğrusunda gösterilen aralığı küme sembolleriyle ifade ediniz.
Çözüm:
- Sayı doğrusuna baktığımızda, başlangıç noktasının -2 olduğunu ve bu noktanın içinin dolu olduğunu görüyoruz. Bu, aralığın -2'yi dahil ettiğini gösterir.
- Bitiş noktasının 5 olduğunu ve bu noktanın içinin boş olduğunu görüyoruz. Bu, aralığın 5'i dahil etmediğini gösterir.
- Bu aralık, -2'den büyük veya eşit ve 5'ten küçük olan tüm gerçek sayıları içerir.
- Dolayısıyla, küme gösterimi şu şekildedir: \( \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x < 5 \} \)
- Aralık gösterimi ise: \( [-2, 5) \)
Örnek 2:
\( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, 1 \le x \le 7 \} \) ve \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, 4 < x \le 10 \} \) kümeleri veriliyor. \( A \cup B \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle kümeleri sayı doğrusunda gösterelim:
- A kümesi: \( [1, 7] \) (1 ve 7 dahil)
- B kümesi: \( (4, 10] \) (4 hariç, 10 dahil)
- \( A \cup B \) birleşimi, her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir.
- Sayı doğrusunda A kümesi 1'den başlar ve 7'de biter. B kümesi ise 4'ten başlar ve 10'da biter.
- Birleşimi bulmak için en küçük başlangıç noktasını (1) ve en büyük bitiş noktasını (10) alırız.
- A kümesi 1'i dahil ettiği için birleşim de 1'i dahil edecektir.
- B kümesi 10'u dahil ettiği için birleşim de 10'u dahil edecektir.
- Bu durumda \( A \cup B \) kümesi \( [1, 10] \) olur.
Örnek 3:
\( C = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -5 < x \le 0 \} \) ve \( D = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, -2 \le x < 3 \} \) kümeleri veriliyor. \( C \cap D \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz.
Çözüm:
- Kümeleri sayı doğrusunda gösterelim:
- C kümesi: \( (-5, 0] \) (-5 hariç, 0 dahil)
- D kümesi: \( [-2, 3) \) (-2 dahil, 3 hariç)
- \( C \cap D \) kesişimi, her iki kümenin de ortak elemanlarını içeren kümedir.
- Sayı doğrusunda, C kümesi -5'ten başlar ve 0'da biter. D kümesi ise -2'den başlar ve 3'te biter.
- Ortak bölgeyi bulmak için, iki aralığın da başlangıç noktalarından en büyüğünü ve bitiş noktalarından en küçüğünü alırız.
- Başlangıç noktaları: -5 ve -2. En büyüğü -2'dir.
- Bitiş noktaları: 0 ve 3. En küçüğü 0'dır.
- C kümesi 0'ı dahil ettiği için ve D kümesi de 0'ı kapsadığı için kesişim 0'ı dahil edecektir.
- D kümesi -2'yi dahil ettiği için ve C kümesi de -2'yi kapsadığı için kesişim -2'yi dahil edecektir.
- Bu durumda \( C \cap D \) kümesi \( [-2, 0] \) olur.
Örnek 4:
\( A = (-3, 5] \) ve \( B = [1, 8) \) aralıkları veriliyor. \( A \setminus B \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz. (A kümesinden B kümesinin elemanlarının çıkarılması)
Çözüm:
- A aralığı: \( (-3, 5] \) (-3 hariç, 5 dahil)
- B aralığı: \( [1, 8) \) (1 dahil, 8 hariç)
- \( A \setminus B \) işlemi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları bulmamızı ister.
- Sayı doğrusunda A aralığını işaretleyelim: -3'ten başlar, 5'te biter (3 dahil).
- B aralığını işaretleyelim: 1'den başlar, 8'de biter (1 dahil).
- A kümesinden B kümesinin elemanlarını çıkaracağız.
- A kümesi -3'ten başlar. B kümesi 1'den başladığı için, -3'ten 1'e kadar olan kısım (1 hariç) A kümesinde olup B'de olmayan kısımdır.
- A kümesinin bitiş noktası 5'tir. B kümesi de 5'i kapsar (çünkü B'nin bitişi 8'dir).
- Dolayısıyla, A kümesinden B kümesinin elemanlarını çıkardığımızda, A'nın başlangıcı olan -3'ten başlayıp, B'nin başlangıcı olan 1'e kadar olan kısmı (1 hariç) alırız.
- Bu durumda \( A \setminus B \) kümesi \( (-3, 1) \) olur.
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında, bir cep telefonunun fiyatı her ay sabit bir miktar artmaktadır. Bu ay telefonun fiyatı \( x \) TL'dir. Gelecek 3 ay boyunca telefonun fiyatının TL cinsinden alabileceği değerler \( [x, x+150] \) aralığında gösterilmiştir. Eğer gelecek 2 ay boyunca telefonun fiyatının TL cinsinden alabileceği değerler ise \( [x+50, x+100] \) aralığı ile gösteriliyorsa, 3. ayın sonunda telefonun fiyatı en az kaç TL olabilir?
Çözüm:
- Gelecek 3 ay boyunca telefonun fiyat aralığı: \( [x, x+150] \)
- Bu, telefonun fiyatının şu anki fiyatı \( x \) TL'den başlayıp, 3 ay sonunda en fazla \( x+150 \) TL olabileceği anlamına gelir.
- Gelecek 2 ay boyunca telefonun fiyat aralığı: \( [x+50, x+100] \)
- Bu, telefonun fiyatının şu anki fiyatından 50 TL artışla başlayıp (yani \( x+50 \)), 2 ay sonunda en fazla \( x+100 \) TL olabileceği anlamına gelir.
- Soruda 3. ayın sonunda telefonun fiyatının en az kaç TL olabileceği soruluyor.
- 3. ayın sonundaki fiyat, ilk 3 ay boyunca fiyatın alabileceği değerler içinde yer alır.
- 3. ayın sonundaki fiyat, \( [x, x+150] \) aralığındadır.
- Bu aralıktaki en küçük değer \( x \) TL'dir.
- Ancak, soruda "gelecek 3 ay boyunca" ifadesi, bugünden itibaren 3 ay sonrasını kapsar.
- Eğer telefonun fiyatı 2. ayın sonunda en fazla \( x+100 \) TL olabiliyorsa, 3. ayın sonunda bu fiyattan daha düşük olamaz.
- Dolayısıyla, 3. ayın sonundaki fiyat en az, 2. ayın sonundaki maksimum fiyat olan \( x+100 \) TL olabilir.
- Fakat soruda "3. ayın sonunda telefonun fiyatı en az kaç TL olabilir?" diye soruluyor. Bu, 3. ayın sonundaki fiyatın, 3 aylık fiyat aralığı olan \( [x, x+150] \) içindeki en küçük değerini ifade eder.
- Bu aralıktaki en küçük değer \( x \) TL'dir.
- Ancak, 2. ayın sonundaki fiyatın \( x+100 \) olabileceği bilgisi, fiyatın bu değerin altına düşemeyeceğini ima eder.
- Bu durumda, 3. ayın sonundaki fiyat en az \( x+100 \) TL olabilir.
- Soruyu daha net anlamak için: 3. ayın sonundaki fiyat, \( [x, x+150] \) aralığında olmalı. Ayrıca, 2. ayın sonundaki fiyat en fazla \( x+100 \) olabileceğinden, 3. ayın sonundaki fiyat en az \( x+100 \) olmalıdır.
- Bu nedenle, 3. ayın sonunda telefonun fiyatı en az \( x+100 \) TL olabilir.
Örnek 6:
Bir fırıncı, yaptığı ekmeklerin ağırlığının (gram cinsinden) genellikle 250 gram civarında olmasını hedefler. Ancak üretim sürecindeki küçük farklılıklar nedeniyle ekmeklerin ağırlığı \( [240, 260] \) gram aralığında değişmektedir. Eğer bir gün fırıncı, bu aralığın sadece \( [245, 255] \) gramlık kısmına uyan ekmekleri satmaya karar verirse, satılmayan ekmeklerin ağırlık aralığı hangi küme ile ifade edilir?
Çözüm:
- Fırıncının ürettiği tüm ekmeklerin ağırlık aralığı: \( A = [240, 260] \) gram.
- Fırıncının satmaya karar verdiği ekmeklerin ağırlık aralığı: \( B = [245, 255] \) gram.
- Satılmayan ekmeklerin ağırlık aralığı, A kümesinde olup B kümesinde olmayan ekmeklerdir. Bu, \( A \setminus B \) kümesine karşılık gelir.
- A aralığı: 240'tan başlar, 260'ta biter (her ikisi de dahil).
- B aralığı: 245'ten başlar, 255'te biter (her ikisi de dahil).
- A aralığından B aralığını çıkaracağız.
- A'nın başlangıcı 240'tır. B'nin başlangıcı 245'tir. Bu durumda, 240'tan başlayıp 245'e kadar olan kısım (245 hariç) satılmayan ekmeklere aittir.
- A'nın bitişi 260'tır. B'nin bitişi 255'tir. Bu durumda, 255'ten başlayıp 260'a kadar olan kısım (255 hariç) satılmayan ekmeklere aittir.
- Dolayısıyla, satılmayan ekmeklerin ağırlık aralığı iki ayrı kümeden oluşur:
- İlk kısım: \( [240, 245) \) (240 dahil, 245 hariç)
- İkinci kısım: \( (255, 260] \) (255 hariç, 260 dahil)
- Bu iki kümenin birleşimi satılmayan ekmeklerin ağırlık aralığını verir: \( [240, 245) \cup (255, 260] \)
Örnek 7:
\( A = (-\infty, 3] \) ve \( B = [0, \infty) \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz.
Çözüm:
- A kümesi: \( (-\infty, 3] \) Bu, 3'ten küçük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar.
- B kümesi: \( [0, \infty) \) Bu, 0'dan büyük veya eşit tüm gerçek sayıları kapsar.
- \( A \cap B \) işlemi, her iki kümenin de ortak elemanlarını bulmamızı ister.
- Sayı doğrusunda düşündüğümüzde:
- A kümesi, sayı doğrusunun 3'ten sol tarafını (3 dahil) kapsar.
- B kümesi, sayı doğrusunun 0'dan sağ tarafını (0 dahil) kapsar.
- Bu iki aralığın kesiştiği bölge, 0'dan başlayıp 3'te biten kısımdır.
- B kümesi 0'ı dahil ettiği için, kesişim de 0'ı dahil edecektir.
- A kümesi 3'ü dahil ettiği için, kesişim de 3'ü dahil edecektir.
- Dolayısıyla, \( A \cap B \) kümesi \( [0, 3] \) olur.
Örnek 8:
\( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x > -4 \} \) ve \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x \le 6 \} \) kümeleri veriliyor. \( A \cup B \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz.
Çözüm:
- A kümesi: \( (-4, \infty) \) (-4 hariç, sonsuza kadar tüm reel sayılar)
- B kümesi: \( (-\infty, 6] \) (6 dahil, eksi sonsuza kadar tüm reel sayılar)
- \( A \cup B \) birleşimi, her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir.
- Sayı doğrusunda A kümesi -4'ten başlar ve sağa doğru gider.
- B kümesi ise 6'dan başlar ve sola doğru gider.
- Bu iki küme tüm reel sayılar eksenini kapsar.
- Yani, A kümesi -4'ten büyük tüm sayıları, B kümesi ise 6'dan küçük veya eşit tüm sayıları içerir.
- Bu iki kümenin birleşimi, tüm reel sayıları kapsar.
- Dolayısıyla, \( A \cup B \) kümesi \( \mathbb{R} \) (tüm reel sayılar kümesi) olur.
- Aralık gösterimiyle: \( (-\infty, \infty) \)
Örnek 9:
\( A = [-5, 2) \), \( B = (-1, 4] \) ve \( C = [0, 6) \) kümeleri veriliyor. \( (A \cup B) \cap C \) kümesini aralık gösterimiyle bulunuz.
Çözüm:
- Önce \( A \cup B \) kümesini bulalım:
- A kümesi: \( [-5, 2) \) (-5 dahil, 2 hariç)
- B kümesi: \( (-1, 4] \) (-1 hariç, 4 dahil)
- A ve B'nin birleşimi, en küçük başlangıç noktası (-5) ve en büyük bitiş noktası (4) alınarak bulunur.
- A kümesi -5'i dahil ettiği için birleşim de -5'i dahil eder.
- B kümesi 4'ü dahil ettiği için birleşim de 4'ü dahil eder.
- Dolayısıyla, \( A \cup B = [-5, 4] \)
- Şimdi \( (A \cup B) \cap C \) işlemini yapalım:
- \( A \cup B \) kümesi: \( [-5, 4] \)
- C kümesi: \( [0, 6) \) (0 dahil, 6 hariç)
- Bu iki kümenin kesişimini bulacağız.
- Kesişim için, başlangıç noktalarından en büyüğünü ve bitiş noktalarından en küçüğünü alırız.
- Başlangıç noktaları: -5 ve 0. En büyüğü 0'dır.
- Bitiş noktaları: 4 ve 6. En küçüğü 4'tür.
- \( A \cup B \) kümesi 4'ü dahil ettiği için ve C kümesi de 4'ü kapsadığı için kesişim 4'ü dahil edecektir.
- C kümesi 0'ı dahil ettiği için ve \( A \cup B \) kümesi de 0'ı kapsadığı için kesişim 0'ı dahil edecektir.
- Dolayısıyla, \( (A \cup B) \cap C = [0, 4] \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklarinin-gosteriminde-ve-araliklarla-ilgili-islemlerde-kume-sembol-ve-islemler-sayi-kumelerinin-ozellikleri-gercek-sayilarin-islem-ozellikleri/sorular