🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik Şekiller, Eşlik Ve Benzerlik, Algoritma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometrik Şekiller, Eşlik Ve Benzerlik, Algoritma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü B açısının ölçüsünün 2 katıdır. C açısının ölçüsü ise \( 60^\circ \)dir. Buna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- B açısının ölçüsüne \( x \) diyelim. Bu durumda A açısının ölçüsü \( 2x \) olur.
- C açısının ölçüsü ise \( 60^\circ \) olarak verilmiş.
- Denklemi kuralım: \[ x + 2x + 60^\circ = 180^\circ \]
- Benzer terimleri toplayalım: \[ 3x + 60^\circ = 180^\circ \]
- \( 60^\circ \)yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ 3x = 180^\circ - 60^\circ \] \[ 3x = 120^\circ \]
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ x = \frac{120^\circ}{3} \] \[ x = 40^\circ \]
- Böylece B açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olarak bulunur. ✅
- Kontrol edelim: A açısı \( 2x = 80^\circ \) olur. \( 40^\circ + 80^\circ + 60^\circ = 180^\circ \). Doğru!
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 8 cm ve 15 cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir? 📏
Çözüm:
- Dikdörtgenin alanı, uzun kenar ile kısa kenarın çarpımına eşittir.
- Verilen uzun kenar \( = 15 \) cm.
- Verilen kısa kenar \( = 8 \) cm.
- Alan formülü: Alan = Uzun Kenar \( \times \) Kısa Kenar
- Hesaplayalım: \[ \text{Alan} = 15 \times 8 \] \[ \text{Alan} = 120 \]
- Buna göre, dikdörtgenin alanı \( 120 \) santimetrekaredir (\( \text{cm}^2 \)). ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu 6 cm, AC kenarının uzunluğu 8 cm ve A açısının ölçüsü \( 50^\circ \)dir. Bir DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 6 cm, DF kenarının uzunluğu 8 cm ve D açısının ölçüsü \( 50^\circ \)dir. Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz. 🤔
Çözüm:
- İki üçgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olmalıdır.
- Burada bize ikişer kenar ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiştir. Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Aksiyomu için uygundur.
- ABC üçgeninde verilenler:
- AB \( = 6 \) cm
- AC \( = 8 \) cm
- A açısı \( = 50^\circ \)
- DEF üçgeninde verilenler:
- DE \( = 6 \) cm
- DF \( = 8 \) cm
- D açısı \( = 50^\circ \)
- Görüldüğü üzere, AB kenarı DE kenarına, AC kenarı DF kenarına eşittir. Ayrıca bu kenarlar arasında kalan A açısı ile D açısı da birbirine eşittir.
- Bu durumda, KAK Eşlik Aksiyomu gereği \( \triangle ABC \) üçgeni ile \( \triangle DEF \) üçgeni eş üçgenlerdir.
- Bu eşlik \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğrusu çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve DE uzunluğu 5 cm olduğuna göre, BC uzunluğu kaç santimetredir? 🧐
Çözüm:
- DE doğrusu BC kenarına paralel olduğundan, Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi olarak da bilinir) uygulanabilir.
- Bu durumda \( \triangle ADE \) üçgeni ile \( \triangle ABC \) üçgeni benzerdir.
- Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir.
- AB kenarının uzunluğu \( AD + DB = 4 + 6 = 10 \) cm'dir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) olur.
- DE kenarı ile BC kenarı da benzerlik oranına göre orantılıdır: \( \frac{DE}{BC} = k \)
- Verilenleri yerine yazalım: \[ \frac{5}{BC} = \frac{2}{5} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak BC uzunluğunu bulalım: \[ 2 \times BC = 5 \times 5 \] \[ 2 \times BC = 25 \] \[ BC = \frac{25}{2} \] \[ BC = 12.5 \]
- Buna göre, BC uzunluğu \( 12.5 \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Ayşe, bir ağacın boyunu ölçmek istiyor. Güneşli bir günde, Ayşe'nin boyu 1.6 metre ve gölgesinin uzunluğu 2.4 metredir. Aynı anda ağacın gölgesinin uzunluğu ise 9 metredir. Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Ayşe ve ağacın yere dik durduğu varsayılacaktır.) 🌳
Çözüm:
- Güneş ışınları paralel geldiği için, Ayşe ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur.
- Ayşe'nin boyu \( H_A = 1.6 \) m.
- Ayşe'nin gölgesi \( G_A = 2.4 \) m.
- Ağacın gölgesi \( G_G = 9 \) m.
- Ağacın boyunu \( H_G \) ile gösterelim.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{H_A}{G_A} = \frac{H_G}{G_G} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.6}{2.4} = \frac{H_G}{9} \]
- Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{1.6}{2.4} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \]
- Şimdi denklemi tekrar yazalım: \[ \frac{2}{3} = \frac{H_G}{9} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( H_G \) değerini bulalım: \[ 3 \times H_G = 2 \times 9 \] \[ 3 \times H_G = 18 \] \[ H_G = \frac{18}{3} \] \[ H_G = 6 \]
- Buna göre, ağacın boyu 6 metredir. ✅
Örnek 6:
Bir ABCD paralelkenarında, A açısının ölçüsü \( (3x - 10)^\circ \) ve C açısının ölçüsü \( (x + 40)^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Paralelkenarın en önemli özelliklerinden biri, karşılıklı açılarının ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır.
- Bu durumda A açısı ile C açısı birbirine eşittir: \[ 3x - 10 = x + 40 \]
- Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- \( x \)i sol tarafa, \( -10 \)u sağ tarafa atalım: \[ 3x - x = 40 + 10 \] \[ 2x = 50 \]
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \[ x = \frac{50}{2} \] \[ x = 25 \]
- Şimdi A (ve C) açısının ölçüsünü bulalım: \[ \text{A açısı} = 3x - 10 = 3 \times 25 - 10 = 75 - 10 = 65^\circ \] (Kontrol: C açısı \( = x + 40 = 25 + 40 = 65^\circ \))
- Paralelkenarda ardışık açıların toplamı \( 180^\circ \)dir (yani A açısı ile B açısının toplamı \( 180^\circ \)dir).
- B açısının ölçüsünü bulalım: \[ \text{B açısı} = 180^\circ - \text{A açısı} \] \[ \text{B açısı} = 180^\circ - 65^\circ \] \[ \text{B açısı} = 115^\circ \]
- Buna göre, B açısının ölçüsü \( 115^\circ \)dir. ✅
Örnek 7:
Bir şehir planı hazırlayan mimarlar, gerçekte 100 metrelik bir caddeyi harita üzerinde 2 cm olarak göstermişlerdir. Bu haritada 5 cm olarak gösterilen bir parkın gerçekteki uzunluğu kaç metredir? 🗺️
Çözüm:
- Haritalar, gerçek dünya ile benzerlik ilkesine göre küçültülerek oluşturulur. Buradaki küçültme oranına ölçek denir.
- Öncelikle haritanın ölçeğini bulalım:
- Gerçek uzunluk \( = 100 \) metre \( = 100 \times 100 = 10000 \) cm.
- Harita uzunluğu \( = 2 \) cm.
- Ölçek \( = \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} = \frac{2 \text{ cm}}{10000 \text{ cm}} = \frac{1}{5000} \)
- Bu, haritadaki her 1 cm'nin gerçekte 5000 cm'ye (yani 50 metreye) denk geldiği anlamına gelir.
- Şimdi, haritada 5 cm olarak gösterilen parkın gerçek uzunluğunu bulalım:
- Harita uzunluğu \( = 5 \) cm.
- Gerçek uzunluk \( = \text{Harita Uzunluğu} \times \text{Ölçeğin Paydası} \)
- Gerçek uzunluk \( = 5 \text{ cm} \times 5000 \)
- Gerçek uzunluk \( = 25000 \) cm.
- Metreye çevirelim (1 metre = 100 cm): \[ 25000 \text{ cm} = \frac{25000}{100} = 250 \text{ metre} \]
- Buna göre, parkın gerçekteki uzunluğu 250 metredir. ✅
Örnek 8:
Aşağıda bir açının açıortayını çizmek için izlenen adımlar sıralanmıştır. Bu adımları sırasıyla uygulayarak bir açının açıortayını çizme algoritmasını açıklayınız. ✏️
- Verilen açının köşesini merkez alarak, pergel yardımıyla açının kollarını kesen bir yay çizin.
- Yayın açının kollarını kestiği noktalara A ve B adını verin.
- A noktasını merkez alarak, pergeli uygun bir açıklıkta ayarlayıp açının içine bir yay çizin.
- B noktasını merkez alarak, aynı pergel açıklığıyla açının içine, ilk yayı kesen ikinci bir yay çizin.
- Bu iki yayın kesiştiği noktayı C olarak adlandırın.
- Açının köşesinden C noktasına bir ışın çizin.
Çözüm:
- Verilen adımlar, bir açının açıortayını çizmek için kullanılan temel geometrik yapıma ait bir algoritmadır. Bir algoritma, belirli bir problemi çözmek veya belirli bir görevi yerine getirmek için izlenmesi gereken adım adım talimatlar dizisidir.
- Yukarıdaki adımları uygulayarak, herhangi bir açının açıortayını hatasız bir şekilde çizebiliriz.
- Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır. Bu yapı, pergelle ve cetvelle yapılan çizimlerde sıkça kullanılır.
- Adımların özeti:
- 👉 Adım 1 ve 2: Açının kollarında, köşeye eşit uzaklıkta iki nokta (A ve B) belirlemek için bir yay çizin.
- 👉 Adım 3 ve 4: Bu A ve B noktalarını merkez alarak, açının içinde kesişen iki yay daha çizin. Bu yayların kesişim noktası (C), açıortayın geçeceği kritik noktadır.
- 👉 Adım 5 ve 6: Açının köşesi ile C noktasını birleştiren bir ışın çizerek açıortayı elde edin.
- Bu algoritmik yaklaşım, geometrik çizimlerin standart bir yöntemle ve belirli kurallara göre yapılmasını sağlar. Böylece, herkes aynı adımları izleyerek aynı doğru sonucu elde edebilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometrik-sekiller-eslik-ve-benzerlik-algoritma/sorular